I de här resultaten undersöker vi hur ett stokastiskt Navier-Stokes system på en torus kan konvergera till en lösning av de deterministiska Navier-Stokes ekvationerna med ett extra dissipativt led, där dessa resultat härleds genom användning av skalningsparametern ϵ∈(0,1)\epsilon \in (0, 1). Utgångspunkten för denna analys kommer från skalningsgränserna som bevisats i tidigare arbeten, såsom i [6] och vidare i [5, 9, 10]. Den huvudsakliga frågan handlar om att identifiera de betingelser under vilka en lösning uϵu_\epsilon konvergerar i lag till en process uu, som löser den deterministiska Navier-Stokes ekvationen med en ytterligare dissipativ term κ\kappa.

Detta kan beskrivas genom den ekvationen:

u˙=Au dt+b(ut,ut) dt+κ(ut) dt.\dot{u} = A u \, dt + b(u_t, u_t) \, dt + \kappa(u_t) \, dt.

Här är κ:H→H\kappa: H \to H en negativt semidefinit operator som producerar extra dissipation, och valet av denna operator gör det möjligt att åstadkomma olika typer av fysikaliska modeller genom att exempelvis välja κ\kappa som en multipel av Laplace-operatören, beroende på de specifika parametrarna i systemet.

Viktigt att notera är att i den ovan nämnda ekvationen är varken det stokastiska integralet (på grund av skalningen) eller drifttermen enligt Ito-Stokes (på grund av den valda isotropin i bruset) närvarande. Denna förenkling gör det möjligt att studera de primära egenskaperna hos systemet i en renare form och fokusera på dess konvergensbeteende under olika skalningseffekter.

För att förstå detta system i detalj, måste vi också definiera några grundläggande antaganden och preliminära resultat. För varje s∈Rs \in \mathbb{R}, definierar vi Sobolev-rummet HsH^s som det vanliga Sobolev-rummet av nollmedelvärdes divergensfria vektorfält på torus T3T^3. En central observation är att operatorn CC, som definieras som själv-adjungering och negativt definit, spelar en grundläggande roll i systemets dynamik.

De förutsättningar som ställs på operatorn CC är:

  • C:D(C)⊂H→HC: D(C) \subset H \to H är själv-adjungering och negativt definit, med en principal egenvärde −λ0<0- \lambda_0 < 0.

  • Det finns en konstant γ>1/4\gamma > 1/4 som gör att det gäller en viss relation mellan operatorerna, vilket innebär att CC och Cϵ=C+ϵAC_\epsilon = C + \epsilon A genererar C0C_0-semigrupper på HH, som benämns som eCte^{Ct} respektive eCϵte^{C_\epsilon t}.

För att kunna definiera lösningar till systemet krävs också en noggrann definition av den stokastiska basen (Ω,F,{Ft}t≥0,P,W)(\Omega, \mathcal{F}, \{F_t\}_{t \geq 0}, P, W), där {Wk}k∈N\{W_k\}_{k \in \mathbb{N}} är sekvenser av standard Wiener-processer som är anpassade till en gemensam filtrering {Ft}t≥0\{F_t\}_{t \geq 0}. Denna struktur gör det möjligt att formulera en lösning som svagt martingallösning i termer av den renormaliserade processen yϵ=ϵ1/2vϵy_\epsilon = \epsilon^{1/2} v_\epsilon.

Det resulterande systemet får då formen:

duϵ=Auϵ dt+b(uϵ,uϵ) dt+ϵ−1/2b(yϵ,uϵ) dt,dyϵ=ϵ−1Cyϵ dt+Ayϵ dt+b(uϵ,yϵ) dt+ϵ−1/2b(yϵ,yϵ) dt+ϵ−1/2Q1/2dWt.\begin{aligned} du_\epsilon &= A u_\epsilon \, dt + b(u_\epsilon, u_\epsilon) \, dt + \epsilon^{ -1/2} b(y_\epsilon, u_\epsilon) \, dt, \\ dy_\epsilon &= \epsilon^{ -1} C y_\epsilon \, dt + A y_\epsilon \, dt + b(u_\epsilon, y_\epsilon) \, dt + \epsilon^{ -1/2} b(y_\epsilon, y_\epsilon) \, dt + \epsilon^{ -1/2} Q^{1/2} dW_t.
\end{aligned}

För att studera denna lösning definieras ett begrepp för svaga martingallösningar som innehåller vissa krav på energiegenskaper och mätbarhet, som anges i en noggrant formulerad definition av lösningen. Det påvisas också att för varje initialdata u0,y0∈Hu_0, y_0 \in H existerar åtminstone en sådan lösning. Detta är ett viktigt resultat, som bygger på de antaganden och förutsättningar som presenteras.

