I följande resonemang härleds styvhetsmatriser för olika ram- och trusselement baserade på den grundläggande ekvationen (2.1). För tydlighets skull presenteras här den detaljerade processen för att härleda styvhetsmatrisen för ett planramselement.

Låt (x, y) vara ett system av ortogonala kartesiska koordinater där x-axeln representerar den centrala axeln för det planramselement som visas i Figur 2.1(a). För detta element är endast den axiella töjningen exxe_{xx} betydelsefull, medan alla andra töjningskomponenter kan antas vara noll. Som följd av detta reduceras ekvation (2.1) till:

∫VEexxδexx dV=R\int_{V} E e_{xx} \delta e_{xx} \, dV = R

där EE är materialets Youngs modul och integrationen tas över hela volymen av balken. Från ekvation (1.24a) kan den axiella töjningen exxe_{xx} vid en godtycklig punkt N på balken relateras till den axiella förskjutningen uxu_x vid samma punkt som:

exx=∂ux∂xe_{xx} = \frac{\partial u_x}{\partial x}

Baserat på Bernoulli-Euler-hypotesen, förblir en tvärsektion som är plan och normal mot den longitudinella axeln av balken plan och normal mot samma axel efter deformation. Följaktligen kan de axiella och tvärgående förskjutningarna uxu_x och uyu_y vid den generiska punkten N relateras till förskjutningarna uu och vv vid centrum C av balken i samma tvärsektion som:

ux=u−yv′u_x = u - yv'
uy=vu_y = v

där ett primtecken betecknar derivatan med avseende på koordinaten x. Genom att ersätta uxu_x i ekvation (2.4) får vi:

exx=u′−yv′′e_{xx} = u' - y v''

Vidare kan vi genom att ersätta denna töjning exxe_{xx} i ekvation (2.3) skriva den virtuella arbetsekvationen som:

∫0L(EAu′δu′+EIzv′δv′′) dx=R\int_0^L (E A u' \delta u' + E I_z v' \delta v'') \, dx = R

där LL är balkens längd, tvärsnittsarean antas vara konstant genom hela elementets längd, och IzI_z är tröghetsmomentet för tvärsektionen om z-axeln, definierat som:

Iz=∫y2 dAI_z = \int y^2 \, dA

För att härleda det externa virtuella arbetet RbR_b, bortser vi från kroppskräfter och antar att yttre belastningar endast är koncentrerade vid balkens två ändar A och B. Det externa virtuella arbetet som görs av yttre krafter vid änden B kan integreras över tvärsnittsarean AA:

Rb=∫A(txδux+tyδuy) dAR_b = \int_A (t_x \delta u_x + t_y \delta u_y) \, dA

där txt_x och tyt_y är yttre krafter vid änden B som är positiva när de verkar längs de positiva x- och y-axlarna, respektive. Baserat på jämviktsvillkoren kan den axiella kraften FxbF_{xb}, skjuvkraften FybF_{yb} och böjmomentet MzbM_{zb} vid sektionen B relateras till de yttre krafterna som:

Fxb=∫Atx dAF_{xb} = \int_A t_x \, dA
Fyb=∫Aty dAF_{yb} = \int_A t_y \, dA
Mzb=−∫Atxy dAM_{zb} = - \int_A t_x y \, dA

Genom att ersätta ekvationerna för förskjutningarna uxu_x och uyu_y i formeln för det externa arbetet RbR_b kan vi skriva det som:

Rb={δub}T{fb}R_b = \{ \delta u_b \}^T \{ f_b \}

där superskriptet TT betecknar transponering av en vektor, {•}\{•\} är en kolumnvektor, {ub}\{ u_b \} är förskjutningsvektorn för änden B, och {fb}\{ f_b \} är motsvarande kraftvektor. En liknande process kan tillämpas för det externa arbetet vid änden A av balken.

Det totala externa virtuella arbetet RR av balken fås genom att addera de externa arbetena vid ändarna A och B:

R=Ra+Rb={δu}T{f}R = R_a + R_b = \{ \delta u \}^T \{ f \}

Där {u}\{ u \} är vektorn av förskjutningar för hela elementet, och {f}\{ f \} är den associerade kraftvektorn.

För att härleda de styvhetsmatriser som behövs för finita elementmetoden, integreras den virtuella arbetsekvationen enligt parts, vilket ger de virtuella kvantiteterna δu\delta u och δv\delta v. Genom att använda den härledda relationen kan de nödvändiga styvhetsmatriserna sedan bestämmas för det aktuella elementet.

