Hur andra derivator bestämmer extrempunkter för funktioner

Låt $f \in C^2(X, \mathbb{R})$ vara en två gånger deriverbar funktion definierad på en mängd $X \subseteq \mathbb{R}^m$ . För att analysera om en kritisk punkt $x_0$ för $f$ är ett lokalt extremum, undersöker vi Hessianmatrisen $\partial^2 f(x_0)$ , den andra derivatan i denna punkt. Analysen baseras på om Hessianmatrisen är positivt definit, negativt definit eller indefinit.

Om $\partial^2 f(x_0)$ är positivt definit, finns ett isolerat lokalt minimum för $f$ vid $x_0$ . Detta innebär att det finns ett positivt konstant $\alpha > 0$ så att för varje $\xi \in \mathbb{R}^m$ gäller $\partial^2 f(x_0)[\xi]^2 \geq \alpha |\xi|^2$ . Därför, för tillräckligt små $|\xi|$ , kommer $f(x_0 + \xi)$ att vara större än $f(x_0)$ , vilket innebär att $x_0$ är en lokal minimipunkt.

Om däremot $\partial^2 f(x_0)$ är negativt definit, finns ett isolerat lokalt maximum vid $x_0$ . I detta fall kan vi använda samma resonemang som för minimum, men tillämpa det på den negativa av $f$ , vilket gör att vi får ett lokalt maximum.

Om Hessianmatrisen är indefinit, så finns det riktningar i vilka funktionen växer och andra riktningar där den avtar. Detta innebär att $x_0$ inte är ett extremum. Ett exempel på en sådan punkt är en sadelpunkt, där funktionens värde är högre i vissa riktningar och lägre i andra.

Exempel för att förstå begreppen

För att konkretisera förståelsen, överväg funktionen $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ , definierad som $f(x, y) = c + \delta x^2 + \epsilon y^2$ , där $c \in \mathbb{R}$ och $\delta, \epsilon \in \{ -1, 1\}$ . Hessianmatrisen för denna funktion är

Hf(x, y) = \begin{bmatrix}

2\delta & 0 \\ 0 & 2\epsilon \end{bmatrix}.

H f (x, y) = [2 δ 0 0 2 ϵ] .

Genom att undersöka Hessianmatrisens tecken kan vi avgöra om funktionen har ett lokalt minimum, maximum eller en sadelpunkt vid origo. Om både $\delta$ och $\epsilon$ är positiva, kommer Hessianen vara positivt definit och funktionen kommer att ha ett lokalt minimum vid $(0, 0)$ . Om båda är negativa, kommer Hessianen att vara negativt definit och funktionen kommer att ha ett lokalt maximum. Om $\delta = 1$ och $\epsilon = -1$ , kommer Hessianen att vara indefinit, vilket innebär att $(0, 0)$ är en sadelpunkt.

När andra derivator inte räcker till

Det finns också situationer där den andra derivatan inte ger oss tillräcklig information om funktionen vid en kritisk punkt. Ett exempel på detta är när Hessianmatrisen är semidefinit, vilket innebär att den inte är strikt positiv eller negativ definit. Ett exempel är funktionen

f(x, y) = x^2 + y^4,

där $(0, 0)$ är en kritisk punkt och Hessianen är positiv semidefinit. Även om Hessianen är semidefinit vid $(0, 0)$ , innebär det inte nödvändigtvis att $(0, 0)$ är ett lokalt minimum. För denna funktion är $(0, 0)$ faktiskt ett isolerat minimum.

Vad som är viktigt att förstå

När vi undersöker funktioner och deras kritiska punkter är det avgörande att förstå hur den andra derivatan, eller Hessianmatrisen, påverkar funktionen. En positiv definit Hessian indikerar ett minimum, en negativ definit Hessian ett maximum, och en indefinit Hessian pekar på en sadelpunkt. Men om Hessianen är semidefinit kan vi inte dra några definitiva slutsatser, och vidare undersökningar krävs för att avgöra funktionen vid den kritiska punkten.

Det är också viktigt att förstå att för vissa funktioner, även om den andra derivatan inte ger fullständig information, kan det finnas ytterligare verktyg som hjälper till att bestämma funktionens beteende, såsom högre ordningens derivator eller andra metoder för att analysera funktionens geometri och topologi vid kritiska punkter.

Vad är ett tangentialrum till en mångfald och hur representeras det?

