Hur fungerar densitetsfunktionen och dess tillämpningar i kvantiserade strukturer av doping-supergitter?

$$\sum_{n=0}^{g} \sum_{z=1}^{\text{max}} N_{Bz} = \delta'(E - E_{11,1})$$

där $\eta_{11,1} = (k_B T)^{ -1}[E_{F11,1} - E_{11,1}]$ och $E_{F11,1}$ är Fermienergin för detta system. Den alternativa kapacitansen (AC) kan uttryckas som:

$$\psi_1(E_{11,2}) = \psi_2(E_{11,2}) + \frac{2}{m_{\parallel}} \psi_3(E_{11,2}) + \psi_8(E_{11,2})$$

$$n_0 = F^{ -1}(\eta_{11,2})$$

Den elektroniska energispektrumet för doping-supergitter under magnetisk kvantisering i HD III–V, ternära och kvartära material kan uttryckas från ekvationen (11.1) under förutsättningarna $\Delta_{\parallel} = \Delta_{\perp} = \Delta$ och $m^*_{\parallel} = m^*_{\perp} = m_c$ som:

$$\sum_{n=0}^{g} \sum_{z=1}^{\text{max}} N_{Bz} = \delta'(E - E_{11,3})$$

$$f^*e = \text{Re}\left[F^{ -2}(\eta_{11,3})\right]$$

$$\gamma_3(E_{11,9}, \eta_g) = a' \sqrt{2eB} \left[ n + \omega_0 \right]$$

Densitetsfunktionen för detta system ges av:

Elektronkoncentrationen skrivs som:

$$n_0 = F^{ -1}(\eta_{11,9})$$

och AC skrivs:

I avsaknad av bandsvansar skrivs den dynamiska resistansen som:

$$E_{11,10} = \omega_0 + n$$

Sammanfattningsvis kan man konstatera att för alla typer av material under magnetisk kvantisering är densitetsfunktionen och AC uttryckbara med hjälp av specifika matematiska relationer beroende på materialets egenskaper och den kvantiserade energinivån. De givna ekvationerna definierar elektronkoncentrationen samt den dynamiska resistansen i termer av dessa kvantiserade energinivåer, vilket är avgörande för att förstå beteendet hos dessa system under magnetiska fält.

Endast genom att noggrant analysera och tillämpa dessa funktioner kan forskare och ingenjörer optimera och kontrollera elektroniska och optiska egenskaper hos sådana material i framtida tillämpningar.

Hur bestäms täthetsfunktionerna i kvantbrunnar av icke-paraboliska material?

I analysen av kvantbrunnar (QWs) baserade på icke-paraboliska material med hög disperson (HD) utgör täthetsfunktionerna (Density of States, DOS), det effektiva massuttrycket (EFM) och den degenererade gränsytan (DSL) centrala komponenter för förståelsen av laddningsbärardynamik. Vid frånvaro av bandtails kan den totala tvådimensionella täthetsfunktionen för elektroner uttryckas som en summa över delbanden, där varje term styrs av Heaviside-funktionen och derivatan av en funktion som karakteriserar energidispersionen. Dessa funktioner är starkt beroende av kvantiseringsindex och strukturens geometri.

Vid introduktion av bandtails — ett fenomen som ofta uppstår i reala strukturer på grund av oordning eller gränsyteeffekter — blir de klassiska uttrycken otillräckliga. Här krävs numerisk lösning av de implicita relationerna där energifunktionerna inte längre kan inverteras analytiskt. De resulterande DOS-funktionerna blir då energi- och parameterberoende, och kräver modellering via specifika systemkonstanter som införts genom experimentella modeller, t.ex. Yamada för hål i II–V-föreningar eller Vassilev för n-typ Pb₁₋ₓGeₓTe.

I fallet med II–V-föreningar är hålens dispersion beskrivna av termer med blandade kvadratiska och kubiska bidrag i vågvektorerna, vilket speglar anisotropin i kristallfältet och påverkan av spin–orbit-koppling. Dessa uttryck leder till komplexa energiband där varje subbandsenergi definieras som den lägsta positiva lösningen till en energiberoende dispersionsekvation.

För halvledare som Pb₁₋ₓGexTe (med liten Ge-dopning) är spektrumet ytterligare modifierat genom icke-paraboliska termer i både längs- och tvärriktningar, och elektronenergin måste lösas som rötter till komplicerade polynomekvationer där energielementen interagerar genom flera termer som involverar både direkta och tvärgående vågtal. Bandtails inkorporeras genom felintegralsberoende termer som tar hänsyn till oordningens statistiska fördelning, vilket gör det nödvändigt att använda numeriska metoder för samtliga derivat.

I kvantbrunnar av Zn– och Cd–diphosphider ges bärarnas dispersion genom uttryck där den anisotropa komponenten i k-rummet behandlas genom funktioner som β₃(k), vilka beror på skillnaderna mellan vågvektorkomponenterna i olika riktningar. De resulterande energirelationerna kräver inversion av sammansatta funktioner med multipla beroenden, där γ₃(E, ηg) fungerar som den centrala energifunktionen i närvaro av bandtails. DOS, EFM och bärarkoncentration i dessa material kan inte beskrivas analytiskt och måste utvärderas numeriskt från systemets materialkonstanter.

Det är även centralt att förstå hur val av modell påverkar resultatet: olika modeller som Kane, Stillman, Palik, Hopfield, Dimmock, Yamada eller Vassilev bygger på olika antaganden om bärarsystemets fysik och kräver justering beroende på materialklass. Detta innebär att även om den matematiska formen kan verka likartad, är de fysikaliska tolkningarna och tillämpningarna skilda.