För att avsluta denna process måste vi även tänka på konventionerna för tecken vid de externa krafterna och momenten. I detta sammanhang anses en kraft positiv om den verkar åt höger eller uppåt, medan ett böjmoment anses positivt om det verkar moturs. Detta skiljer sig från den signkonvention som vanligen används i mekanikproblem, där en axiell kraft anses positiv om den sträcker ut balken, en skjuvkraft är positiv om den roterar balken medurs på x–y-planet, och ett böjmoment är positivt om det deformeras balken i en konkav uppåtriktad form.

Den här metoden baserad på det virtuella arbetets princip är lika rationell som den som grundar sig på de styrande differentialekvationerna och randvillkoren för det betraktade problemet. En insikt i de styrande differentialekvationerna ger värdefulla ledtrådar för att välja de bästa interpolationsfunktionerna och noderna i finita elementformuleringen. Det är viktigt att komma ihåg att även när variationalprocedurer används för att härleda styvhetsmatriserna, kan de styrande differentialekvationerna härledas som Euler-Lagrange-ekvationerna för funktionalen för det aktuella problemet.

Hur truss-elementet illustrerar rigid body-regeln i icke-linjär analys

Truss-elementet utgör ett utmärkt exempel på hur rigid body-regeln, som presenterades i kapitel 3 eller av Yang och Chiou (1987), kan tillämpas. Detta beror på att trussens beteende kan beskrivas utan att behöva införa några kinematiska hypoteser för att beskriva beteendet hos tvärsnittsmedlemmarna. Till skillnad från teori för plana balkar, som bygger på Bernoulli–Euler-hypotesen om att tvärsnittet förblir plan efter deformation, är trussens elastiska samband alltid giltiga utan modifieringar. Detta innebär att även om de höga ordningarna som förekommer i den finita elementformuleringen är komplexa, är deras fysiska tolkning enkel, och alla termer – oavsett ordning – är viktiga när det gäller att förstå det rigida kroppsbeteendet.

I en inkrementell icke-linjär analys, som baseras på den uppdaterade Lagrange-formuleringen, uppstår en viktig fråga när det gäller de materialkoefficienter som specificeras. Dessa koefficienter sätts ofta som konstanta inom varje inkrementellt steg. Ett material specificerat på detta sätt kallas ett inkrementellt linjärt material, men i verkligheten är det ett icke-linjärt material. Det verkliga linjära materialet är det som definieras genom de totala Piola–Kirchhoff-spänningarna och de totala Green–Lagrange-sträckningarna. Skillnaden mellan ett inkrementellt linjärt material och ett verkligt linjärt material blir tydlig när de ackumulerade deformationerna från föregående inkrementella steg är stora.

Yang och Leu (1990, 1991) använde enkla trussar för att belysa denna skillnad och visade på hur materialet beter sig vid stora deformationer. Vid varje inkrementellt steg, i en analys där iterationer utförs för att uppnå strukturens jämvikt, kan tre faser identifieras. Den första fasen, eller prediktorfasen, handlar om att lösa för förflyttningsinkrement från jämviktsekvationerna för strukturen. Den andra fasen, eller korrektorfasen, innebär att återhämta elementkraftsincrement från de förflyttningsinkrement som erhållits i prediktorfasen. Efter varje inkrementellt steg kan därför de krafter som verkar på varje element erhållas genom att summera de initiala krafterna från början av det inkrementella steget (enligt rigid body-regeln) och de krafter som uppstått under det aktuella steget.

I den tredje fasen av analysen kontrolleras strukturell jämvikt för att säkerställa att konvergens uppnåtts vid den nya deformerade konfigurationen. Genom att summera elementkrafterna vid varje nod och jämföra dem med de yttre lasterna kan obalanserade krafter beräknas. När dessa obalanserade krafter inte är försumbar kan iterationerna mellan de första och andra faserna behöva upprepas för att uppnå balans.