En ytterligare aspekt att beakta är hur de kvadratiska funktionerna relaterar till lösningen till Poisson-ekvationen och hur semigruppoperatorer definieras för denna lösning. Detta kräver förståelse av Ornstein-Uhlenbeck-ekvationen och den resulterande semigruppen PϵtP_\epsilon t, som är starkt kontinuerlig och fördelad i samband med den Gaussiska fördelningen.

Det är också viktigt att notera att QQ-operatorn som används i modellen är symmetrisk och positivt semidefinit, och att den kommuntativitet som antas mellan CC och QQ är en avgörande förutsättning för att identifiera det stokastiska integralet i systemet som ett Stratonovich-integral. Det bör också understrykas att denna kommuntativitet inte strikt är nödvändig, och det finns alternativa sätt att formulera stokastiska integraler om denna antagande tas bort, som kan leda till olika lösningar beroende på vilken typ av Brownsk rörelse som används.

För att bättre förstå dessa modeller är det avgörande att ha en klar bild av hur olika typer av icke-linjäriteter som bb fungerar inom ramarna för Sobolev-rum och hur de bidrar till systemets dynamik. För bb gäller att den måste vara bilinjär och kontinuerlig, vilket innebär att vi kan formulera det som en funktionell analys med exakta krav på de funktionella rummen där bb verkar.

Hur kan småskaliga och storskaliga vorticitetskomponenter förklaras i turbulensmodeller?

Vorticitet är en grundläggande egenskap hos vätskor som är avgörande för att förstå turbulens och de komplexa interaktionerna mellan olika skalor av flödet. I modeller av turbulens är det ofta nödvändigt att dela upp vorticiteten i storskaliga och småskaliga komponenter för att bättre kunna beskriva dynamiken hos ett turbulent flöde. Denna uppdelning görs vanligtvis genom att tillämpa filter, vilket ger en separation mellan de stora, långsamma rörelserna och de små, snabba fluktuationerna.

En typisk metod för att modellera turbulens använder sig av storlekskomponenter som delas upp i två huvudsakliga delar: en stor-skala komponent, ωϵ\omega_\epsilon, och en liten-skala komponent, ωϵ′\omega'_\epsilon. Dessa komponenter används för att skriva om de ursprungliga ekvationerna som styr turbulensen, vilket kan ge oss en mer hanterbar representation av de komplexa fluktuationerna.

För att beskriva dessa komponenter på ett formellt sätt skrivs deras dynamik som separata ekvationer, där rämnen eller rester förblir som termer som inte direkt kan lösas utan ytterligare approximationer eller modeller. Den grundläggande modellen kan skrivas som:

∂ωϵ∂t+uϵ⋅∇ωϵ−ωϵ⋅∇uϵ−ν∇2ωϵ=rϵ\frac{\partial \omega_\epsilon}{\partial t} + u_\epsilon \cdot \nabla \omega_\epsilon - \omega_\epsilon \cdot \nabla u_\epsilon - \nu \nabla^2 \omega_\epsilon = r_\epsilon
∂ωϵ′∂t+uϵ′⋅∇ωϵ′−ωϵ′⋅∇uϵ′−ν∇2ωϵ′=rϵ′\frac{\partial \omega'_\epsilon}{\partial t} + u'_\epsilon \cdot \nabla \omega'_\epsilon - \omega'_\epsilon \cdot \nabla u'_\epsilon - \nu \nabla^2 \omega'_\epsilon = r'_\epsilon

Här är rϵr_\epsilon och rϵ′r'_\epsilon rester som innehåller termer som inte direkt kan beräknas utan att applicera modeller som Reynolds-stress eller andra storskaliga approximativa tekniker. Ett av de största problemen med denna metod är att dessa rester är svåra att hantera och ofta leder till en komplex matematisk struktur.

