Como a Dinâmica Zero e a Elasticidade nas Juntas Influenciam a Compreensão de Sistemas Não Lineares

A análise da dinâmica zero em sistemas não lineares permite uma compreensão profunda dos comportamentos estáveis e instáveis de sistemas complexos, como, por exemplo, motores ou manipuladores robóticos. Em um sistema descrito por equações diferenciais não lineares, como o de um motor controlado por um atuador elasticamente acoplado, as equações que definem as dinâmicas do sistema podem apresentar pontos de equilíbrio instáveis ou estáveis, dependendo dos parâmetros de controle e das condições iniciais.

A dinâmica zero descreve a evolução do sistema sem a presença de entrada externa, ou seja, em uma condição onde as forças de controle estão ausentes ou em um estado de equilíbrio. O comportamento do sistema em relação à dinâmica zero pode ser analisado através de uma equação diferencial de segunda ordem que resulta na forma de uma elipse no plano das variáveis angulares. Isso mostra que existem condições específicas para a imposição de velocidades angulares que podem ser geradas de forma estável. Além disso, dependendo das condições do sistema, um ponto de equilíbrio pode ser estável, enquanto outro pode ser instável, sendo que o estudo desses pontos é essencial para a projeção de sistemas de controle eficientes.

Um exemplo de aplicação prática dessa análise é o controle de braços robóticos, em particular aqueles com um único elo, onde a elasticidade entre o atuador e o elo não pode ser ignorada. Em muitos cenários práticos, como no caso de atuadores acoplados a longos eixos ou correias de transmissão, ou no uso de sistemas de transmissão harmônica, observa-se um comportamento ressonante nas frequências utilizadas para controle. Isso significa que a elasticidade nas juntas do robô, comumente modelada por um spring torsional linear, pode afetar significativamente a performance do sistema.

Este efeito de elasticidade, que é essencial para a modelagem de sistemas robóticos, pode ser descrito por meio de equações diferenciais que combinam a dinâmica do atuador e a do elo. Ao considerar um braço robótico simples, onde o movimento de rotação é controlado por um atuador com acoplamento elástico, as equações do sistema envolvem tanto o torque produzido pelo atuador quanto a interação entre o torque e a posição do elo. Para entender melhor a dinâmica do sistema, o vetor de estado pode ser representado de forma a incluir tanto as posições angulares quanto suas derivadas de ordem superior, como velocidade e aceleração.

Neste contexto, um sistema de equações diferenciais pode ser usado para descrever a interação entre o torque gerado pelo atuador e as forças de fricção viscosa presentes no sistema. A elasticidade nas juntas, representada por uma constante de elasticidade do spring torsional, torna-se um parâmetro crucial para garantir a estabilidade e a precisão do controle.

A linearização do sistema é um passo importante para a simplificação do problema de controle. Ao considerar um sistema não linear, a linearização ao redor de um ponto de equilíbrio permite a utilização de técnicas de controle linear, o que facilita a análise e o projeto de controladores. No entanto, é importante notar que nem todos os pontos de equilíbrio são viáveis para linearização. Quando a posição angular do elo é zero, por exemplo, o sistema não possui um ponto de equilíbrio bem definido, e a linearização não pode ser diretamente aplicada. Nesse caso, ajustes no feedback do sistema podem ser necessários para tornar o ponto de equilíbrio viável, garantindo que o sistema permaneça estável.

A importância de entender essas dinâmicas não pode ser subestimada, especialmente ao projetar sistemas de controle para robôs e outros dispositivos complexos. A elasticidade nas juntas, os pontos de equilíbrio instáveis ou estáveis e a dinâmica zero são todos fatores que determinam a eficácia do sistema de controle. O design de controladores precisa considerar a resposta do sistema a perturbações externas, garantindo que o sistema permaneça dentro de limites seguros e operacionais.

Além disso, o estudo de sistemas não lineares em condições de controle avançado revela que técnicas de feedback são essenciais para o controle estável. A implementação de feedback linearizado baseado no mapeamento do sistema para coordenadas lineares pode simplificar a análise do sistema e permitir o controle de sistemas mais complexos. O método de linearização deve ser cuidadosamente selecionado, considerando que certos pontos de operação do sistema podem não ser adequados para linearização direta. Nesse caso, um ajuste no feedback pode ser necessário para garantir que o sistema funcione de maneira ideal.

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Como Resolver o Problema de Regulação de Saída com Feedback de Erro em Sistemas Dinâmicos

A condição para que o par $(8.30)$ seja detectável implica diretamente na condição de detectabilidade do par $(F, \Xi)$. Portanto, deduz-se que uma condição necessária para a solução do problema de regulação de saída no caso de feedback de erro é que, para algum $c(w)$ que satisfaça a equação $(8.27)$, o sistema autônomo com saídas $(8.32)$ esteja imerso em um sistema cujo aprimoramento linear em equilíbrio, $\Xi = 0$, seja detectável. Essa imersão pode sempre ser garantida caso o sistema $(8.32)$ seja linear, mas nem sempre será possível de forma geral.