Icke-linjär analys är ett komplext område, och många metoder har föreslagits för att lösa strukturella problem, såsom de som beskrivs av Chajes och Churchill (1987). Trots detta finns det fortfarande oklarheter inom litteraturen om vissa grundläggande delar av icke-linjär analys. Detta gäller särskilt när det handlar om de rigida kroppsegenskaperna hos finita element, exempelvis i behandlingen av högre ordningens termer som härrör från derivatan av elementets styvhetsmatriser genom den virtuella arbetsmetoden. Dessa termer är centrala för att återhämta och uppdatera elementkrafter och därmed påverkar de strukturell jämvikt i en inkrementell-iterativ icke-linjär analys.

För att kunna härleda jämviktsekvationerna för en tvådimensionell truss-element, baserat på den virtuella arbets-ekvationen som presenterades i kapitel 1, behöver vi använda den uppdaterade Lagrange-formuleringen. I denna process kommer det att visas att borttagning av en högre ordningens term från styvhetsformuleringen beror inte bara på ordningen av termen själv, utan också på hur den påverkar det rigida kroppsbeteendet. För att inte bryta mot rigid body-regeln måste vissa termer behandlas som en enhet, där de övervägs tillsammans genom hela härledningen. Försök att behålla en del av dem medan andra försummas kan leda till fiktiva krafter i element som genomgår rigida kroppsrörelser. Dessa felaktigheter kan spridas vidare till korrektorfasen och leda till felaktiga elementkrafter, vilket ytterligare kan leda till felaktiga obalanserade krafter i strukturen.

En av de mest intressanta insikterna från denna process är att vi kan se att vissa höga och låga ordningens termer borde behandlas tillsammans som en matchande uppsättning för att hantera de rigida rotationerna korrekt. En annan kombination av termer kan användas för att beskriva sträckbeteendet, vilket ger en inblick i den elegans som elastiska komponenter i strain-formuleringarna kan ha.

Hur stabilitet och osäkerhet påverkar icke-linjär strukturanalys

En allmän egenskap hos parameter CSP (Control Stability Parameter) är att den tenderar att öka för strukturer som är i uppstyvningstadiet och att minska för strukturer som är i nedbrytningstadiet. För strukturer som når gränspunkterna på belastnings-deformationskurvorna (se Figur 7.4) blir CSP exakt lika med noll. Därmed refererar ett positivt värde på CSP till en stabil region på belastnings-deformationskurvorna, där externa laster kan appliceras i ökande mängd. För att uppfylla detta lastningsstadium bör lastparameter λi1 i ekvation (7.38) göras positiv. Å andra sidan motsvarar ett negativt CSP ett instabilt område på belastnings-deformationskurvorna, där externa laster bör appliceras i minskande mängd. Följaktligen bör den negativa signen i ekvation (7.38) väljas.

En nackdel med CSP är att den tenderar mot oändligheten i närheten av snap-back-punkter, som kommer att diskuteras i sektion 7.8.1. Av denna anledning är den arbetskontrollmetod som beskrivs här generellt bra för att spåra vägar med gränspunkter, men har begränsad framgång när det gäller att spåra vägar som involverar snap-back-punkter.

I en icke-linjär analys står vi grundläggande inför problemet att lösa för de N+1 systemparametrarna (dvs. N förskjutningskomponenter {ΔU i j} och en lastfaktor λij) från de N+1 systemekvationerna (dvs. N jämvikts ekvationer och en restriktions ekvation). De N jämviktsekvationerna för strukturen som är lämpliga för det j:e av det i:te inkrementet i en icke-linjär analys har formulerats och givits i form av ekvation (7.20), som återges nedan:

[Kij−1]ΔUij=λijP^+Rij−1[Ki j−1]{ΔU i j} = λij{P̂}+ {Ri j−1}

där [Ki j−1] är strukturets tangentstyvhet, {ΔU i j} är förskjutningsinkrementets vektor, {P̂} är referenslastvektorn och {Ri j−1} betecknar den obalanserade kraftvektorn som härrör från den senaste iterationen. Anledningen till att lastparameter λijx inkluderas som en variabel (okänd) är att skapa ett system som kan kringgå gränspunktproblem genom att genomföra iterationer utan att hålla lasterna konstant.

För att lösa de N förskjutningarna {ΔU i j} och en lastparameter λij krävs en restriktions ekvation utöver ekvationen (7.42). För att underlätta den inkrementella och iterativa beräkningen är det praktiskt att dela upp ekvationen (7.42) i två delar enligt följande (Batoz och Dhatt, 1979):

[Kiij−1]ΔU^j=P^[Ki i j−1]{ΔÛ j} = {P̂}
[Kij−1]ΔUˉj=Rij−1[Ki j−1]{ΔŪ j} = {Ri j−1}

Genom att kombinera lösningarna från dessa två ekvationer kan den strukturella lösningen erhållas som:

ΔUij=λijΔU^j+ΔUˉj{ΔU i j} = λij{ΔÛ j}+ {ΔŪ j}

där lastparametern λij måste bestämmas från restriktionsvillkoret.