Det finns emellertid alternativa metoder för att hantera dessa rester på ett mer hanterbart sätt, som genom att definiera en filteroperator Fϵ\mathcal{F}_\epsilon som separerar de stora och små skalorna. I detta sammanhang antas de storskaliga komponenterna, ωL\omega_L, och de småskaliga komponenterna, ωS\omega_S, kunna lösas som ett system av ekvationer där vi kan beskriva deras interaktioner utan att förlora för mycket information om dynamiken.

Dessa ekvationer kan då skrivas på ett sätt där de småskaliga resterna får enklare former:

∂ωL∂t+uL⋅∇ωL−ωL⋅∇uL−ν∇2ωL=−uS⋅∇ωL+ωL⋅∇uS\frac{\partial \omega_L}{\partial t} + u_L \cdot \nabla \omega_L - \omega_L \cdot \nabla u_L - \nu \nabla^2 \omega_L = -u_S \cdot \nabla \omega_L + \omega_L \cdot \nabla u_S
∂ωS∂t+uS⋅∇ωS−ωS⋅∇uS−ν∇2ωS=−uL⋅∇ωS+ωS⋅∇uL\frac{\partial \omega_S}{\partial t} + u_S \cdot \nabla \omega_S - \omega_S \cdot \nabla u_S - \nu \nabla^2 \omega_S = -u_L \cdot \nabla \omega_S + \omega_S \cdot \nabla u_L

Detta förenklar problemet avsevärt, eftersom de nya resterna är enklare att förstå och ge oss en bättre förståelse för hur de småskaliga och storskaliga fluktuationerna samverkar. Men, det finns också en begränsning: även om denna uppdelning gör beräkningarna enklare, innebär den också att vi måste göra antaganden om hur länge de småskaliga komponenterna förblir små och hur snabbt de kan växa och påverka de större skalorna.

I praktiken innebär detta att de småskaliga komponenterna ωS\omega_S kan utvecklas över tid, särskilt i 2D-flöden där de småskaliga virvelstrukturerna tenderar att sammansluta till större strukturer. Därför bör modellen ses som lokal i tiden och inte applicerbar för långsiktiga prediktioner. Detta är en viktig distinktion att hålla i åtanke när man arbetar med denna typ av turbelensmodellering.

En annan aspekt som kan vara användbar är att betrakta partikelsystemet, särskilt när vi tänker på småskaliga virvelstrukturer. I 2D kan vi tänka oss små, isolerade virvelklumpar som inte direkt interagerar med andra. Här introduceras idén om ett system av partiklar, där de småskaliga komponenterna kan tolkas som individuella "partiklar" som interagerar med det storskaliga flödet. Denna syn ger oss en ny förståelse för hur småskaliga fluktuationer kan påverka större strukturer i ett flöde och kan leda till intressanta resultat när vi betraktar fluktuationerna som ett genomsnittsresultat snarare än som enskilda, isolerade effekter.

När vi sedan överväger dessa system på ett mer detaljerat sätt, som genom att använda Lie-derivator för att beskriva interaktionen mellan vektorfälten uu och vv, ser vi att de småskaliga termerna kan beskrivas som fluktuationer som varierar snabbt över tiden, medan de storskaliga fälten tenderar att vara mer stabila. Detta leder oss till en modell där vi kan anta att de småskaliga fluktuationerna följer ett så kallat Ito-integral, vilket innebär att deras medelvärde är noll, men deras effekt på flödet kan ses som en typ av vitt brus.

Det är viktigt att förstå att dessa modeller, även om de förenklar många beräkningar, kräver noggranna antaganden och en korrekt tolkning av de underliggande fysikaliska processerna. För att verkligen förstå och förutsäga turbulens i ett system måste vi därför inte bara förstå de stora och små skalorna, utan också hur de interagerar och vilken roll rester och fluktuationer spelar i dessa interaktioner.

Vad innebär stokastiska primitiva ekvationer för fluiddynamik och deras tillämpningar?

