Hur beräknar man kärnan av en ringhomomorfi och homomorfier mellan moduler konstruktivt?

Betrakta en homomorfi av typen ϕ : k[y₁, ..., yₘ] → K[x₁, ..., xₙ]/I där varje yᵢ avbildas på ett gᵢ i kvotringen. För att bestämma kärnan av ϕ, definierar man en ideal J i ringen k[x₁, ..., xₙ, y₁, ..., yₘ], genererat av polynomen f₁, ..., fᵣ som genererar I samt relationerna yᵢ - gᵢ. Genom att beräkna en Gröbnerbas för J med avseende på en produktordning och extrahera de polynom vars ledande termer ligger i k[y₁, ..., yₘ], får man en bas för ker(ϕ).

Att detta fungerar vilar på observationen att F ∈ k[y₁, ..., yₘ] tillhör ker(ϕ) om och endast om F(g₁, ..., gₘ) ∈ I, vilket motsvarar att F tillhör J. Därmed är ker(ϕ) lika med snittet J ∩ k[y₁, ..., yₘ], och de återstående Gröbnerbaselementen ger exakt detta snitt. I den geometriska tolkningen är J ett radikalt ideal, och motsvarar nollstället till bilden av en morfism mellan varieteter. Den Zariski-stängningen av bilden φ(A) i Aᵐ ges då av V(J).

Vidare betraktas homomorfier mellan ändligt presenterade R-moduler M och N, där R = k[x₁, ..., xₙ]. Om M ≅ coker(φ) och N ≅ coker(ψ), där φ och ψ är matrispresentationer av relationerna mellan generatorerna, kan en homomorfi ϕ : M → N lyftas till en kommutativ diagram. En matris ϕ₀ definierar en sådan ϕ om och endast om det finns en matris ϕ₁ som gör diagrammet kommutativt, vilket motsvarar att ϕ₀ ◦ φ faktoreras genom ψ.

När man vill bestämma avbildningens kärna, bild och cokärna konstrueras dessa som cokärnor av vissa sammansatta matriser. Presentationen av ker(ϕ) bygger på att först bestämma syzygimatrisen av (ϕ₀ | ψ), därefter beräknas syzygier till denna tillsammans med φ, och den erhållna matrisen C ger en presentation av ker(ϕ).

Även mer komplexa konstruktioner, såsom homologi i komplex ψ ∘ ϕ = 0, kan beskrivas med hjälp av fria presentationer och algoritmer för beräkning av syzygier. Genom att sammanfoga matrispresentationerna av ϕ och ψ i ett gemensamt diagram, extraheras presentationen av homologi som cokärnan av en sammansatt syzygimatris. Homomorfier mellan moduler beskrivs entydigt av sådana kommutativa diagram, och två sådana diagram ger upphov till samma modulhomomorfi om de skiljer sig genom inre morfier som passerar genom syzygierna.

Viktigt att förstå är att hela denna konstruktiva teori för ideal och moduler vilar på möjligheten att genomföra explicit beräkningar i polynomringar via Gröbnerbaser. Den implicita geometri som döljer sig i dessa algebraiska konstruktioner – morfismer mellan varieteter, avbildningar av algebraiska mängder, och strukturer på kohomologi – realiseras konkret genom manipulation av matriser och syzygier. Detta gör det möjligt att gå från abstrakta begrepp som homologi eller avbildningens kärna till beräkningsbara objekt, vilket i sin tur öppnar för tillämpningar inom både algebraisk geometri, kodteori och datorsymbolisk algebra.

Hur man definierar och arbetar med produkten av projektiva algebraiska mängder i projektiv geometri

En viktig byggsten inom projektiv geometri är Segre-produkten $\Sigma_{n,m} \subset P_N$, som definieras av de 2×2-minorerna av en $(n+1) \times (m+1)$-matris $(z_{ij})$. En projektiv algebraisk mängd definieras av dessa minorer, och en isomorfism $\sigma_{n,m}: P_n \times P_m \to \Sigma_{n,m}$ gör det möjligt att kartlägga dessa mängder på ett bijektivt sätt, vilket i sin tur ger isomorfismer för alla standarddiagram. Det är av stor vikt att förstå att $\Sigma_{n,m}$ är irreducibel och att det ideal som genereras av de 2×2-minorerna motsvarar det homogena idealet för $\Sigma_{n,m}$.