För att förstå skillnaderna mellan de lösningsmetoder som diskuteras tidigare måste det konstateras att dessa skiljer sig endast i hur kontrollparametrarna eller restriktions ekvationerna används för att bestämma lastinkrementen och genomföra iterationerna. Teoretiskt sett kan alla N+1 systemparametrar väljas, antingen individuellt eller i kombination, som kontrollparametrar. I en allmän formulering är det användbart att börja med följande restriktions ekvation:

CTΔUij+kλij=Hij{C}^T {ΔU i j} + kλij = H i j

där alla N+1 systemparametrar har beaktats. Pålitligheten och effektiviteten hos en icke-linjär lösningsmetod beror på valet av konstanterna {C} och k samt det inkrementella parametern H i j för restriktions ekvationen. Stabilitet eller begränsad respons, som ofta används i studier av strukturell prestanda, kan här fungera som ett kriterium för att utvärdera lämpligheten hos olika restriktions ekvationer.

De tidigare systemekvationerna och restriktions ekvationen, dvs. ekvationerna (7.43)–(7.46), kan kombineras till en enda matris ekvation i N+1 dimensionsrummet enligt följande:

[K^i]λijΔU^j+[Kˉi]ΔUˉj=Hij[K̂i]λij{ΔÛ j} + [K̄i] {ΔŪ j} = H i j

Därmed är det möjligt att analysera hur stabiliteten i de numeriska lösningarna påverkas. Detta ger en grund för att bedöma numerisk stabilitet vid lösning av icke-linjära problem. Här anses en metod vara numeriskt stabil endast om både last- och förskjutningsinkrementen, det vill säga λij och {ΔU i j}, förblir begränsade under hela lastningshistoriken.

När gränspunkten uppnås blir determinantens värde för [Ki]-matrisen lika med noll och detsamma gäller för [K̂i]-matrisen. Alla metoder som använder restriktions ekvationen i form av ekvation (7.46) kommer att misslyckas vid gränspunkterna. Det bör dock noteras att en gränspunkt (eller snap-back-punkt) representerar en ideal matematisk punkt på belastnings-deformationskurvorna, som sällan nås i praktiken på grund av beräkningsfel som trunceringsfel och avrundningsfel.

För att bedöma lösningsmetodernas konvergens är det också viktigt att förstå att när ett system rör sig mot en gränspunkt, kommer en numerisk instabilitet kunna uppstå om metoden inte är anpassad för att hantera sådana situationer på ett stabilt sätt.

Hur man hanterar problem med deformation i böjda ramkonstruktioner

I många strukturanalyser, särskilt när det gäller komplexa problem som deformationsproblem vid buckling (utbuckling), är det avgörande att använda ett stort antal element för att minimera de fel som kan uppstå på grund av bristande noggrannhet i geometrimodelleringen. I det aktuella fallet, där 26 element har använts, har resultaten visat sig vara mycket nära de lösningar som erhölls av Harrison (1978), som använde ett finare nät av 50 element. Den självadaptiva kapaciteten i den använda GDC-metoden (Geometriskt Dynamisk Komplexitet) för att lösa problem med postbuckling har på ett tydligt sätt demonstrerats i detta exempel.

I en annan studie analyseras ett snedvridet ramverk under enhetlig böjning som tillåts buckla utanför planet, vilket undersökts av Argyris et al. (1979), Simo och Vu-Quoc (1986), samt Yang och Kuo (1992). De tredimensionella egenskaperna hos denna ram kommer fullt ut att avslöjas i postbuckling-intervallet, då den inte är begränsad till in-plane deformation. I det aktuella fallet har ramens geometri följande egenskaper: tvärsnittsarea A = 18 mm², torsionskonstant J = 2.16 mm⁴, böjmoment (mindre axel) Iy = 0.54 mm⁴, böjmoment (större axel) Iz = 1,350 mm⁴, längd L = 240 mm, elasticitetsmodul E = 71,240 N/mm² och Poisson's kvot υ = 0.31. På grund av symmetrin i den angivna ramen analyseras bara vänstra halvan, som är modellerad med 10 element.

