För att förstå egenskaperna hos AV@Rλ och dess relationer till andra riskmått, måste vi börja med att definiera begrepp och bevisa vissa resultat som bygger på dessa definitioner. För detta syfte använder vi den tidigare ekvationen (4.47) för att visa att AV@Rλ är ett koherent riskmått när X < 0. Vi tar sedan upp en mer allmän situation för godtyckliga X ∈ L∞ där både ρλ och AV@Rλ är invariant mot kassaflöden. Detta faktum leder till en representation (4.48) som visar att AV@Rλ är koherent, vilket innebär att det uppfyller de grundläggande egenskaperna för ett riskmått som translationell invarianse, homogenitet och subadditivitet.

För att fortsätta vår bevisföring, behöver vi visa att Qλ är den maximala mängden enligt Korollarium 4.37. Det kan härledas från övning 4.4.4 och exempel 4.40, men vi presenterar här ett alternativt argument. Vi undersöker uttrycket för supremumet av skillnaden mellan EQ[−X]−AV@Rλ(X)EQ[-X] - AV@Rλ(X) för X i mängden X och för Q som inte tillhör Qλ. Här introducerar vi densiteten φ som förhållandet dQ/dPdQ/dP, där vi kan hitta ett λ∈(0, λ) och ett konstant k > 1/λ så att P[ϕ∧k≥1/λ]>0P[\phi \wedge k \geq 1/\lambda] > 0. Denna procedur leder till att skillnaden mellan EQ och AV@Rλ blir obegränsat stor när parameter c går mot oändligheten. Detta innebär att sup⁡(EQ[−X]−AV@Rλ(X))=+∞\sup (EQ[-X] - AV@Rλ(X)) = +\infty för Q ∉ Qλ.

För att visa kontinuitet från underifrån, antag att q är en λ-quantil för X ∈ X. För en godtycklig sekvens (Xn)(X_n) som ökar mot X, använder vi dominerad konvergens för att visa att AV@Rλ(X)≤lim sup⁡AV@Rλ(Xn)AV@Rλ(X) \leq \limsup AV@Rλ(X_n). Detta bevisar att AV@Rλ är kontinuerlig från underifrån.

Vidare, enligt Remark 4.53, visar beviset för teorem 4.52 att för λ ∈ (0, 1) är det maximala i (4.48) givet av måttet Q₀ ∈ Qλ, vars densitet är dQ0/dP=λ(1X≥λ)dQ₀/dP = λ(1{X ≥ λ}). Detta innebär att AV@Rλ kan ses som en mer exakt approximation av V@Rλ, när de underliggande förutsättningarna är tillräckligt starka.

I remark 4.55 påpekas det att om det underliggande sannolikhetsutrymmet är tillräckligt rikt, kommer de två riskmåtten AV@Rλ och WCEλ att sammanfalla. Detta sker när sannolikhetsutrymmet är tillräckligt rikhaltigt, vilket innebär att AV@Rλ och WCEλ är lika när fördelningen av den slumpmässiga variabeln tillåter detta. Om detta inte är fallet, kan den första ojämlikheten i (4.49) vara strikt för vissa X.

Den andra delen av remark 4.55 diskuterar tail-conditional expectation (TCEλ), ett riskmått definierat som E[−X∣−X≥V@Rλ(X)]E[-X | -X ≥ V@Rλ(X)], vilket inte är ett konvext riskmått. Detta innebär att det inte alltid går att förenkla ojämlikheterna till lika med tecken.

Avslutningsvis visar remark 4.56 att om vi begränsar oss till konvexa riskmått som dominerar V@Rλ och som endast beror på fördelningen av en slumpmässig variabel, kommer AV@Rλ att vara det minsta sådana måttet om sannolikhetsutrymmet är tillräckligt rikt. Därmed kan AV@Rλ betraktas som den bästa konservativa approximationen av V@Rλ, vilket innebär att det är ett av de mest använda riskmåtten för att kvantifiera finansiella risker under givna förutsättningar.

Vidare, i sektionen om laginvariantriskmått, introduceras definitionen av ett laginvariant riskmått som ett mått där ρ(X)=ρ(Y)ρ(X) = ρ(Y) om X och Y har samma fördelning under P. En viktig egenskap hos laginvariantriskmått är att de är kontinuerliga uppifrån, vilket är en konsekvens av Fatou-egenskapen. Denna egenskap innebär att ρ(X)≤lim inf⁡ρ(Xn)ρ(X) \leq \liminf ρ(X_n) för varje sekvens (Xn)(X_n) som konvergerar P-a.s. till X.

Fatou-egenskapen är en central del i bevisen som leder till förståelsen av hur riskmått kan uppföra sig när de appliceras på stora mängder data eller vid förändrade marknadsförhållanden. Det visar att även om vissa mått kan vara svårhanterliga i sin direkta form, kan vi i praktiken alltid förlita oss på kontinuiteten och de underliggande egenskaperna som dessa mått har i de flesta vanliga tillämpningar.