För en mångfald $M \subset \mathbb{R}^n$ , definieras det tangentiella rummet $T_pM$ vid en punkt $p \in M$ som bildmängden av derivatan $T_{\varphi(p)}g$ , där $g$ är en parametrisering av $M$ lokalt omkring $p$ , via en karta $(\varphi, U)$ . Således ges $T_pM = \mathrm{im}(T_{\varphi(p)}g)$ . Detta rum består av alla tangentvektorer till $M$ vid punkten $p$ .

Detta rum är oberoende av valet av karta, vilket säkerställs av kommutativiteten i det relevanta diagrammet och det faktum att sammansättningen av kartbytet är en diffeomorfi vars derivata är en isomorfism. Det innebär att olika parametriseringar ger upphov till samma tangentiella rum vid punkten $p$ , och därmed är definitionen välbestämd.

När $M$ är en delmängd av $\mathbb{R}^n$ , sammanfaller den givna definitionen av $T_pM$ med den klassiska, där tangentvektorerna är derivator av kurvor i $M$ genom $p$ . I det fallet är tangentrummet isomorft med $\mathbb{R}^n$ , och hela tangentbunten kan skrivas som $TM = M \times \mathbb{R}^n$ .

Tangentrummet $T_pM$ är ett $m$ -dimensionellt underrum av $T_p\mathbb{R}^n$ , och därmed ett Hilbertrum utrustat med skalärprodukt ärvd från det omgivande rummet. Med hjälp av den fundamentala matrisen $[g_{jk}]$ , bestående av skalärprodukterna mellan partiella derivator av parametriseringen $g$ vid punkten $\varphi(p)$ , kan man explicit beräkna inre produkter mellan vektorer i $T_pM$ . Denna matris är symmetrisk och positivt definit, vilket är ett uttryck för att parametriseringen är en immersion.

En tangentvektor $v \in T_pM$ kan uttryckas i lokala koordinater via en isomorfism $T_p\varphi$ , som ges av inversen till $T_{\varphi(p)}g$ , och denna representant i $T_{\varphi(p)}V$ kallas den lokala formen av vektorn. Byte av karta innebär en linjär koordinattransformation mellan dessa representationer, och denna transformation ges explicit via kedjeregeln och kartbytenas sammansättningar.

Om mångfalden är given som grafen till en funktion $f \in C^q(X, \mathbb{R}^\ell)$ , där $X \subset \mathbb{R}^m$ , så är varje tangentvektor vid en punkt på grafen av formen $(v, \partial f(x_0)v)$ , där $x_0 \in X$ och $v \in \mathbb{R}^m$ . Det innebär att tangentrummet vid $(x_0, f(x_0))$ är grafen till den linjära avbildningen $\partial f(x_0)$ . Detta är en naturlig generalisering av begreppet tangent till en kurva.

Man kan karakterisera tangentrummet geometriskt: varje vektor i $T_pM$ är derivatan i $t = 0$ till en kurva $\gamma(t)$ i $M$ med $\gamma(0) = p$ . Mängden av alla sådana derivator utgör precis $T_pM$ . Det ger en intuitiv förståelse: tangentrummet samlar alla möjliga “riktningar” i vilka man kan röra sig inom mångfalden från punkten $p$ .

Om $M$ definieras som nivånivån $f^{ -1}(c)$ för en funktion $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^\ell$ , där $c$ är ett reguljärt värde, ges tangentrummet som kärnan till den linjära avbildningen $T_pf$ . Det följer ur att $f(\gamma(t)) = c$ implicerar $T_pf(v) = 0$ för varje tangentvektor $v \in T_pM$ , och att dimensionsformeln tillsammans med regulariteten hos $f$ säkerställer att kärnan har rätt dimension.

Det är viktigt att förstå att tangentrummet bär på både algebraisk och geometrisk information. Algebraiskt är det ett linjärt underrum till $\mathbb{R}^n$ , men geometriskt uttrycker det alla tillåtna riktningar inom mångfalden från punkten $p$ . I differentialgeometrin är denna dualitet mellan lokala koordinater och globala strukturer central. Representationen i lokala koordinater är avgörande för explicita beräkningar, men begreppet i sig är intrinsiskt och oberoende av inbäddningen i ett omgivande rum.

Hur man beräknar längden av en kurva och förståelsen av parametriseringar

I matematiken är kurvlängd en fundamental begrepp som relaterar sig till den totala längden eller variationen av en kurva i ett givet rum. Denna beräkning är central inom områden som differentialgeometri och analys, där parametriseringar och deras egenskaper spelar en avgörande roll för att förstå kurvornas beteende och deras geometri.

