Hur Itôs stokastiska differentialekvationer kan tillämpas på resonanta och quasi-partiellt integrerbara Hamiltoniansystem

För att undersöka komplexa system som involverar stokastiska processer, såsom de som beskrivs i quasi-partiellt integrerbara generaliserade Hamiltoniansystem, är det nödvändigt att förstå hur dessa system beter sig när de styrs av Itôs stokastiska differentialekvationer (SDE). I denna kontext introduceras ett antal kombinationer av vinkelvariabler som beskrivs genom ekvationerna:

Där $\varepsilon$ representerar en liten parameter som styr systemets störningar, och $\alpha$ anger antalet kombinationer som involverar dessa störningar. Denna formulering tillåter att man härleder de stokastiska differentialekvationerna för systemet som beskriver vektorn $\varphi = [\varphi_1, \dots, \varphi_\alpha]^T$.

För att vidare analysera systemets beteende använder man den stokastiska Itôs differentialregeln, vilken tillåter att härleda de stokastiska differentialekvationerna för variablerna. Detta resulterar i uttrycket:

Här representerar $dB_s(t)$ den stokastiska termens störningar, och $\sigma_{is}$ är de diffusionskoefficienter som påverkar systemets utveckling. Ekvationen (3.108) beskriver hur variabler som $\varphi_u$ utvecklas över tid under påverkan av de stokastiska processerna och de externa störningarna.

Vidare kan systemet beskrivas som en generaliserad Hamiltoniansystem, där Hamiltonianen $H_2$ och andra variabler som $I_k$ och $C_v$ spelar en avgörande roll för systemets dynamik. Det är viktigt att notera att systemet kan uppvisa resonanta effekter, vilket gör det möjligt att tillämpa teorin om svagt interna resonanser. I detta fall styrs systemet av ekvationer som involverar både Hamiltonianen och de stokastiska störningarna. Dessa effekter analyseras med hjälp av teorier från Khasminskii (1968), som förutspår att systemet konvergerar till ett Markov-diffusionsprocess när $\varepsilon \to 0$.

Den stokastiska differentialekvationen som härleds beskriver systemets medelvärde och diffusionsbeteende:

Genom att använda en specialiserad medelvärdesberäkning kan man finna de genomsnittliga drift- och diffusionskoefficienterna för systemet. Det är genom denna medelvärdesprocess som de långsammare variationerna i systemets dynamik kan förstås.

För att få en fullständig förståelse av systemets beteende är det också viktigt att beakta de probabilistiska aspekterna. Genom att lösa den associerade Fokker-Planck-ekvationen (FPE) kan man härleda sannolikhetsfördelningen för systemet, vilket gör det möjligt att förstå hur sannolikheten för olika tillstånd utvecklas över tid. Enligt ekvationen (3.111) kan den gemensamma sannolikhetsfördelningen p för systemets variabler $I_1, \varphi, H_2, C$ erhållas genom att lösa denna ekvation under givna initial- och randvillkor.

Det är också av stor betydelse att notera att systemets dynamik kan beskrivas som en kombination av långsamma och snabba variabler. De långsamma variablerna, såsom $I_1, \varphi, H_2, C$, varierar långsamt i tid, medan de snabba variablerna, som representeras av de stokastiska störningarna $dB_s(t)$, har en mycket snabbare dynamik. För att fullt ut förstå systemets beteende, och för att korrekt tillämpa den stokastiska medelvärdesmetoden, krävs en noggrann analys av hur dessa två typer av variabler interagerar.

Vid tillämpning av dessa metoder är det också viktigt att tänka på systemets resonanta egenskaper. Resonans kan leda till icke-triviala effekter i dynamiken, som kan vara svåra att förutsäga utan korrekt modellering. Genom att förstå dessa resonansfenomen kan man förutsäga systemets stabilitet och eventuella förändringar i dess beteende över tid.

Hur påverkar stokastisk averaging responsen hos strukturer under slumpmässiga vindbelastningar?

