Hur definieras och förstås dominanta och birationella rationella avbildningar inom algebraisk geometri?

En dominant rationell avbildning mellan affina varieteter kan beskrivas utifrån dess korrespondens med injektiva K-algebramorfismer mellan deras funktionsfält. Givet en icke-noll K-algebramorfism φ : K(B) → K(A), där K(B) och K(A) är funktionsfält associerade till varieteterna B respektive A, genererar avbildningen ett tupel av rationella funktioner (f₁, ..., fₘ), vilka definierar en dominant rationell avbildning ϕ : A 99K B. Dominans följer av injektiviteten hos φ, vilket säkerställer att avbildningen inte reducerar dimensionen hos A i förhållande till B. Den inducerade kompositionen K[B] ↪→ K(B) → K(A) är också injektiv, vilket förstärker dominansbegreppet.

Teorem 5.2.4 etablerar en fundamentalt viktig ekvivalens mellan kategorin av affina varieteter över ett algebraiskt slutet fält K med dominanta rationella avbildningar som morfism och kategorin av ändligt genererade fältutvidgningar av K med K-algebrainjektioner som morfism. Denna motsvarighet realiseras genom att skicka en varietet A till dess funktionsfält K(A) och en rationell avbildning ϕ : A 99K B till den motsvarande injektionen ϕ∗ : K(B) ↪→ K(A). Beviset kräver visserligen att varje ändligt genererad fältutvidgning L över K kan framställas som funktionsfältet hos någon varietet A, vilket uppnås genom konstruktionen av en varietet definierad av nollstället till en primideal i en polynomialring. Denna varietet är inte unik, vilket exemplifieras av fallet A = V(xy − 1), där funktionsfältet kan beskrivas via olika generatorer och därmed motsvarar olika varieteter som är birationellt ekvivalenta.

En birationell avbildning är en dominant rationell avbildning som har en invers, även den dominant rationell, sådan att sammansättningen med denna invers är identiteten på en öppen icke-tom delmängd av varieteten. Den birationella karaktäriseringen speglas i isomorfismen mellan funktionsfälten: ϕ är birationell om och endast om ϕ∗ är en isomorfi av fält. Detta koncept binder samman geometriska egenskaper med algebraiska strukturer på ett djupt sätt och är avgörande för att förstå varieteters klassificering upp till birationell ekvivalens.

Dimensionen hos en irreducibel algebraisk mängd A definieras som transcendensgraden trdeg_K K(A), alltså det maximala antalet algebraiskt oberoende element i funktionsfältet över basfältet K. För icke-irreducibla algebraiska mängder definieras dimensionen som max av dimensionerna hos dess irreducibla komponenter. Denna definition är fundamental för att koppla algebraiska begrepp till geometrisk intuition och möjliggör analys av varieteters komplexitet och struktur.

Vidare introduceras begreppet algebraisk och transcendental element i en fältutvidgning L över k. Ett element är algebraiskt om det är rot till ett icke-trivialt polynom med koefficienter i k; annars är det transcendental. En maximal mängd av algebraiskt oberoende element, en så kallad transcendensbas, definierar transcendensgraden som en välbestämd invariant för fältutvidgningen. Viktiga tekniska verktyg som utbyteslemmat (Exchange Lemma) säkerställer att alla transcendensbaser har samma kardinalitet, vilket ger en robust definition av dimension inom denna algebraiska ram.

I sammanhanget av finit genererade fältutvidgningar kan varje element i utvidgningen uttryckas som algebraiskt över en subfält genererad av en transcendensbas, vilket leder till att fältet blir en ändlig dimensions vektorutrymme över denna subfält. Detta samband mellan algebraisk beroende och vektorrumsstruktur är centralt för förståelsen av fältutvidgningar i algebraisk geometri.

Det är också betydelsefullt att betrakta att dimensionen av en varietet inte bara är en abstrakt algebraisk invariant utan har konkreta geometriska tolkningar, som dimensionen av parametriseringsrum och antalet fria variabler i funktionsfältet. Dessutom ger birationell ekvivalens en metod att reducera komplicerade varieteter till enklare modeller utan att förlora essentiell dimensionell information.

Endast genom att förstå dessa samband mellan dominant och birationell rationell avbildning, funktionsfältens algebraiska struktur, och dimensionsteorin, kan man på djupet greppa hur varieteter relaterar till varandra och klassificeras inom algebraisk geometri.