Para verificar a propriedade de que o sistema $(8.32)$ está imerso em um sistema com um aprimoramento linear detectável, podem ser utilizadas as condições (suficientes) indicadas nas Proposições 8.4.2 e 8.4.3. Essas condições podem levar a várias versões alternativas do Teorema 8.4.4, que serão apresentadas ao final da seção. Além disso, pode ser útil verificar se as propriedades especiais requeridas nas equações $(8.29)$ e $(8.30)$ podem ser formuladas de maneira mais direta como propriedades do triplo $(C, A, B)$, que caracteriza o aprimoramento linear da planta controlada. Isso é possível até certo ponto, como demonstra o seguinte resultado (e sua versão dual), cuja prova fica como exercício para o leitor.

Lema 8.4.5. Suponha que os pares $(C, A)$ e $(H, F)$ sejam detectáveis. Uma condição suficiente para que o par $(C 0), A BH$ seja detectável é que a matriz $A - \Xi C$ (equação $(8.33)$) tenha colunas independentes para todo $\Xi$ que seja um valor próprio de $F$ com parte real não negativa. Se $BH(\mathcal{K}_eT(F - AZ)) = \text{Im}(B)$ para cada valor próprio $\Xi$ de $F$ com parte real não negativa, então essa condição também é necessária. Em particular, essa condição é necessária no caso em que $m = 1$.

O controlador construído na prova da suficiência do Teorema 8.4.4 pode ser interpretado de maneira interessante. O controlador em questão consiste, na verdade, na conexão em paralelo (como mostrado na Figura 8.3) de dois subsistemas: o subcontrolador $\Xi_1 = Y(\Xi) + N_e$ (equação $(8.34)$) e o subcontrolador $C_o = \Xi_o + L_e$ (equação $(8.35)$). O papel do segundo subcontrolador, que é um sistema linear, é estabilizar, na primeira aproximação, a interconexão $x = f(x, w, Y(\Xi_1) + u)$, $\Xi = \Xi_1 + e = h(x, w)$, ou seja, a interconexão da planta controlada e o primeiro subcontrolador. O primeiro subcontrolador, por outro lado, tem a função de gerar uma entrada que proporciona a resposta estacionária desejada.

De fato, as identidades $-s(w) = f(\pi(w), w, Y(\pi(w)))$ ou $\Xi = \varphi(\pi(w))$ (que são válidas por construção) tornam o submanifold $M_c = \{(x, \Xi_0, \Xi_1, w) : x = \pi(w), C_0 = 0, \Xi_1 = \pi(w)\}$ um manifold invariável do sistema composto $x = f(x, w, Y(\Xi_1) + N_e)$, $\Xi_0 = K\Xi_1 + Lh(x, w)$, $\Xi = (\Xi_1) + N_h(x, w)$, $w = s(w)$, onde neste manifold o erro $e = h(x, w)$ é zero.

O papel do subcontrolador (equação $(8.34)$) é produzir, para cada condição inicial em $M_c$, uma entrada que mantém a trajetória do sistema composto evoluindo sobre $M_c$, gerando assim uma resposta em que o erro é zero. Por isso, esse subcontrolador é frequentemente denominado como o modelo interno do gerador de entradas exógenas. Já o papel do subcontrolador (equação $(8.35)$) é tornar $M_c$ atraente localmente de forma exponencial, para que qualquer movimento que comece em uma vizinhança suficientemente pequena do equilíbrio $(x, \Xi_0, \Xi_1, w) = (0, 0, 0, 0)$ convirja exponencialmente para a resposta estacionária desejada.

Como corolário do Teorema 8.4.4, temos duas implicações importantes que decorrem diretamente das condições de imersão mencionadas nas Proposições 8.4.2 e 8.4.3, bem como do teste indicado no Lema 8.4.5.

Corolário 8.4.6. O problema de regulação de saída com feedback de erro é solucionável se o par $(A, B)$ for estabilizável, o par $(C, A)$ for detectável, e existirem mapeamentos $x = \pi(w)$ e $u = c(w)$, com $\pi(0) = 0$ e $c(0) = 0$, ambos definidos em uma vizinhança $W^0 \subset W$ da origem, satisfazendo as condições $(8.27)$. Nesse caso, deve-se verificar que para um conjunto de inteiros $p_1, p_2, \dots, p_m$, o Jacobiano de $T(w)$ em $w = 0$ é uma matriz com $p$ linhas independentes, o que garante que a condição necessária para a solução seja atendida.

Corolário 8.4.7. O problema de regulação de saída com feedback de erro é solucionável por meio de um controlador linear se o par $(A, B)$ for estabilizável, o par $(C, A)$ for detectável, e existirem os mapeamentos $x = \pi(w)$ e $u = c(w)$, com $\pi(0) = 0$ e $c(0) = 0$, satisfazendo as condições $(8.27)$, além de o polinômio $p(A)$ não ter raízes com parte real negativa.

Em particular, deve-se observar que, ao contrário do caso anterior, os valores próprios de $\Xi$ não são necessariamente valores próprios de $S$, o que justifica a inclusão do polinômio $p(A)$ na afirmação do corolário.