För att undersöka effekten av positiv och negativ böjning på ramverket analyseras två olika lastfall. För första lastfallet, där ett moment MzA = −250 N·mm appliceras, samt en perturbationslast FzB = 0.0025 N, har nodala förskjutningar uxA och uzB plottats mot det applicerade momentet MzA. Den aktuella metoden för att återställa elementkrafter predicerar ett kritiskt moment på −600.6 N·mm, vilket stämmer bra överens med den teoretiska bucklingbelastningen som härleddes av Yang och Kuo (1991), där Mcr = ±(π EIzGJ)/L = ±622.2 N·mm.

I ett andra lastfall, där ett positivt moment MzA = 150 N·mm appliceras, och en annan perturbationslast FzB = 0.0015 N, observeras en positiv kritisk moment på 619.6 N·mm, vilket också överensstämmer mycket väl med den linjäriserade bucklingvärdet på 622.2 N·mm. Jämförelser med kritiska laster förutsagda av Argyris et al. (1979) och Simo och Vu-Quoc (1986) ger värden på 624.77 N·mm respektive 626 N·mm, vilket också bekräftar att den numeriska metoden ger resultat i linje med tidigare forskning.

När det gäller buckling av böjda balkar är det viktigt att notera att de postbucklinglösningar som erhållits med denna metod är i god överensstämmelse med de lösningar som gavs av Argyris et al. (1979) och Simo och Vu-Quoc (1986). Detta visar att de nuvarande metoderna inte bara kan förutsäga kritiska bucklingmoment, utan också hantera de komplexa beteendena i postbucklingområdet på ett tillförlitligt sätt.

Ett annat exempel som undersöks är buckling av en cirkulär båge under enhetlig böjning. Detta scenario representerar i praktiken vänstra halvan av en gångjärnsförsedd halvcirkelbåge. Den linjäriserade bucklingbeteendet för detta problem har tidigare studerats av Yang och Kuo (1987). Bågen är gångjärnsförsedd vid stödpunkt A, där rotationer om X- och Y-axlarna är begränsade, och översättningar längs Y- och Z-axlarna är också restrikterade. På grund av symmetri betraktas bara vänstra halvan av bågen, och för att initiera buckling i planet utanför bågen appliceras en torsion MXb, vars storlek är lika med 1/500 av det applicerade böjmomentet MZa, för att skapa en imperfektion i lastningen.

För att lösa detta problem har bågen approximativt modellerats med tolv raka balkelement. Last-deformation-kurvorna för de tre typiska frihetsgraderna har plottats och visat att bucklingbelastningarna som beräknats med den aktuella icke-linjära metoden för positiv och negativ böjning är 970.1 N·mm och −943.0 N·mm, vilket är mycket nära de linjäriserade bucklingvärdena på 974.7 N·mm och −947.0 N·mm som beräknats med samma rakbalkmodell. Genom att studera de plottade kurvorna kan vi se att när slutpunkten B roterar från 0° till 360°, kommer bågen att rotera utanför planet om den horisontella X-axeln och återgå till sin ursprungliga konfiguration. Detta gäller oavsett om bågen initialt lastas med positiva eller negativa böjmomentsbelastningar.

För att hantera postbuckling och finita rotationer som inträffar i dessa problem är det viktigt att den använda metoden inte bara korrekt förutsäger de kritiska bucklingbelastningarna utan också kan hantera den komplexa tredimensionella rotationen som uppstår i det postbucklingområdet. Denna förmåga att hantera fina rotationer i tre dimensioner gör metoden lämplig för tillämpningar där strukturen genomgår stora deformationer, såsom i cirkulära bågar eller ramar som utsätts för asymmetriska belastningar.

För den som arbetar med liknande strukturanalyser är det avgörande att ha en grundläggande förståelse för de geometriska och materialmässiga egenskaperna hos de objekt som analyseras, samt att noggrant beakta den numeriska lösningens stabilitet och precision vid beräkning av kritiska laster och postbucklinglösningar.

Hur påverkar vridningsmotståndet utbuckling av ramar under ensidig böjning?

