Hur Poisson Vit Brus och Gaussisk Vit Brus påverkar Fysikaliska System

För att förstå komplexa stokastiska system är det viktigt att skilja på olika typer av brus och deras inverkan på dynamiska system. Två viktiga kategorier av sådant brus är Gaussiskt vitt brus och Poisson vitt brus. De har distinkta egenskaper, men båda används för att beskriva randomiserade eller osäkra processer i fysiska och ingenjörsmässiga system. I denna text behandlas dessa brusstilar och deras tillämpningar, med fokus på deras matematisk formulering och påverkan på systemets beteende.

Gaussiskt vitt brus, i sin enklaste form, kan ses som en stokastisk process där alla moment är oberoende av varandra, och dess korrelationsfunktion definieras ofta som en Dirac delta-funktion. I ekvationen för Gaussiskt vitt brus ges korrelationen mellan två olika tider som:

E[W_l(t) W_s(t+\tau)] = 2 \pi K_{ls} \delta(\tau)

Där $W_l(t)$ representerar de olika oberoende Gaussiska bruskomponenterna, och $K_{ls}$ är korrelationskoefficienten. Ett exempel på hur sådant brus appliceras är i en mekanisk oscillator som utsätts för olika slumpmässiga excitationskrafter, där den totala bruskomponenten kan delas upp i flera olika oberoende Gaussiska processer. I sådana fall kan man beskriva systemet genom Fokker-Planck ekvationer, som styr fördelningen av partikeln i det stokastiska rummet.

I ett exempel som involverar en enkel oscillator med en frihetsgrad och utsatt för tre olika källor av Gaussiskt vitt brus, får man följande system av differentialekvationer som beskriver oscillatorns rörelse:

\ddot{X} + h(X, \dot{X}) = XW_{g1}(t) + \dot{X}W_{g2}(t) + W_{g3}(t)

Genom att applicera den grundläggande tekniken för stokastiska differentialekvationer (Itô-ekvationer), kan vi beskriva systemets dynamik under inverkan av olika typer av brus. Dessa Itô-ekvationer genererar samma lösning som Fokker-Planck ekvationen för det stokastiska systemet, vilket visar att det finns ekvivalens mellan de olika formuleringarna.

På andra sidan har vi Poisson-processer, en typ av diskret stokastisk process där händelser inträffar vid oregelbundna intervall, men med ett konstant genomsnittligt antal händelser per tidsenhet. Poisson-processer är grundläggande för att beskriva system där händelser inträffar slumpmässigt men med ett definierat förväntat antal händelser. Ett vanligt exempel är antalet passagerare som kommer till en flygplats eller tågstation under en viss tid.

Poisson-processen definieras av fördelningen:

P_X(n) = \frac{e^{ -\mu} \mu^n}{n!}, \quad n = 0, 1, 2, \dots

Här är $\mu$ den genomsnittliga ankomsthastigheten, och $P_X(n)$ ger sannolikheten för att $n$ händelser inträffar under en tidsperiod. Denna process har särskilda egenskaper som gör den användbar vid modellering av impulser, där dessa impulser ofta är mycket korta i förhållande till systemets karaktäristiska tid.

Poisson-vitt brus är en specifik tillämpning av Poisson-processen där de diskreta impulserna används för att konstruera en typ av impulsivt brus. Detta brus kan uttryckas som en summa av Dirac-delta-funktioner, som representerar plötsliga och kortvariga impulser. Den matematiska formuleringen för Poisson vitt brus är:

W_p(t) = \sum_{j=1}^{N(t)} Y_j \delta(t - \tau_j)

Där $Y_j$ är oberoende och identiskt distribuerade slumpmässiga variabler, och $N(t)$ är Poisson-processen som styr antalet impulser. Korrelationsfunktionen för detta brus kan uttryckas som en delta-funktion, vilket innebär att impulserna inte har någon temporal korrelation. Den spektrala densiteten av detta brus är konstant, vilket gör det till ett "vitt" brus, vilket betyder att det har samma styrka vid alla frekvenser.