En ytterligare central idé är att för varje algebraisk mängd $A \subset P_n \times P_m$ kan vi definiera ett bihomogent försvinnandeideal $I(A)$, som genereras av alla bihomogena polynom som försvinner på alla punkter i $A$. Detta ideal ger oss den bihomogena koordinatringen för mängden $A$, vilket gör att vi kan utföra vidare algebraiska operationer och analyser på den.

För att ytterligare konkretisera dessa begrepp kan man överväga den Segre-produkten $P_1 \times P_1$ som identiferas med kvadratiska mängder som $\Sigma_{1,1} = V(z_{00}z_{11} - z_{10}z_{01}) \subset P_3$. Zariski-topologin på $P_n \times P_m$ är finare än produkten av Zariski-topologierna för de individuella faktorerna, vilket gör att förståelsen av de algebraiska subseten kräver en noggrannare studie av de bihomogena polynomen och deras nollmängder.

Endtext

Hur definieras och förstås Hilbertschema via ledande termer och rangvillkor?

Hilbertschemat kan betraktas som en delmängd av en Grassmannian, där varje punkt motsvarar ett delrum med kodimension p(d) i en vektorrymd. Ett delrum W hör till bilden om och endast om idealet (W) som genereras av W har en bestämd Hilbertfunktion, där värdena h(W)(d′) för d′ ≥ d uppfyller ett visst samband med p(d′). Genom att representera W med en matris vars rader och kolumner motsvarar koefficienter, ställs krav på matrisens rang för att idealet ska ha rätt Hilbertfunktion. Specifikt för d′ = d + 1 krävs att en viss under-matris har en exakt rang, vilket ger algebraiska ekvationer definierade av minorer som beskriver Hilbertschemat. Den fullständiga förklaringen av varför rangvillkoret inte kan vara mindre och varför dessa ekvationer korrekt definierar Hilbertschemat hänger samman med konceptet representerbara funktorer.

Hilbertschemat i detta fall består dock av två komponenter: en av dimension 12 och en annan av dimension 15. Den större komponenten motsvarar unionen av en plan kubisk kurva och en isolerad punkt, vilket motsvarar parametrisering med 15 fria parametrar (3 för planet, 9 för den kubiska kurvan och 3 för punkten). Skärningsmängden av dessa två komponenter består av scheman som kan tolkas som en nodal plan kurva med en inbäddad punkt vid noden, vilket ger en glättad subvarians av dimension 11.

Från ett konceptuellt perspektiv kan man se Hilbertschemat som en stratifiering efter ideal av ledande termer. Varje monomialideal med rätt Hilbertpolynom och genereringsgrad definierar en affint schema-stratum som består av alla ideala med samma ledande termer. Dessa stratum kan beräknas med metoder liknande de ovan, och bildar tillsammans en sammanhängande struktur tack vare Hartshornes teorem om Hilbertscheman.

Ett kraftfullt verktyg för att förstå rörelsen och degenereringen av ideala är viktningsordningar och en-parametergrupper i torusgruppen av diagonala matriser i GL(n+1,K). Genom att låta variabler genomgå skalningar enligt vikter kan man definiera en familj av ideala parametriserade av t, där gränsvärdet när t går mot noll ger ett monomialideal av ledande termer. Detta ger en geometrisk tolkning av ledande termer som degenereringar i Hilbertschemat och visar att varje monomialideal i en given Hilbertpolynoms klass kan nås som gräns genom en sådan degeneration.

Det är avgörande att förstå att Hilbertschemat, trots sin komplexitet, har en rik och fin struktur med stratifiering som möjliggör en systematisk analys av algebraiska ideal och deras degenereringar. Den algebraiska och geometriska förståelsen av idealens ledande termer, rangvillkor i matriser av koefficienter och degenerationsprocesser är fundamentala för att kartlägga Hilbertschemat och dess komponenter.