När vi talar om sidoutbuckling av vinklade ramar under böjning, är det avgörande att förstå de komplexa interaktionerna mellan flexural och torsionala krafter. Denna typ av buckling är tredimensionell till sin natur och skiljer sig väsentligt från de mer klassiska fallen av buckling inom samma plan. Till skillnad från in-plan buckling, där böjmotståndet hos ramen ofta ensam bestämmer det kritiska böjmomentet, måste vid utbuckling även torsionens effekt beaktas, vilket gör problemet mer mångfacetterat.

För en ram utsatt för ensidig böjning är det viktigt att förstå att det kritiska lastvärdet för buckling inte endast bestäms av de flexurala egenskaperna hos medlemmarna, utan också av deras torsionsegenskaper. När dessa egenskaper samverkar, påverkar de både de individuella medlemmarnas böj- och vridningsreaktioner genom de strukturella jämviktsvillkoren och de differentialekvationer som styr systemet. Detta innebär att nodala moment måste tas med i beräkningen för att korrekt upprätta de naturliga randvillkoren för de strukturella lederna som är direkt påverkade av momentbelastningar.

För att illustrera dessa komplexiteter, kan vi studera tre vinklade ramar utsatta för ensidig böjning. De analytiska lösningarna som presenteras här bygger på en grundläggande ingenjörsteori som beaktar tre komponenter av spänningar och deformationer. Dessa lösningar gör det möjligt att fastställa kritiska belastningar, vilket kan användas som referenser för att verifiera noggrannheten hos olika finita elementmetoder.

Ett exempel på en ram som är helt fritt stödd både i och utanför sitt plan, utsätts för ett konstant böjmoment. Ramen är antagen att ha medlemmar med identiska tvärsnittsformer och försumbar vridstyvhet. Genom att applicera de rätta differentialekvationerna och randvillkoren, kan vi härleda uttryck för de krafter som verkar på ramen under buckling. Den viktiga observationen är att de olika krafterna, som skjuvkraft, vridmoment och böjmoment, samverkar på ett komplext sätt under buckling. Detta innebär att den totala kraften på ramen inte kan beskrivas enbart genom böjmomentet, utan måste inkludera bidrag från både böj- och torsionsmoment.

Vid buckling kan vi tala om bifurkationsbuckling, vilket innebär att den ursprungliga konfigurationen av ramen är densamma som den prebucklade konfigurationen. Därmed kan de härledda uttrycken för krafter och deformationer användas för att beskriva beteendet hos ramen i det bucklade tillståndet. När man jämför dessa lösningar med de som erhållits genom mer konventionella metoder, kan man märka en skillnad i hur vridmomenten tas i beaktning. Denna aspekt av nodala momentrotationer är något som ofta förbises i traditionella analyser, vilket gör de konventionella lösningarna mindre exakta.

När det gäller symmetrisk buckling, som uppstår när ramen deformeras på ett sätt som är likadant på båda sidor av en viss mittpunkt, krävs det specifika randvillkor för att korrekt beskriva detta fenomen. Dessa randvillkor säkerställer att både förskjutning och vridning i nodpunkterna upprätthålls enligt de fysiska förhållandena i systemet. Genom att lösa dessa villkor kan vi få fram kritiska belastningar som är specifika för den symmetriska bucklingen, vilket gör att vi kan identifiera den punkt där ramen förlorar sin stabilitet och börjar buckla.

Det är också av betydelse att observera att den kritiska belastningen varierar beroende på ramen lutning. För negativ böjning är de kritiska belastningarna högre än för positiv böjning, vilket är fysiskt rimligt då torsionens effekt blir mer påtaglig i den negativa böjningsriktningen. Vidare kan vi se på en specialfall där ramen är helt horisontell, vilket reducerar den vinklade ramen till en enkel balk under böjning. I detta fall kan vi härleda lösningar som exakt matchar de klassiska resultaten för en enkel balk.

För att korrekt förstå och tillämpa dessa lösningar måste det dock också beaktas att en ofullständig hantering av vridningskomponenterna i modeller kan leda till felaktiga slutsatser om ramens stabilitet och kritiska lastvärden. Det är därför viktigt att vid användning av finita elementmetoder, och vid utveckling av numeriska modeller för sådana strukturer, se till att även dessa vridningseffekter noggrant beaktas.

Hur Gammafunktionen Definieras och Används i Asymptotisk Analys
Hur påverkar långsamma svängningar isbildning på rotorblad och dess numeriska simulering?
Hur man designar transitions och samtidiga tillstånd i FSM