Hur stochastiska metoder används för att modellera energi- och fasprocesser i system under bredbandiga slumpmässiga excitationer

I stochastiska system där excitationer är bredbandiga och slumpmässiga, uppstår en komplex dynamik mellan energiprocessen $\Lambda(t)$ och fasprocessen $\theta(t)$ , där båda processerna påverkas av externa störningar och icke-linjäriteter i systemet. Den systematiska utvecklingen av dessa processer kan beskrivas genom en rad matematiska förhållanden som gör det möjligt att förenkla de ursprungliga komplexa dynamiska ekvationerna till mer hanterbara modeller.

Ekvationerna (4.174) och (4.175) beskriver evolutionen av energi- och fasprocesserna för ett system under påverkan av bredbandiga slumpmässiga excitationer. Här representerar $\dot{\Lambda}(t)$ och $\dot{\theta}(t)$ förändringarna i energi och fas, medan termerna $g_1l(\epsilon,\theta)$ och $g_2l(\epsilon,\theta)$ är de så kallade stokastiska koefficienterna som fångar in verkan av de slumpmässiga excitationerna på systemets rörelse. Dessa termer är beroende av både systemets position $\epsilon$ och dess hastighet, vilket reflekterar den icke-linjära karaktären hos den återställande kraften.

För att förstå dynamiken i systemet bättre, måste vi inse att $\Lambda(t)$ tenderar att förändras långsamt i jämförelse med $\theta(t)$ , som inte är långsam utan varierar snabbare. Genom att tillämpa tidsgenomsnitt (stochastic averaging) kan vi approximera $\Lambda(t)$ som en Markov-diffusionsprocess, vilket innebär att dess förändring i varje ögonblick endast beror på dess nuvarande tillstånd. Detta gör det möjligt att beräkna drift- och diffusionskoefficienter för systemets energi, vilket i sin tur ger oss en bättre förståelse för hur systemets energi beter sig över tid under påverkan av bredbandiga excitationer.

För att beräkna dessa koefficienter används integraler över korrelationsfunktionen $R_{ls}(\tau)$ , som beskriver sambandet mellan de olika externt påverkade störningarna vid olika tidpunkter. Detta steg innebär en Fourierserierexpansion av de funktioner som beskriver de stokastiska termerna i systemet, vilket gör det möjligt att eliminera de snabbvågande termerna (såsom $\sin(n\omega_\Lambda t)$ och $\cos(n\omega_\Lambda t)$ ) som inte påverkar systemets långsiktiga beteende.

I exemplet som ges (Eq. 4.181) analyseras ett system där den externa excitationen $\xi(t)$ är en filterad brussignal, och de olika metoderna för att approximera den stokastiska processen jämförs. För detta system ger både metoden med energiberoende vitt brus och Fourier-expansion en mycket likartad bild av det stationära tillståndet för energiprocessen $\Lambda(t)$ , vilket tyder på att dessa metoder är effektiva för att modellera systemets långsiktiga beteende under bredbandiga excitationer.

Vidare används en residualfasmetod för att förbättra förståelsen av fasdynamiken i systemet. Detta innebär att fasen $\theta(t)$ delas upp i två komponenter: den totala fasen $\theta(t)$ och den residuala fasen $\tilde{\theta}(t)$ , där den totala fasen beskriver den övergripande utvecklingen av fasen medan den residuala fasen fångar de snabba variationerna. Denna uppdelning gör det möjligt att approximera både energi- och fasprocesserna som långsamt varierande, vilket underlättar vidare analyser av systemets beteende.

En viktig observation här är att även om systemets dynamik kan förenklas genom dessa metoder, kan beräkningarna fortfarande vara komplexa, särskilt när det gäller att bestämma de exakta värdena för drift- och diffusionskoefficienterna. Detta kräver ofta numeriska simuleringar eller andra beräkningsmetoder för att få fram de korrekta statistiska egenskaperna för systemet, såsom den stationära sannolikhetsdensiteten för $\Lambda(t)$ .

Vidare, även om approximationerna är användbara, är det också avgörande att förstå begränsningarna i dessa metoder. För att tillämpa Fourier-expansion på systemets stokastiska termer måste systemet ha en viss periodicitet, vilket innebär att för vissa typer av excitationer kan dessa metoder inte ge fullständiga resultat. Exempelvis, om excitationen inte har en bredbandig spektral densitet, eller om den har starka resonanser vid specifika frekvenser, kan resultaten avvikelser från de förväntade värdena.

En ytterligare aspekt som bör beaktas är hur olika typer av icke-linjäriteter i systemet, såsom de som ges i ekvation (4.181) där återställande kraften är beroende av $X^2$ , påverkar systemets beteende. Dessa icke-linjäriteter leder till att Fourier-koefficienterna snabbt minskar med ökande $n$ , vilket innebär att enbart de första termerna i serien är tillräckliga för att beskriva systemets dynamik i många praktiska fall. Detta kan förenkla beräkningarna av de stokastiska koefficienterna och möjliggöra en mer effektiv analys.