Stokastiska primitiva ekvationer representerar en viktig och komplex kategori av matematiska modeller för att beskriva dynamiken hos vätskor och atmosfäriska fenomen, särskilt under osäkerhetsförhållanden där stokastiska element, som brus eller fluktuationer, spelar en betydande roll. Dessa ekvationer har sina rötter i den klassiska fluiddynamiken, men de inför även en stokastisk komponent för att modellera externa störningar, vilket gör att systemet inte bara beror på deterministiska krafter utan också på slumpmässiga faktorer.

En av de mest centrala tillämpningarna är i modeller för geofysisk fluiddynamik, där den stokastiska komponenten ofta representerar naturliga fluktuationer i atmosfären, havet eller andra geofysiska system. Det innebär att de stokastiska primitiva ekvationerna ofta används för att beskriva fenomen som klimatförändringar, väderprognoser eller till och med havsströmmar, där externa störningar, som vind eller solstrålning, ger upphov till komplexa och ibland oförutsägbara resultat. Modellerna är ofta formulerade för att beskriva vätskors rörelse i både horisontella och vertikala riktningar, och deras dynamik kan påverkas av olika former av viskositet och turbulens.

Stokastiska primitiva ekvationer kan ses som en förlängning av de klassiska Navier-Stokes-ekvationerna, där man, istället för att enbart beakta de fysiska krafter som verkar på vätskan, också inför stokastiska processer som t.ex. bruset från atmosfären. Dessa stokastiska termer kan beskrivas genom olika typer av sannolikhetsfördelningar och funktionella analysmetoder, vilket gör att lösningarna till ekvationerna ofta kräver en mer avancerad matematisk teori.

Modellens användbarhet sträcker sig bortom klimatmodeller, och den är också relevant för simuleringar av turbulenta flöden och prediktioner inom meteorologi och oceanografi. Ett exempel på detta är studier av hur små förändringar i de initiala betingelserna kan leda till helt olika resultat, vilket kan vara avgörande för att förstå och förutsäga vädermönster.

En central aspekt av att förstå stokastiska primitiva ekvationer är att inse deras beroende av stokastisk resonans och fluktuationer som kan förändra systemets långsiktiga beteende. Dessa modeller ger oss en mer realistisk bild av dynamiska system i naturen, där osäkerhet är en inneboende egenskap. Denna aspekt har stor betydelse för hur vi gör simuleringar och hur vi hanterar osäkerheter i modeller som används för praktiska tillämpningar som väderprognoser och klimatmodeller.

För att kunna arbeta med dessa ekvationer på en tillräckligt rigorös nivå krävs en förståelse för funktionell analys och Lp-teori, samt en god kännedom om de operatorer och de typer av funktioner som ingår i ekvationernas lösningar. Vidare är det av vikt att förstå de tekniker som används för att etablera lösningarnas existens och unikhet, vilket ofta innebär att man måste förlita sig på avancerade metoder inom operator-teori och probabilistiska tekniker. Många av dessa metoder har sin grund i tidigare arbete med Navier-Stokes ekvationer och relaterade modeller.

Det är också viktigt att känna till de senaste framstegen inom teori och tillämpning av stokastiska primitiva ekvationer, särskilt vad gäller deras förmåga att hantera komplexa initialbetingelser och externa störningar. Dessa framsteg ger nya insikter om hur man kan förbättra noggrannheten och effektiviteten i numeriska simuleringar, vilket är av avgörande betydelse för praktiska tillämpningar inom väderprognos och klimatmodellering.

Ytterligare betydelsefulla områden för förståelse är hur sådana modeller kan tillämpas på specifika system som atmosfären eller havet och vad som krävs för att de ska ge realistiska resultat under varierande förhållanden. Stokastiska modeller kan användas för att förbättra vår förståelse av hur turbulens och fluktuationer påverkar stora geofysiska system, vilket gör dem oumbärliga för framtida klimat- och väderstudier.

Hur OMB:s politisering påverkade neutral kompetens under Trump-administrationen
Hur maskininlärning kan ersätta traditionell simulering för halvledare och materialforskning
Hur bildas dislokationer och vakuoler vid uppvärmning av Al/Ti/Al-laminat?