För att förstå den praktiska betydelsen av Poisson vitt brus, kan det vara användbart att tänka på system där impulser inträffar mycket snabbt i relation till systemets andra tidsmått. Ett sådant exempel kan vara i modeller för havsvågor, där varje vågslag kan representeras som en impulssignal.

Denna skillnad mellan Gaussiskt vitt brus och Poisson vitt brus kan ha stora konsekvenser för hur vi modellerar system och förstår deras dynamik. Medan Gaussiskt vitt brus ofta används för att beskriva processer med kontinuerlig variation, används Poisson vitt brus för att beskriva system där händelser sker plötsligt och diskret. När man använder dessa två typer av brus i fysikaliska och ingenjörsmässiga modeller är det avgörande att förstå den teoretiska bakgrunden för deras respektive korrelationsfunktioner och spektrala densiteter för att korrekt kunna tillämpa dem i praktiska problem.

Det är också viktigt att notera att när en Poisson-process blir extrem, med mycket höga ankomsthastigheter, tenderar den att konvergera mot ett Gaussiskt vitt brus. Detta ger en övergång mellan två olika typer av stokastiska processer, beroende på hur snabbt och frekvent händelser inträffar i systemet.

Hur man modellerar icke-linjära stokastiska dynamiska system

Stokastiska dynamiska system kan beskrivas med hjälp av stokastiska differentialekvationer. En sådan ekvation, som refereras till som system (3.1), är given av:

d \sum_{m} X_j(t) = f_j[X(t), t] + g_{jl}[X(t), t] \xi_l(t), \quad j = 1, 2, \dots, n

Här representerar $X(t) = [X_1(t), X_2(t), \dots, X_n(t)]^T$ en vektor av systemets respons, också känd som tillståndsvariabler. $\xi_l(t)$ representerar excitationer, där åtminstone en är en stokastisk process. Den kapitäla bokstaven som används för tillståndsvariablerna visar att dessa är stokastiska kvantiteter. Funktionerna $f_j$ och $g_{jl}$ representerar systemegenskaper som kan eller inte kan bero explicit på tiden.

En excitation $\xi_l(t)$ kallas parametrisk (eller multiplicativ) om den associerade funktionen $g_{jl}$ beror på $X$ ; annars kallas den en extern (additiv) excitation. Om alla funktioner $f_j$ är linjära funktioner av $X$ och alla $g_{jl}$ är konstanta, så är systemet linjärt. Om alla funktioner $f_j$ och $g_{jl}$ är linjära funktioner av $X$ , kallas systemet för ett parametriskt exciterat linjärt system, även om det i praktiken är icke-linjärt eftersom superpositionsprincipen inte längre gäller. Om åtminstone en av funktionerna $f_j$ eller $g_{jl}$ är icke-linjär, klassificeras systemet som ett icke-linjärt system.

För en en-dimensionell version, där $n = 1$ , är systemet ett en-dimensionellt system, annars talar man om ett multi-dimensionellt system. Ett kontinuerligt system som styrs av en partiell differentialekvation kan diskretiseras till ett multi-dimensionellt system genom metoder som till exempel finita elementmetoder.

Stokasticitet, eller slumpmässighet, kan uppträda i systemegenskaper, vilket innebär att vissa parametrar i funktionerna $f_j$ och $g_{jl}$ inte är exakt kända på förhand, utan kan modelleras som stokastiska variabler. Det kan också uppstå i excitationerna, där vissa excitationer $\xi_l(t)$ är stokastiska processer. I denna bok behandlas endast den senare situationen, där systemegenskaperna representerade av $f_j$ och $g_{jl}$ anses vara deterministiska.