Hur formella potenser och fullständiga ringar relaterar till lokala ringar och deras struktur

Formella potenser är ett kraftfullt verktyg inom algebra, särskilt när det gäller att förstå strukturen hos lokala ringar och fullständiga ringar av Cauchy-sekvenser. En viktig aspekt av denna teori är hur en ring kan vara komplett i förhållande till en viss adisk topologi, vilket leder till att man får en ring som är enklare att arbeta med när man studerar ideal och element inom ringen.

I det här sammanhanget är ett exempel på en sådan ring ringen av formella potenser $k[[x_1, \dots, x_n]]$ över ett fält $k$ . Denna ring är en lokal ring där det finns en maximal ideal $m = (x_1, \dots, x_n)$ . En avgörande observation är att alla element i detta ideal kan uttryckas som en enhet $u$ multiplicerat med ett element i detta ideal. Mer precist, om ett element $u$ ligger i $m$ , kan det skrivas som $u = \lambda(1 - h)$ där $h \in m$ och $\lambda \in k^*$ , vilket innebär att varje element i $m$ är en enhet. Denna struktur är central för förståelsen av hur ideal fungerar inom dessa ramar.

För att förstå det här bättre, tänk på att varje formell potens i ringen $k[[x_1, \dots, x_n]]$ inte kan utvärderas vid en punkt som inte är ursprunget. Värdet för en sådan serie vid $0$ ges av konstanttermen i serien. I själva verket är det viktigt att förstå hur den lokala ordningen, ofta kallad monomial ordning, definieras och hur den styr de ledande termerna i en serie. En ledande term för en icke-noll serie $f = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} f_\alpha x^\alpha$ definieras som det monom $f_\beta x^\beta$ , där $x^\beta$ är det största monom som förekommer i serien.

En annan intressant aspekt är Grauer divisorsats, som säger att varje element $f$ i en formell potenserie kan delas upp unikt i en summa av delserier $g_1, \dots, g_r$ och en restterm $h$ . Denna uppdelning beror på de ledande termerna och reglerna för hur dessa termer interagerar. Vad som är särskilt anmärkningsvärt här är att Grauer divisorsats gör det möjligt att arbeta med uppdelning och faktorisering av serier i lokala ringar på ett mycket strukturerat sätt.

Det är också viktigt att notera att när man arbetar med formella potenser, kan man definiera en Gröbnerbas som en uppsättning av polynom som kan användas för att lösa olika algebraiska problem, som till exempel att hitta lösningar på system av polynomlika ekvationer. Gröbnerbaser och deras egenskaper gör det möjligt att förenkla och strukturera komplexa algebraiska uttryck, vilket gör dem centrala för många områden inom algebraisk geometri och kommutativ algebra.

En annan väsentlig aspekt är att den lokala ordningen är mycket viktig för att förstå hur man kan dela upp och analysera element i en formell potensring. Denna lokala ordning gör det möjligt att definiera begrepp som "x1-general" för en formell potens, vilket är en kraftfull egenskap när man arbetar med serier som inte är noll vid en viss punkt. Denna klassificering av serier ger också upphov till flera viktiga resultat, inklusive Weierstrass förberedningsteorem, som säger att varje x1-general formell potens kan representeras som produkten av en enhet och en monic polynom.

Weierstrass förberedningsteorem spelar en central roll i att förstå strukturen hos polynom och formella potenser. Enligt detta teorem finns det alltid en enhet och ett monom polynom som kan uttrycka en x1-general formell potens. Detta resultat är särskilt viktigt inom algebraisk geometri och hjälper till att förstå hur ringar kan struktureras när man arbetar med formella potenser av flera variabler.

En annan intressant konsekvens av den här teorin är förståelsen av dimensionen hos ringen $k[[x_1, \dots, x_n]]$ . Dimensionen av denna ring är lika med $n$ , vilket innebär att ringen har en kedja av primideal av längd $n$ . Detta resultat kan ha betydande konsekvenser när man studerar idealens struktur inom algebraiska system.

Att förstå dessa begrepp och deras sammanhang är avgörande för att kunna arbeta effektivt med formella potenser och lokala ringar. De ger en strukturell ram för att analysera och dela upp algebraiska objekt, vilket i sin tur är grundläggande för mer avancerade områden som algebraisk geometri och topologi.

Hur semi-kontinuitet påverkar fiberdimensionen i projektiva morfier

I algebraisk geometri studerar vi ofta projektioner och morfier mellan olika varianter, särskilt projektiva varianter, och undersöker deras fiberdimensioner. En viktig egenskap som spelar en roll i dessa analyser är semi-kontinuitet av fiberdimensionen, vilket innebär att fiberdimensionen för en given projektion mellan varianter inte kan förändras plötsligt, utan följer vissa kontinuitetsprinciper. Detta är en central fråga för den algebraiska geometrin och används för att förstå strukturen hos olika typer av geometriska objekt.