I analysen av strukturella system som påverkas av slumpmässiga vindkrafter, särskilt i kontexten av vortexinducerade vibrationer, erbjuder den stokastiska averagingmetoden ett kraftfullt verktyg för att härleda analytiska lösningar för stationära sannolikhetsfördelningar (PDF:er) av responsvariabler. Denna metod tillämpas på både resonanta och icke-resonanta fall, samt på linjära och icke-linjära oscillatorer, vilket möjliggör noggrann prediktion av responsens statistiska egenskaper under stokastisk excitation.

I det resonanta fallet, när vindens exciteringsfrekvens ωₛ är nära strukturens egenfrekvens ωₙ, transformeras det stokastiska systemet till ett reducerat system genom averaging över snabba fasvariabler. Resultatet är en Fokker–Planck-ekvation med definierade randvillkor, vars lösning beskriver den stationära sannolikhetsfördelningen p(h₁, h₂, ψ). Denna lösning visar tydligt korrelationen mellan oscillatorernas faser: ett probabilistiskt maximum observeras för ψ i intervallet [−π/2, 0), vilket indikerar synkronisering mellan excitationen och strukturen.

De stokastiska momentekvationerna som härleds via averaging leder till explicita uttryck för driv- och diffusionskoefficienter, där spektral energitäthet S(ω) för den fluktuerande vinden ξ(t) spelar en central roll. Exempelvis uppstår korskorrelationen mellan h₁ och h₂ via termer som innehåller S(0) och S(2ωₙ), vilket visar att strukturella vibrationer under resonans har ett signifikant bidrag från både låg- och högfrekventa komponenter i vindflödet.

Icke-resonanta fall, där ωₛ och ωₙ skiljer sig markant, karakteriseras av ett mer dämpat responsmönster. Det reducerade stokastiska systemet beskriver här ett tvådimensionellt Markovdiffusionssystem med tillhörande Fokker–Planck-ekvation. Lösningarna visar att den stationära sannolikhetsfördelningen p(h₁, h₂) antar en Gauss-liknande form utan multipla toppar, i kontrast till den mer komplexa strukturen i det resonanta fallet. Fasdifferensen ψ är i detta fall nästan jämnt fördelad över [−π, π], vilket återspeglar bristen på faslåsningsfenomen.

Genom att använda momentmetoden med Gaussisk truncering erhålls exakta uttryck för första och andra ordningens moment av strukturella responsvariabler. Dessa uttryck kopplar direkt till fysiska parametrar såsom vindhastighet V, strukturens massa och dämpning ζ, samt geometriska egenskaper som diametern D. Till exempel uttrycks E[Q₁²] och E[P₁²] i termer av μ₁, vilket är ett funktionellt mått på stokastiskt energiinnehåll i systemet.

För strukturer med icke-linjära återställande krafter, t.ex. där den potentiella energin inte längre är kvadratisk i förskjutningen, fortsätter den stokastiska averagingmetoden att vara tillämpbar. Systemet betraktas då som ett kvasi-integrerbart Hamiltonsystem under bredbandig excitation. Här förlorar dock analytiska lösningar i enkelhet, och tillämpning av numeriska metoder eller asymptotiska analyser blir nödvändig. I sådana modeller kan resonansfenomen uppträda på oväntade frekvensintervall, och flera stabila jämviktslägen kan uppkomma, vilket resulterar i multimodala fördelningar för responsvariabler.

Vad som också är viktigt att förstå är att stokastisk averaging inte endast reducerar beräkningskomplexiteten, utan också avslöjar djupare dynamiska strukturer i systemet. Den möjliggör separation av tidsskalor – mellan snabba vibrationer och långsamma energiutbyten – vilket är fundamentalt för analysen av stokastiska system. Dessutom erbjuder metoden ett direkt sätt att relatera stokastiska excitationsegenskaper till statistiska responsegenskaper, vilket är avgörande vid utformning av strukturer som utsätts för slumpmässiga aerodynamiska belastningar.

Endtext.