Hur kan vi applicera glidning av gränser i ytor i 3D?

I vissa fall, som exemplen från teorem 16.5 och vissa exempel som härstammar från konstruktionen i exempel 16.3 genom att sammanfoga ändpunkterna för de sammanhängande komponenterna av (2) Gf för att skapa cirklar, kan det visas att det inte är möjligt att limma gränsen av S på ett sätt som resulterar i en generisk nedsänkning av S till R. Detta kan visas genom att kontrollera att gränsen av S inte är null-homolog i 3 R \ H. Att göra denna kontroll med hjälp av en dator är ganska enkel, med hjälp av en Wirtinger-representation för π1(3 R \ H, Z), som beskrivs i [4, Proposition 9.1.9].

Approximation genom inbäddningar

I denna sektion kommer vi att etablera en koppling mellan existensen av en lyftning till en inbäddning och begreppet approximation genom inbäddningar för generiska avbildningar. Vi kommer att definiera begreppet generiska avbildningar i vårt sammanhang och visa att villkoret för trivialitet i täckningsavbildningen p2 blir tillräckligt för att en lyftning ska existera i det särskilda fallet för generiska avbildningar från träd till segment.

Låt oss först introducera några definitioner. Vi definierar begreppet "approximabilitet genom inbäddningar" för grafavbildningar som följer: Låt $f: G \to H$ vara en simplicial avbildning mellan grafer och $i: |H| \hookrightarrow S$ en kontinuerlig inbäddning av $|H|$ i en yta $S$ med en metrik $d$. Vi säger att $f$ är approximabel genom inbäddningar om för varje $\epsilon > 0$ finns en kontinuerlig inbäddning $j: |G| \hookrightarrow S$ sådan att $d(j(x), i(|f|(x))) < \epsilon$ för varje $x \in |G|$.

Ribbon-grafer och deras egenskaper

En ribbon-graf $H$ är en yta med gräns som representeras som en förening av två uppsättningar av skivor: en uppsättning $V(H)$ av noder eller 0-hantlar, och en uppsättning $E(H)$ av kanter eller 1-hantlar, som uppfyller vissa villkor. Ett viktigt resultat här är att varje inbäddad graf $f: |H| \to S$ ligger i en triangulering av $S$; det vill säga, det finns en homeomorfism $h_s: S \to |K_s|$, där $S$ trianguleras och $f$ är en simplicial inbäddning av $H$ i $K_s$. Detta innebär att det finns en unik inbäddning för varje ribbon-graf, och en ribbon-graf kan ses som en vanlig grannskap i en yta.

Det är också viktigt att notera att vår definition av ribbon-grafen skiljer sig från den normala närhetsdefinitionen enligt [18], men de två begreppen är nära relaterade och det kan visas att alla villkor utom ett från den definitionen är automatiskt uppfyllda i vårt fall. Den enda skillnaden är att för varje kant $e$ incident på en nod $v$ i $H$, skär avbildningen av $e$ gränsen av noden exakt vid en punkt. Detta gör att ribbon-grafen i vårt fall också är en normal närhet.

Viktiga tillägg och förståelse

För att verkligen förstå begreppen kring approximation och ribbon-grafer, bör läsaren reflektera över hur metrik och topologi påverkar dessa objekt. Grunden för att arbeta med generiska avbildningar mellan grafer och deras approximationer är att tänka på den geometriska och topologiska strukturen på den yta där avbildningen sker. Det är också viktigt att förstå hur en ribbon-graf ger en förfinad beskrivning av en graf inbäddad i en yta, och hur denna förfining leder till nya möjligheter att studera och manipulera grafer i 3D-ytor.

Hur kan Alexander-former och kvadratiska former användas för att studera knutar och Seifert-ytor?