Låt oss överväga en projektiv morfi $\phi : X \to Y$ , där $X$ är en projektiv algebraisk varietet och $Y$ är en annan varietet. För varje punkt $q \in Y$ , definieras fiber $X_q$ som mängden alla punkter i $X$ som projiceras på $q$ . En viktig fråga här är hur dimensionen av fiberna kan förändras när vi rör oss genom $Y$ . Fiberdimensionen kan bero på olika faktorer, såsom singulariteter på $X$ eller den geometriska strukturen hos morfin.

En grundläggande resultat i denna teori är att fiberdimensionen är semi-kontinuerlig, vilket innebär att om vi tar en mängd $U_r = \{q \in Y \mid \dim X_q \leq r \}$ , så är denna mängd en Zariski-öppen mängd i $Y$ . Det betyder att det inte finns några plötsliga hopp i fiberdimensionen; fiberdimensionen kan endast förändras på ett kontinuerligt sätt. Detta resultat ger oss ett kraftfullt verktyg för att förstå hur olika varianter relaterar till varandra genom deras morfier.

Exempel på en sådan situation är när vi överväger en projektion från ett produkt av projektiva varianter $P^n \times Y$ till $P^n$ . Här är fiberna $X_q$ i vissa fall projektioner av projektiva algebraiska mängder, vilket innebär att deras dimension kan variera beroende på valet av $q \in Y$ . Denna variation kan ge oss djupare insikter i den algebraiska strukturen hos varianterna.

Ett särskilt viktigt teorem är teorem 11.6.2, som garanterar att den mängd av punkter i $Y$ , där fiberdimensionen är mindre än eller lika med ett visst värde, är öppen i den Zariski-topologin. Det innebär att om fiberdimensionen är tillräckligt liten vid en viss punkt, så finns det ett öppet område kring denna punkt där fiberdimensionen fortsätter att vara liten eller konstant. Detta resultat har många tillämpningar inom algebraisk geometri, särskilt när det gäller att studera singulariteter och kompakta varianter.

För en surjektiv projektiv morfi $\phi : X \to Y$ mellan varianter kan vi ytterligare stärka denna idé. Teorem 11.6.3 anger att fiberdimensionen vid generella punkter $q \in Y$ är minst $\dim X - \dim Y$ . Det innebär att fiberdimensionen för de flesta punkter i $Y$ inte bara är kontinuerlig, utan även begränsad under dessa förhållanden. Detta ger oss en klar bild av hur fiberdimensionen förhåller sig till dimensionerna av de involverade varianterna, vilket är centralt för att förstå morfiernas struktur.

I dessa sammanhang är det också intressant att överväga exempel på projektiva morfier där speciella fiber har större dimension än generella fiber. Ett sådant exempel är blow-up-morfismene, där en singularitet i en varietet ersätts med en projektiv tangentplan. Dessa blow-up-morfier spelar en viktig roll i att lösa singulariteter och studera geometriska egenskaper hos varianterna, som diskuteras vidare i senare kapitel. De ger ett exempel på hur fiberdimensionen kan vara större för vissa punkter, vilket är av stor betydelse för förståelsen av singulariteter och deras resolutioner.

För att förstå dessa fenomen på djupare nivå är det viktigt att ha en solid bakgrund i algebraisk geometri och specifika tekniker som Gröbnerbaser, vilket gör det möjligt att beräkna och studera varianter mer konkret. Att förstå hur fiberdimensionen förändras genom semi-kontinuitet hjälper oss också att upptäcka dolda strukturer i algebraiska morfier, vilket kan vara användbart för forskning inom både teoretisk och tillämpad matematik.

Hur definieras och förstås linjära system av divisorers egenskaper på algebraiska kurvor?

En divisor D på en slät, projektiv, irreducibel kurva C är ett formellt ändligt summand av punkter på kurvan med heltalskoefficienter, och dess grad deg(D) definieras som summan av dessa koefficienter. För en funktion f ∈ K(C) (fältet av rationella funktioner på C) är (f) en principdivisor med grad noll. Ett centralt begrepp är Riemann-Roch-rummet L(D), som består av alla rationella funktioner f där (f) + D är en effektiv divisor, dvs. har icke-negativa koefficienter. Dimensionen (D) av detta vektorrum över basfältet K är av stor betydelse för att förstå divisorers egenskaper.