För att börja, låt oss definiera en kurva Γ som en kontinuerlig bana i ett Euclideanskt rum, parametriserad genom en funktion γ : I → E, där I är ett intervall och E är det rum som kurvan ligger i. Om γ är en C1-funktion, vilket innebär att dess första derivata existerar och är kontinuerlig, kan vi definiera längden av Γ över ett intervall [a, b] som den totala variationen av γ, som beräknas genom:

L(\Gamma) = \int_a^b |\gamma'(t)| dt

Här representerar $\gamma'(t)$ den momentana hastigheten för kurvan vid varje punkt $t$ . Detta är ett exempel på hur längden av en kurva definieras genom den parametrisering som används för att beskriva kurvan. För kompakt kurvor, det vill säga de som är begränsade och stänger sig själva, spelar parametriseringens form och egenskaper en viktig roll i att fastställa längden.

En annan viktig egenskap är att om två olika parametriseringar $\gamma$ och $\gamma_1$ beskriver samma kurva, så har de samma bild, dvs. $\text{im}(\gamma) = \text{im}(\gamma_1)$ , men de kan ge olika sätt att beskriva kurvans struktur. Detta innebär att även om de parametriserar samma geometriska objekt, kan de ge olika representationer av kurvans beteende i rummet.

För att förstå detta bättre, föreställ dig att du har en regelbunden kurva som parametriseras av $\gamma(t) = (t, t)$ , vilket är en rak linje i $R^2$ . Om vi istället använder en annan parametrisering, som $\gamma_1(t) = (t^3, t^3)$ , kommer dessa båda parametriseringar att representera samma kurva, men med olika hastigheter och parametriseringens form. Det är viktigt att notera att även om de har samma bild, betyder inte detta att deras parametriseringar är ekvivalenta, särskilt när deras derivator skiljer sig, vilket gör att deras hastigheter inte är lika vid varje punkt.

För att beskriva kurvor på ett mer exakt sätt kan vi använda begreppet "rektifierbara kurvor". En kurva kallas rektifierbar om den har en ändlig längd. Detta innebär att summan av de infinitesimala längderna längs kurvan, när man integrerar över hela dess parametriserade intervall, är ändlig. Om en kurvas parametrisering inte leder till en ändlig längd, klassificeras kurvan som icke-rektifierbar.

För att förstå detta konkret, överväg en cirkel som parametriseras genom $\gamma(t) = (R \cos t, R \sin t)$ . Längden av denna kurva över intervallet $[0, 2\pi]$ kan beräknas genom att använda formeln för längden:

L(\Gamma) = \int_0^{2\pi} \sqrt{R^2 \sin^2(t) + R^2 \cos^2(t)} dt = 2\pi R

Detta visar att längden av en cirkel beror direkt på dess radie $R$ . På samma sätt kan vi beräkna längden av andra kurvor, såsom spiraler eller helixkurvor, där parametriseringarna kan vara mer komplexa men fortfarande följa samma grundläggande principer.

Ett exempel på en mer komplicerad kurva är en logaritmisk spiral som parametriseras genom $\gamma(t) = e^{\lambda t}(\cos t, \sin t)$ , där $\lambda$ är en konstant. Denna kurva har en längd som beror på parametern $\lambda$ , och beroende på om $\lambda$ är positiv eller negativ, spiralar kurvan inåt eller utåt.

För att sammanfatta är förståelsen av parametriseringar och deras inverkan på kurvans längd en central aspekt av geometrin. När vi studerar kurvor, oavsett om de är enkla eller komplexa, är det avgörande att förstå hur deras parametriseringar relaterar till deras fysiska form i rummet och hur detta påverkar beräkningarna av deras längd. Genom att noggrant analysera dessa parametriseringar kan vi få insikter i kurvans egenskaper, såsom kontinuitet, regelbundenhet och rektifierbarhet, vilket i sin tur hjälper oss att bättre förstå kurvans geometriska och analytiska egenskaper.

När är en differentialform sluten och hur definieras linjeintegraler av Pfaffformer?

En differentialform α är sluten om och endast om dess yttre derivata är noll, vilket i koordinatform innebär att derivatan av dess komponentfunktioner är symmetrisk, det vill säga ∂a(x) är symmetrisk för varje punkt x i det öppna området X. Detta samband är fundamentalt för förståelsen av differentialformers topologiska egenskaper och deras koppling till integrerbarhet.