För att förstå relationen mellan knutar och Seifert-ytor använder vi kvadratiska former som en metod för att analysera och karakterisera geometrin och den algebraiska strukturen hos dessa objekt. I den specifika uppsättningen av knutar, där vi arbetar med två knutar $K_1$ och $K_2$, definieras invarianten $\lambda(K_1, K_2)$ som resultatet av en $0$-kirurgi på ett rum $R$, vilket ger upphov till en manifold $\chi$. Denna invariant är kopplad till den kvadratiska formen $q$, som verkar på homologi-klasser av transversala ytor i manifolden $\chi$.

När man övergår till att behandla homologi och torsionskomponenter av $H_1(\chi)$, är det möjligt att relatera de algebraiska uttrycken till knutarnas Alexander-polynom, vilket ger en effektiv metod för att beräkna dessa invarianter för mer komplexa knutar och ytor. Det är viktigt att förstå att knutarnas beteende i denna algebraiska ram kräver en noggrann hantering av det så kallade Mayer–Vietoris-sekvensen, vilket leder till en exakt sekvens som kopplar samman olika homologi-grupper och deras torsionskomponenter.

Förutom att behandla specifika invarianta objekt som $\lambda(K_1, K_2)$ och de kvadratiska formerna, är det också viktigt att förstå den övergripande topologiska strukturen av den manifolds som genereras genom kirurgin. Dessa manifolder har en rik struktur av homologi och torsioner som påverkar både deras algebraiska egenskaper och geometriska betydelse. Därför spelar en djupare förståelse av denna struktur en viktig roll i att utveckla en mer omfattande teori för knutar och Seifert-ytor.

Därför är det avgörande att studera inte bara själva knutarna utan också hur deras omgivande strukturer – de manifolder som uppstår från kirurgiska operationer – förändras och påverkas av de algebraiska invariantena och kvadratiska formerna som definieras inom den topologiska ramar som vi använder.

Hur Theaetetus' teori om förhållanden mellan storlekar förklarar periodiska kvadratiska ekvationer och deras betydelse

Vidare, i enligt Theaetetus' allmänna periodicitetsprincip (Proposition 24.7.2.2), om linjerna $a$ och $b$ uppfyller vissa kvadratiska ekvationer med icke-kvadratiska diskriminanter, då är "anthyphairesis" mellan $a$ och $b$ så småningom periodisk. Detta innebär att när ett förhållande mellan två storlekar definieras genom en sekvens av upprepade kvadratiska substitutioner, kommer resultatet att upprepa sig efter ett visst antal steg. Detta ger upphov till en periodisk sekvens, där storlekarna "m" och "n" som kommer efter ett antal substitutioner har samma koefficienter. Så, genom att använda en variation av Pigeonhole-principen, som baseras på invariansen hos diskriminanten, kan vi konstatera att "anthyphairesis" (den upprepade divisionen mellan $a$ och $b$) till slut kommer att bli periodisk.

Det är också viktigt att förstå att denna periodicitet är knuten till Platons idé om "Logos" - en filosofi som var av central betydelse för att förstå världen på ett rationellt och matematiskt sätt. Enligt Platons filosofi fungerar Logos som en princip för att finna ordning i kaoset av oändliga matematiska relationer. Theaetetus’ matematiska teorier om förhållanden mellan storlekar var inte enbart teoretiska; de utgjorde en grund för att förstå världen på ett rationellt sätt, där förhållanden mellan storlekar inte bara var intellektuella konstruktioner utan grundläggande byggstenar för att förstå verklighetens struktur.

Vid jämförelse med Eudoxus’ teori om förhållanden mellan storlekar, som presenteras i Euclides’ "Elementa" (Bok V), ser man att Eudoxus teori behandlar rationella förhållanden där magnituder kan multipliceras och överskrida varandra. För Eudoxus är ett förhållande mellan två storlekar definierat genom en viss form av kommensurabilitet. Därmed utgör Eudoxus teori en kontrast till Theaetetus’ mer geometriska och periodicitetsorienterade teori om förhållanden mellan storlekar.