Om man subtraherar en punkt p från en divisor D, får man D−p, vilket definierar ett delrum L(D−p) ⊆ L(D). Denna inklusion är strikt och har kodimension högst ett eftersom varje ny punkt som tas bort i D kräver att ytterligare en koefficient i potensernas utveckling av f måste försvinna. Detta leder till kedjor av delrum där varje steg minskar dimensionen med högst ett, vilket ger viktiga uppskattningar av (D) i relation till deg(D).

Ett linjärt system |D| av divisorer associerat till D är projektivbilden av L(D), där dimensionen av detta system är (D) - 1. Om ett sådant system är baspunktfritt, betyder det att för varje punkt p på kurvan gäller (D−p) = (D) - 1, dvs. borttagandet av p minskar dimensionen exakt med ett. Baspunktfria system tillåter oss att definiera ett morfism ϕ_D från kurvan C till ett projektivt rum P^r, där r = (D) - 1`. Denna avbildning är definierad av en bas av L(D), och dess geometriska egenskaper kopplas tätt till dimensioner av delrummen L(D−p) och L(D−p−q).

Vidare kan man definiera minimum av flera divisorer som ett komponentvis minimum av koefficienterna i deras punkter. Om man tar r+1 rationella funktioner f_0,...,f_r, kan man konstruera ett baspunktfritt linjärt system genom att definiera en divisor D som negativa minimum av deras principdivisorer. Detta möjliggör en explicit konstruktion av linjära system och morfismer, där varje punkt p på kurvan motsvaras av underrummet L(D−p) i L(D).

Särskilt intressant är villkoret att (D−p−q) = (D) - 2` för alla punkter p, q ∈ C. Detta är ekvivalent med att avbildningen ϕ_D är en inbäddning av kurvan i projektiva rummet, vilket innebär att kurvan avbildas inbäddat utan självöverlapp och med korrekt lokal struktur. Beviset bygger på lokalringarnas struktur och valuationsväljare vid punkterna, vilket garanterar att morfismen bevarar den analytiska strukturen.

Riemanns olikhet ger en viktig lägre gräns för dimensionen (D), nämligen (D) ≥ deg(D) + 1 - p_a(C), där p_a(C) är den aritmetiska genus av kurvan. Detta knyter ihop geometrins komplexitet med algebraiska egenskaper av divisorer och deras associerade funktioner. Genom att betrakta idealsystem och deras saturering i den homogena koordinatringen kan man koppla in geometriska villkor på kurvan till algebraiska dimensioner i L(D).

Det är viktigt att förstå att dimensionen (D) av Riemann-Roch-rummet och egenskaperna hos linjära system inte bara beror på graden av D utan även på kurvans genus och stödet för D. Varje punkt som läggs till eller tas bort i divisorn påverkar radikalt rummet av tillåtna funktioner och därmed möjligheterna att definiera projektiva morfismer som ϕ_D.

Endast genom att analysera dessa interaktioner mellan divisorer, linjära system och projektiva morfismer kan man fullständigt förstå kurvornas algebraisk-geometriska struktur och de förutsättningar som krävs för att de ska kunna beskrivas och studeras i termer av funktioner och bilder i projektiva rum.

Hur avgör vi om ett polynom tillhör ett ideal i en polynomring?

Ett ideal I i en polynomring är en mängd som definieras av en samling polynom som genererar idealet. Givet en kropp $k$ , ett ideal $( f_1, \dots, f_r ) \subset k[x_1, \dots, x_n]$ , och ett polynom $f \in k[x_1, \dots, x_n]$ , kan vi ställa frågan: Tillhör $f$ detta ideal, det vill säga $f \in ( f_1, \dots, f_r )$ ? För att besvara denna fråga behöver vi metoder som kan bestämma om ett givet polynom tillhör ett ideal.

En central sats i detta sammanhang är Hilberts Nullstellensatz, en grundläggande sats i algebrans geometri. En svag version av denna sats lyder:

Sats 1.1.11 (Hilberts Nullstellensatz, svag version):

Låt

K

vara en algebraiskt sluten kropp. Om

f_1, \dots, f_r \in K[x_1, \dots, x_n]

är polynom, gäller att

V(f_1, \dots, f_r) = \emptyset \iff 1 \in (f_1, \dots, f_r)

Här definieras $V(f_1, \dots, f_r)$ som nollmängden av polynomen $f_1, \dots, f_r$ , det vill säga de punkter där alla dessa polynom samtidigt är noll.