Ett illustrativt exempel är formen α = (x dy − y dx)/(x² + y²) definierad på R² utan origo. Denna form är sluten men inte exakta, vilket betyder att den inte kan uttryckas som differentialen av en funktion globalt. Detta exemplifierar att slutenhet inte alltid innebär exakthet, särskilt i områden med hål eller singulariteter. När man parametriserar en cirkel kring origo med γ(t) = (cos t, sin t) för t ∈ [0, 2π], ger integralen av α längs denna sluten kurva värdet 2π, vilket bekräftar att α inte är exakt eftersom integralen inte är noll.

För att generalisera integration från reella funktioner till kurvor i R^n introduceras linjeintegraler av Pfaffformer. En Pfaffform är en differentialform av första ordningen, exempelvis α = a₁ dx₁ + ... + a_n dx_n, där a_j är kontinuerliga funktioner. Linjeintegralen av α längs en styckvis C¹-kurva γ definieras som integral över parameterintervallet av α(γ(t), γ̇(t)) dt. Denna definition är oberoende av parametriseringens val, vilket säkerställs genom substitutionsregeln för integraler.

Ett grundläggande exempel visar att integralen av α = x dy − y dx över en cirkel med radie R är 2πR², vilket kan beräknas genom att använda parameteriseringen γ(t) = (R cos t, R sin t). Denna integral motsvarar kurvans orientering och dess geometri.

Exakta Pfaffformer har egenskapen att deras linjeintegral längs en kurva endast beror på kurvans ändpunkter. För en exakt form α = df, där f är en C¹-funktion, gäller ∫_Γ α = f(E) − f(A), där A och E är kurvans start- respektive slutpunkt. Om kurvan är sluten är denna integral alltid noll, vilket speglar konservativa fält i klassisk analys.

Det finns dock stängda former som inte är exakta, vilket är nära kopplat till områdets topologi. På öppna områden utan hål är varje sluten form också exakt, men på områden med hål, som R² utan origo, kan det finnas icke-exakta slutna former. Detta fenomen är av central betydelse inom differentialgeometri och topologi.

Integraler av Pfaffformer uppvisar grundläggande egenskaper: de är linjära funktionaler på rummet av differentialformer, de byter tecken när kurvans orientering vänds, och är additiva över sammansatta kurvor. Dessa egenskaper gör linjeintegraler till viktiga verktyg för att analysera vektor- och fältstrukturer i flera dimensioner.

Det är även viktigt att förstå kopplingen mellan exakthet och slutenhet under diffeomorfismer. Om ϕ är en diffeomorfism mellan öppna mängder i R^n och α är en differentialform, så är α exakt om och endast om ϕ*α är exakt. Motsvarande gäller för slutenhet när graden av formen är minst två. Denna invarians är grundläggande i geometrisk analys.

Integrerande faktorer, eller Euler-multiplikatorer, är funktioner h som multiplicerar en differentialform α så att hα blir sluten. För en 1-form α = a dx + b dy finns en villkorande differentialekvation som beskriver när en sådan h existerar. Exempelvis kan vissa former ha integrerande faktorer som är funktioner av produkten xy i det positiva kvadranten.

När man studerar linjeintegraler är det också centralt att förstå deras relation till lösningar av ordinära differentialekvationer. En lösning u(t) till ekvationen ẋ = f(t, x) ger en kurva vars lyftning ϕ_u uppfyller ϕ_u*α = 0 för en viss differentialform α.

Sammantaget erbjuder teorin om linjeintegraler av Pfaffformer ett sammanhängande ramverk som förenar analys, topologi och geometri, vilket möjliggör en djup förståelse för integrering längs kurvor i flerdimensionella rum.

Det är av vikt att även beakta områdets topologi vid tolkning av linjeintegraler och egenskaper hos differentialformer. Till exempel kan hålrum och singulariteter påverka huruvida en form är exakt eller ej, vilket i sin tur påverkar integraler längs sluta kurvor. En djupare insikt i detta kräver en introduktion till dekoho-mologiteori och topologiska invarianters roll i analysen av differentialformer.

Vad är Ethernet och hur fungerar det i moderna nätverk?
Hur kan Reduced Order Modeling (ROM) förbättra simuleringar och experiment vid flygplansisbildning?
Hur skapar en manager respekt på planen?