Ekvationerna som beskriver rörelsen för många mekaniska och strukturella system etableras ofta genom Newtons andra lag eller Lagrange-ekvationer beroende på det fysiska systemets natur. De styrande ekvationerna för ett system kan ofta skrivas som:

\sum_m \ddot{Z}_j + h_j(Z, \dot{Z}) + u_j(Z) = \sum_m g_{jl}(Z, \dot{Z}) \xi_l(t), \quad j = 1, 2, \dots, n

Där $Z = [Z_1, Z_2, \dots, Z_n]^T$ och $\dot{Z} = [\dot{Z}_1, \dot{Z}_2, \dots, \dot{Z}_n]^T$ är vektorer av förflyttningar och hastigheter, respektive, och $h_j(Z, \dot{Z})$ och $u_j(Z)$ representerar dämpande och återställande krafter.

Systemet kan transformeras till en speciell form där tillståndsvariablerna $X_{2j-1} = Z_j$ , $X_{2j} = \dot{Z}_j$ , och $X = [X_1, X_2, \dots, X_{2n}]^T$ , vilket leder till en uppsättning av ekvationer som motsvarar systemet (3.1). Detta gör det tydligt att systemet som beskrivs av (3.3) är ett specialfall av systemet i (3.1).

Stokastiska dynamiska system kan också formuleras som stokastiskt exciterade och dissipativa Hamilton-system, som styrs av ekvationerna:

\frac{\partial Q_j}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial P_j}, \quad \frac{\partial P_j}{\partial t} = -\frac{\partial H}{\partial Q_j} + \sum_{m} g_{jl}(Q, P) \xi_l(t)

Där $Q_j$ och $P_j$ är generaliserade förflyttningar och impulser, respektive, och $H(Q, P)$ är Hamilton-funktionen. Systemet kan transformeras till en form där det blir ett specialfall av ekvationen (3.1).

System (3.2) och (3.4) kallas traditionellt för system med $n$ frihetsgrader och kan omvandlas till två $2n$ -dimensionella system. Dessa termer används genomgående i denna bok. Ett system med en frihetsgrad (SDOF) är ett tvådimensionellt system, och ett system med $n$ frihetsgrader är ett $2n$ -dimensionellt system. Matematisk sett är ekvationerna för rörelse i (3.1) mer allmänna än de i (3.2) och (3.4), eftersom de senare kan omvandlas till det första systemet. Men för många tekniska system härleds ekvationerna (3.2) direkt från Lagrange-ekvationerna och transformeras sedan till (3.4). Dessa system beskriver relationer mellan olika frihetsgrader och har en mer explicit fysisk betydelse.

Vektorerna $X(t) = [X_1(t), X_2(t), \dots, X_n(t)]^T$ i system (3.1), $Z = [Z_1, Z_2, \dots, Z_n]^T$ och $\dot{Z} = [\dot{Z}_1, \dot{Z}_2, \dots, \dot{Z}_n]^T$ i system (3.2), samt $Q = [Q_1, Q_2, \dots, Q_n]^T$ och $P = [P_1, P_2, \dots, P_n]^T$ i system (3.4) kallas för systemresponser. Deras funktioner, såsom systemets Hamiltonian, amplitudens omslag för en enkel respons eller systemets totala energi, tillhör också kategorin systemresponser. Trots att systemen i denna bok är deterministiska, är systemresponserna stokastiska processer på grund av de stokastiska excitationerna.

Det är viktigt att förstå att även om systemet kan vara deterministiskt till sitt väsen, innebär de stokastiska excitationerna att systemets dynamik inte kan förutsägas exakt utan istället måste hanteras som en stokastisk process. Detta innebär att även om man har fullständig kunskap om systemets uppbyggnad, så kommer dess beteende att vara osäkert och påverkat av externa stokastiska faktorer, vilket gör modellering och simulering av sådana system avgörande för att få tillförlitliga resultat i praktiska tillämpningar.

Vad är en "Lone Wolf"-terrorist?
Hur Blockkedjetekniken Förändrar Applikationer och Arbetsflöden inom Hälsovård och E-Commerce
Hur påverkar emulsioner värmeöverföring och kokbeteende?
Hur påverkar rullprocessen de mekaniska egenskaperna hos Al/Mg-Li laminat?
Hur kan fotokemiska transformationer av 2H-aziriner användas för syntes av heterocykliska föreningar?