Om $1 \in (f_1, \dots, f_r)$ , innebär det att vi kan skriva $1 = g_1 f_1 + \dots + g_r f_r$ för vissa $g_1, \dots, g_r \in K[x_1, \dots, x_n]$ . Om nu $a \in V(f_1, \dots, f_r)$ , så gäller att $f_1(a) = 0, \dots, f_r(a) = 0$ , vilket gör att $1 = g_1(a) f_1(a) + \dots + g_r(a) f_r(a) = 0$ , vilket leder till en motsägelse. Därför är $V(f_1, \dots, f_r)$ tom.

Denna sats är användbar för att avgöra om ett system av algebriska ekvationer har lösningar. Om $1$ är en linjärkombination av $f_1, \dots, f_r$ , innebär det att systemet har en lösning. Detta gör att vi kan koppla frågan om medlemskap i ett ideal till frågan om ett algebriskt system har lösningar, vilket är en viktig metod för att lösa många problem inom algebra och geometri.

Vidare är det viktigt att förstå att en kropp $K$ är algebraiskt sluten om varje icke-konstant polynom $f \in K[x]$ har en rot i $K$ . Detta är en avgörande egenskap för tillämpningen av Nullstellensatz, eftersom utan denna egenskap skulle nollmängden $V(f)$ kunna vara tom utan att $1$ tillhör idealet $(f)$ .

Gröbnerbaser och idealtillhörighetsproblem

För att lösa idealtillhörighetsproblemet, det vill säga att avgöra om ett polynom $f$ tillhör idealet $(f_1, \dots, f_r)$ , använder vi Gröbnerbaser. Gröbnerbaser är en uppsättning av polynom som genererar samma ideal som de ursprungliga polynomen, men de har vissa användbara egenskaper som gör dem lättare att hantera när vi genomför beräkningar.

En viktig definition här är monomordning. En monomordning $>$ på $k[x_1, \dots, x_n]$ är en total ordning på monomierna som uppfyller vissa egenskaper, inklusive att om $x^\alpha > x^\beta$ , så gäller att $x^\alpha x^\gamma > x^\beta x^\gamma$ för alla $\gamma$ . Genom att använda en sådan ordning kan vi bestämma vilken term som är den "ledande termen" för ett polynom och sedan arbeta med denna term för att förenkla beräkningar.

Till exempel, om vi har ett ideal $I = (x^2 + xy, y^2 + xy)$ i $k[x, y]$ , kan vi använda division med resten för att eliminera termer som är multiplar av $x^2$ eller $y^2$ . Men för att göra detta effektivt måste vi välja de ledande termerna på ett sätt som är kompatibelt med monomordningen. Om vi inte gör detta korrekt kan vi få problem med att eliminera termer på ett konsekvent sätt, vilket leder till ineffektiva eller felaktiga resultat.

Algoritmer och datortillämpningar

För att lösa idealtillhörighetsproblemet och andra relaterade problem, såsom att hitta lösningar till diophantiska ekvationer, använder vi datoralgebrasystem och algoritmer som kan hantera algebraiska uttryck exakt, i motsats till numeriska metoder som används för att arbeta med reella tal. Ett exempel på detta är hur vi kan använda Nullstellensatz för att avgöra om en mängd $V(f_1, \dots, f_r)$ är tom över rationella tal, $Q$ , genom att lösa ett linjärt ekvationssystem för koefficienterna i en eventuell representation av 1 som en linjärkombination av $f_1, \dots, f_r$ .

Denna metod är särskilt användbar i datorer eftersom den kan implementeras exakt och gör att vi kan undvika problem med numeriska approximationer. Ett datoralgebrasystem som använder rationella tal, som i exemplet ovan, kan avgöra om ett system av polynom har lösningar utan att behöva utföra numeriska approximationer som kan leda till felaktiga resultat.

Avslutande reflektioner

För att förstå och tillämpa dessa begrepp på ett effektivt sätt, särskilt när man arbetar med komplexa algebraiska system, är det viktigt att ha en god förståelse för både de teoretiska aspekterna (som Hilberts Nullstellensatz) och de praktiska verktygen (som Gröbnerbaser och monomordningar). Genom att kombinera dessa verktyg kan vi lösa idealtillhörighetsproblem och relaterade algebraiska frågor på ett systematiskt och effektivt sätt, vilket är grundläggande för många områden inom både ren och tillämpad matematik.

Hur förändrade tidiga halvautomatiska pistoler militärt pansarvapenbruk och design?
Vad innebär atomfria sannolikhetsrum och deras tillämpningar inom statistik och sannolikhetsteori?
Vilka faktorer formade Trumps väljarkår 2016?
Vad man bör veta om grästyper för trädgårdar i Florida