Således visar Theaetetus' arbete på en fundamental insikt: förhållanden mellan storlekar, när de uttrycks som periodiska sekvenser, har inte bara en matematisk utan också en filosofisk och geometrisk innebörd som sträcker sig bortom ren abstraktion. Periodiska sekvenser av storlekar representerar inte bara numeriska relationer utan ett systematiskt sätt att förstå världen och skapa struktur ur den oändliga mångfalden av förhållanden mellan olika magnituder.

Hur man definierar ändarna av grupper och kontraktibla mångfalder

I den diskreta gruppteorin används begreppet "ändar" för att beskriva hur en grupp beter sig asymptotiskt, särskilt när man arbetar med oändliga grupper som är ändligt genererade. Ett typiskt exempel är en grupp $G$ som har ett ändligt genereringssystem $S$, där $S$ är symmetriskt och innehåller enheten. För två element $g, h \in G$, definieras relationen $g \sim h$ om det finns en generator $s \in S$ sådan att $h = gs$. På detta sätt kan vi definiera ändarna för $G$ via Cayley-grafen $\Gamma(G, S)$, som betraktas som ett topologiskt rum. Denna struktur gör det möjligt att analysera ändarna av grupper i en topologisk kontext, vilket visar på deras asymptotiska beteende och relationer mellan olika delar av gruppen.

En viktig tillämpning av ändbegreppet är på kontraktibla mångfalder, där Freudenthal-kompaktifikationen ger ett sätt att räkna ändarna av ett rum. Ett exempel på en öppen mångfald med en ända är det euklidiska rummet, som också är kontraktibelt. Enligt Stallings sats, har en kontraktibel öppen mångfald av dimension större än ett exakt en ända. Beviset för denna sats bygger på Speckers teorem, som relaterar de första ko-homologigrupperna för en ändlös simplicial komplexitet med antalet ändar. Om en kontraktibel öppen mångfald har mer än en ända, skulle detta ge en motsägelse i den homotopiska strukturen.

En fascinerande fråga som dyker upp i denna kontext är om en öppen kontraktibel 3-mångfald alltid är hemomorf till det euklidiska rummet $\mathbb{R}^3$. Det har visat sig att svaret är nej, och en av de första exemplen på en sådan icke-trivial mångfald gavs av Whitehead. Han konstruerade en kontraktibel öppen 3-mångfald genom att kombinera två torusliknande strukturer inbäddade i $S^3$, och hans konstruktion resulterade i en mångfald som är kontraktibel men inte hemomorf till $\mathbb{R}^3$. Denna mångfald, känd som Whitehead-mångfalden, illustrerar komplexiteten hos öppna 3-mångfalder och hur de skiljer sig från $\mathbb{R}^3$.

I studiet av mångfalder är en annan viktig egenskap "enkel sammanhängandehet vid oändligheten". Denna egenskap definieras för en topologisk struktur $X$ och en änd $e$ som att för varje närmeområde $U$ till $e$ finns det ett annat närmeområde $V \subset U$ så att inneslutningen $V \subset U$ inducerar den triviala mappen från $\pi_1(V)$ till $\pi_1(U)$. För en mångfald som har exakt en ända och är enkel sammanhängande vid denna ända, säger man att den är enkel sammanhängande vid oändligheten. Detta begrepp är avgörande för att kunna klassificera kontraktibla öppna 3-mångfalder som antingen hemomorfa till $\mathbb{R}^3$ eller mer komplexa strukturer som Whitehead-mångfalden.

För att verkligen förstå dessa begrepp och hur de tillämpas i geometrisk topologi, är det avgörande att ha en solid grund i både topologi och algebra. Särskilt bör läsaren notera att studier av ändarna inte bara handlar om att identifiera det asymptotiska beteendet hos mångfalder och grupper, utan också om att förstå de intrikata relationerna mellan dessa strukturer och deras påverkan på geometriska och algebraiska egenskaper. Detta kan leda till nya insikter om hur vi klassificerar olika typer av rum, samt hur deras topologiska och geometriska egenskaper utvecklas när vi undersöker deras gränser och asymptotik.