För att sammanfatta, ger de metoder som beskrivs här en kraftfull ram för att analysera stochastiska system under bredbandiga excitationer. Genom att tillämpa tidsgenomsnitt, Fourier-serieexpansioner och residualfasmetoder kan komplexa system förenklas till modeller som är hanterbara och användbara för praktiska beräkningar. Trots detta är det viktigt att alltid beakta systemets specifika egenskaper, såsom icke-linjäritet och excitationens spektrala egenskaper, för att säkerställa att de använda metoderna ger tillförlitliga resultat.

Hur man förutspår stationära svar i ett 2-DOF vibrations-och-kollision-system

Vid hantering av tvåfrihetsgradssystem (2-DOF) som påverkas av både vibrationer och kollisioner är det centralt att förstå hur systemet reagerar på externa krafter över tid. Denna typ av system kan beskrivas med hjälp av olika matematiska modeller, inklusive de som bygger på Hamiltonianska system och deras stokastiska varianter. Denna artikel fokuserar på att förklara hur man använder stochastiska medelvärdesmetoder för att förutsäga det stationära svaret hos sådana system.

Vid analyser av vibrations-och-kollisionssystem med två frihetsgrader, där varje grad representeras av en massa som påverkas av både elastiska och dämpande krafter, kan vi använda en förenklad modell baserad på Hamiltons principer. Om vi inför en transformation av systemets variabler kan vi omvandla de ursprungliga ekvationerna till en kvasi-Hamiltoniansk form. Detta leder till ekvationer av formeln för momentum och position, där varje massa i systemet är föremål för externa excitationer.

När vi applicerar dessa transformationer får vi ett system av ekvationer som är både stokastiska och integrerbara. Genom att använda Itôs stokastiska differentialekvationer för att beskriva energinivåerna i systemet kan vi vidare förenkla dessa ekvationer genom att tillämpa en genomsnittlig metod som tar hänsyn till svaga excitationer och dämpningar. Den resulterande stokastiska differentialekvationen beskriver systemets dynamik under påverkan av externa excitationer och kollisionseffekter.

Enligt teorin kan systemet omvandlas till en form där stationär sannolikhetsfördelning kan beräknas för de olika tillstånden av systemet. Den stationära sannolikheten för systemets positioner och hastigheter kan sedan ges som en funktion av systemets energi, där dessa energier är relaterade till både elastiska och dämpande koefficienter, samt excitationernas intensitet.

För att vidare analysera systemets stationära svar används den genomsnittliga Fokker-Planck ekvationen (FPK) som beskriver fördelningen av systemets energinivåer och därmed gör det möjligt att förutsäga dess beteende över tid. Genom att anta att systemets excitation är svag och att växelverkan mellan systemets frihetsgrader är låg, kan vi approximera systemets beteende som ett nästan integrerbart Hamiltonianskt system. Denna approximation gör det möjligt att beräkna de stationära sannolikhetsfördelningarna för både displaceringar och hastigheter.

För att förutse dessa stationära sannolikhetsfördelningar kan vi använda specifika transformationsmetoder som relaterar de ursprungliga koordinaterna (som representerar massornas displaceringar) till en ny uppsättning av koordinater och moment. Den slutliga sannolikhetsdichten för systemet kan beräknas som en funktion av de nya koordinaterna, vilket gör det möjligt att förutsäga systemets stationära beteende för både displacement och hastighet.

Vid jämförelse mellan resultaten från både quasi-integrerbara och quasi-icke-integrerbara Hamiltonianska system finner man att den stochastiska medelvärdesmetoden för quasi-integrerbara system ger mer exakta resultat när kollisionspåverkan är svag, medan metoden för quasi-icke-integrerbara system är mer exakt när kollisionspåverkan är stark. Detta innebär att valet av metod beror på styrkan i kollisionseffekten och excitationens intensitet.

Den slutliga marginala sannolikhetsfördelningen för displacement och hastighet hos massorna i systemet kan också beräknas genom integration över de andra frihetsgraderna. Detta ger en fullständig bild av systemets dynamik och förmåga att förutsäga hur det kommer att reagera under stationära förhållanden.

Det är också viktigt att notera att när kollisionseffekten är medelhög, kan båda metoderna ge större fel, vilket kräver en mer detaljerad analys av systemets dynamik för att välja den bästa metoden för förutsägelse. Ett kombinatoriskt tillvägagångssätt som använder både metoder för quasi-integrerbara och quasi-icke-integrerbara system kan därför vara effektivt för att hantera denna typ av komplexa system, där energinivåerna kan variera beroende på systemets initialt inställda tillstånd.

Hur grundläggande observationer av naturen förändrade världen: Aristoteles och hans inflytande på vetenskapen
Hur man gör unika örhängen med sterlingsilver och glasdetaljer
Hur du skapar kreativa porträtt: tekniker och övningar