Hur riskmått och acceptansset fungerar inom finansiella marknader: En analytisk syn

I teorin om riskmått och acceptansset, särskilt inom finansiella marknader, är det avgörande att förstå hur olika riskmått interagerar med den underliggande marknadsdynamiken. Låt oss börja med att definiera ett acceptansset ASA_S, där detta set definieras som alla positioner XX som är acceptabla i förhållande till ett specifikt riskmått. Detta mått, definierat som ρS\rho_S, är koherent och kommer att vara ett viktigt verktyg för att säkerställa att inga arbitragemöjligheter existerar. Om SS är en konvex kegel, blir även ASA_S en konvex kegel, och riskmåttet ρS\rho_S får den egenskapen att det är koherent och därmed uppfyller vissa grundläggande krav på stabilitet och tillförlitlighet.

För att analysera detta i mer detalj, tänk på den funktion αS\alpha_S, som representerar den minsta strafffunktionen för ett givet riskmått. Detta kan formuleras som:

min⁡αS(Q)=sup⁡Q∈M1EQ[−X],\min \alpha_S(Q) = \sup_{Q \in M_1} E_Q[-X],

där EQE_Q är det förväntade värdet under måttet QQ. Genom att använda denna strafffunktion kan vi definiera hur olika portföljer förhåller sig till acceptabilitet, särskilt när vi beaktar att marknaden inte nödvändigtvis är perfekt och fri från risker. Detta samband tillåter oss att ta fram en representation av det koherenta riskmåttet ρS(X)\rho_S(X), som ges av:

ρS(X)=sup⁡Q∈QSEQ[−X].\rho_S(X) = \sup_{Q \in Q_S} E_Q[-X].

Denna representation bygger på den observationen att om ett riskmått är koherent, kommer det att vara möjligt att skriva det som ett supremum av förväntade värden under alla möjliga ekvivalenta martingalmått QQ, där QSQ_S är den mängd av sådana mått som tillfredsställer ett specifikt krav på acceptabilitet.

För att förstå hur dessa riskmått fungerar i praktiken måste vi dock beakta vissa ytterligare egenskaper och den dynamiska marknadsstrukturen. En viktig aspekt här är att ett riskmått inte bara är beroende av marknadens nuvarande tillstånd utan även av hur marknaden kan förändras över tid. Därför måste vi inkludera tidsdimensionen när vi överväger de möjliga framtida tillstånden för en given portfölj.

En annan central aspekt är relationen mellan riskmått och arbitrage. Ett riskmått som inte är känsligt för arbitrage kan leda till situationer där arbitrage är möjligt. För att undvika detta krävs att det acceptabla setet SS inte innehåller några arbitragepositioner. I sådana fall kommer det att finnas en ekvivalent martingalmått som gör att ingen arbitrage är möjlig, vilket är en fundamental förutsättning för att ett riskmått ska vara koherent.

När vi sedan betraktar den mer allmänna situationen där vi inte insisterar på att en position alltid ska vara icke-negativ efter en lämplig hedging, utan istället fokuserar på om positionen är acceptabel under ett givet riskmått, kan vi använda en mer allmän definition av ett acceptansset. Här introduceras begreppet Aˉ\bar{A}, som definieras som:

Aˉ:={X∈L∞∣∃ ξ∈S, A∈A sa˚ att X+ξ⋅Y≥A P-a.s.}.\bar{A} := \{ X \in L^\infty \mid \exists \, \xi \in S, \, A \in A \text{ så att } X + \xi \cdot Y \geq A \text{ P-a.s.} \}.

Detta innebär att en position kan vara acceptabel även om den inte är strikt icke-negativ, men ändå tillfredsställer vissa krav på riskmåttets acceptans.

Den centrala idén här är att man genom att använda en convex riskmått ρA\rho_A kan definiera ett mer flexibelt acceptansset Aˉ\bar{A}, vilket gör att vi kan beskriva riskmått på ett sätt som inte kräver att alla positioner är strikt icke-negativa, utan snarare att de uppfyller vissa statistiska krav på förväntade värden.

Vidare, för att förstå denna dynamik fullt ut, bör läsaren tänka på det faktum att riskmått är dynamiska och bör uppdateras i enlighet med marknadens utveckling. När vi beaktar mått som ρS\rho_S, där SS är en konvex kegel, är det också viktigt att inse att dessa mått är sammanlänkade med den finansiella strukturen på marknaden, inklusive möjligheten till arbitrage. Därför kommer den verkliga nyttan av riskmått som ρS\rho_S och ρA\rho_A att bero på deras förmåga att exakt förutsäga marknadens rörelser och identifiera potentiella risker.

För att sammanfatta, i den finansiella marknaden är det avgörande att förstå sambandet mellan riskmått, acceptansset och arbitrage. Dessa koncept är inte bara teoretiska utan har praktiska tillämpningar för riskhantering och beslutsfattande inom investeringar och handel. För att en position ska vara acceptabel måste den vara förenlig med det valda riskmåttet, och vi måste ständigt vara medvetna om de möjliga förändringarna på marknaden som kan påverka dessa relationer.

Vad innebär etiska och sociala utmaningar inom AI?
Hur kan vetenskapen bli mer politisk i klimatdebatten?
Vad är den bästa strategin för att rusta unga människor med motståndskraft i kampen mot Fake News genom Media Studies?
Hur webbläsare och sökmotorer används på nya sätt för att förbättra säkerhet och effektivitet
Hur effektivt är väteenergi och dess lagringsteknologier för framtiden?