Além disso, é importante ressaltar que, para a existência de um controlador linear que resolva o problema de regulação via feedback de erro, a condição (8.36) é uma condição necessária. Isso implica que, se um controlador do tipo linear $\Xi = F\Xi + G e$ existir, a função de erro $-s(w) = F a(w)$, $c(w) = G a(w)$ será validada, onde $a(w)$ representa uma solução funcional que satisfaz as condições necessárias do sistema.

Como Garantir a Regulação Estavelmente Estrutural em Sistemas Lineares e Não Lineares

No contexto da regulação de sistemas dinâmicos, um dos desafios fundamentais é garantir a estabilidade estrutural da regulação, ou seja, a capacidade do sistema de manter a estabilidade mesmo diante de pequenas perturbações ou variações nos parâmetros do sistema. Para isso, a análise de sistemas lineares e não lineares exige o cumprimento de certos requisitos que envolvem as propriedades da matriz do sistema e a identificação de condições suficientes para a existência de uma solução estável.

Considerando um sistema linear descrito por equações da forma:

onde $A(p)$, $B(p)$, $C(p)$, e $Q(p)$ são matrizes dependentes de parâmetros $p$, a regulação estruturalmente estável pode ser abordada por meio da análise das condições fornecidas pelo corolário. Primeiro, deve-se garantir que o par ($A(0)$, $B(0)$) seja estabilizável e que o par ($C(0)$, $A(0)$) seja detectável. Isso significa que, para um valor $p$ em uma vizinhança de $p = 0$, o sistema de equações lineares:

deve ter uma solução $n(p)$. Este é um ponto crucial para a existência de uma regulação estruturalmente estável, uma vez que a ausência de uma solução implicaria em instabilidade no sistema. Além disso, a condição de que a matriz associada ao sistema seja não singular para cada valor de $A$, que é um autovalor de uma equação polinomial associada, é essencial. A matriz de controle resultante deve, portanto, ter a forma que garante que os autovalores do sistema permaneçam no semiplano esquerdo do plano complexo, o que é uma condição necessária para a estabilidade do sistema.

No caso de sistemas não lineares, a situação pode se tornar mais complexa, mas o princípio permanece similar. Um exemplo elementar de aplicação pode ser encontrado no controle de pontos de operação, onde o exossistema gera comandos constantes, o que simplifica significativamente a análise, pois $s(w) = 0$, o que leva a uma solução trivial. No entanto, mesmo neste cenário simples, a condição de que a matriz associada ao sistema seja não singular em $A = 0$ continua sendo uma condição importante para a obtenção de uma regulação estruturalmente estável.

Por outro lado, quando lidamos com sistemas não lineares mais complexos, em que o mapeamento $c(w, p)$ é um polinômio de grau $k$ com coeficientes dependentes de $p$, a situação se complica, mas o mesmo princípio pode ser aplicado. Neste caso, a condição de estabilidade estrutural pode ser garantida se o mapeamento linear associado for tal que sua matriz de controle não tenha autovalores com parte real positiva. A existência de uma regulação estável depende da estrutura das soluções das equações diferenciais não lineares e da forma da matriz associada.

O processo de construção do controlador que resolve o problema de regulação estruturalmente estável é, de fato, semelhante ao que ocorre nos sistemas lineares. O controlador é composto por dois subsistemas conectados em paralelo. O primeiro subsistema é um controlador integral, enquanto o segundo subsistema é responsável por garantir a estabilidade do sistema não linear. Em ambos os casos, os parâmetros da matriz de controle dependem dos coeficientes do polinômio minimal do sistema, o que nos permite garantir a estabilidade e, ao mesmo tempo, manter a regulação do sistema em condições de perturbações ou variações dos parâmetros.

Um exemplo clássico de um sistema não linear é dado por um modelo em que as equações de estado dependem de parâmetros não lineares, como no caso de sistemas com parâmetros incertos. Nesses sistemas, a solução $ca(w, p)$ do sistema de equações diferenciais pode ser um polinômio, e a condição de estabilidade estrutural continua sendo válida, desde que o mapeamento linear associado à equação polinomial tenha uma matriz não singular para todos os autovalores $A$. Isso garante que, independentemente das variações nos parâmetros do sistema, a regulação estrutural permaneça estável.

Além disso, é importante observar que, embora a solução da equação diferencial não seja explicitamente necessária para a construção do controlador, ela oferece uma visão importante sobre a natureza da resposta do sistema e sobre como os parâmetros de controle devem ser ajustados para garantir a estabilidade do sistema. Dessa forma, a análise do comportamento das soluções ajuda na formulação de estratégias de controle mais eficazes, seja em sistemas lineares ou não lineares.

É também válido ressaltar que a estabilidade estrutural não é garantida apenas pela escolha adequada do controlador, mas também pela caracterização do sistema, especificamente pela escolha correta dos parâmetros e pela análise da estabilidade dos autovalores associados. Em sistemas não lineares, as dificuldades adicionais surgem com a interação dos parâmetros e com o comportamento não linear das equações de estado, exigindo uma análise mais cuidadosa dos mapeamentos envolvidos.