Como A Integração de Formas Diferenciais Relaciona-se com Campos Vetoriais e Fluxos em Manifolds

Seja $w_1(p), w_2(p), u(p)$ uma base positiva de $T_pR^3$, então $u(p)$ é ortogonal a $w_1(p)$ e $w_2(p)$. Isso implica que a normal positiva em $U$ é dada pela equação (2.7). A propriedade de que $w_1 \times w_2 = v \sqrt{EG - F^2}$ em $U$ segue diretamente do exemplo (XI.5.3(f)), como observado na seção anterior. Este resultado é um exemplo claro de como a integração de formas diferenciais pode ser aplicada na análise de fluxos em variedades, permitindo entender as dinâmicas que regem as mudanças em sistemas físicos.

Em uma variedade riemanniana $(N, \langle \cdot, \cdot \rangle)$, se $M$ for uma hipersuperfície orientada, existe exatamente um campo vetorial suave $v = v_M$ de $N$ ao longo de $M$, com as seguintes propriedades:

• $v(p) \in T_pM$ para $p \in M$;

• $|v(p)| = 1$ para todo $p \in M$;

• Se $(v_1, \dots, v_m)$ é uma base positiva de $T_pM$, então $(v(p), v_1, \dots, v_m)$ é uma base positiva de $T_pN$.

Esse campo $v$, conhecido como normal positiva de $M$, é crucial para a definição de fluxos através de uma superfície orientada, especialmente quando se deseja calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma hipersuperfície em uma variedade riemanniana.

Mais formalmente, o fluxo de um campo vetorial $v$ através de uma hipersuperfície $M$ é dado pela integral do produto escalar $(v | v)$ ao longo de $M$, o que especifica a taxa de variação da quantidade de massa (ou carga) que sai de $M$ em um dado momento $t$. Este tipo de integração tem amplas aplicações, desde a modelagem de fluidos até a análise de campos eletromagnéticos em física.

Esses conceitos também estão intimamente ligados ao teorema da transformação para a integral de Lebesgue. O teorema garante que, se $f$ é uma difeomorfismo orientador entre $M$ e $N$, então uma forma $n$-dimensional $u$ é integrável em $N$ se e somente se $f^* u$ é integrável em $M$. Esse teorema fornece a base para a equivalência entre integrais em diferentes coordenadas e é fundamental para a realização de cálculos práticos em geometria diferencial.

Como Aplicar o Teorema de Fubini para Formas Diferenciais e Integração em Variedades

O m-forma $w(\cdot, q)(b_1, \dots, b_n)$ é integrável sobre $M$ para cada tupla $(b_1, \dots, b_n)$ de vetores em $T_qN$. Neste contexto, a forma $y w(\cdot, q) := (b_1, \dots, b_n) J' w(\cdot, q)(b_1, \dots, b_n)$ pertence a $\Lambda^n T^*N$. Este desenvolvimento leva a uma analogia útil do Teorema de Fubini para formas diferenciais.

A prova pode ser desenvolvida da seguinte maneira. Considere $(v, U)$ como uma carta positiva de $M$ com $v = (x_1, \dots, x_m)$, e $(\hat{v}, V)$ como uma carta positiva de $N$ com $\hat{v} = (y_1, \dots, y_n)$. Assim, $(x, W) := (V \times \hat{V}, U \times V)$ é uma carta produto positiva de $L$. Supondo que $w := a dx_1 \wedge \dots \wedge dx_m \wedge dy_1 \wedge \dots \wedge dy_n$ seja integrável sobre $W$, então $x^* a$ pertence a $L^1(V(U) \times \hat{V}(V), X_{m+n})$, o que segue diretamente do Teorema X.6.9. A partir daí, podemos aplicar a condição de integrabilidade, obtendo que $x^* a(x, \cdot)$ pertence a $L^1(\hat{V}, X_n)$ para $X_M$-quase todo $x \in v(U)$, e que a integral dupla sobre os espaços resultantes é válida.

No contexto de variedades $M$ e $N$ que possuem sistemas locais positivos, podemos estender o raciocínio, considerando sistemas locais $\{ (p_j, U_j, n_j) \}$ e $\{ (\hat{p}_j, V_j, \hat{n}_j) \}$ para $M$ e $N$, respectivamente. Neste caso, o produto direto $\{ (p_j \times \hat{p}_k, U_j \times V_k, n_j \hat{n}_k) \}$, onde $(j, k) \in \mathbb{N}^2$, forma um sistema local positivo para $L$, e a integrabilidade do produto das formas $n_j \otimes p_k w$ segue diretamente da teoria estabelecida.

A utilidade do Teorema de Fubini neste contexto é clara, pois ele permite simplificar a complexidade da integração sobre variedades de dimensão superior, decompondo-a em integrais mais simples sobre suas projeções locais. Essa técnica é particularmente útil na física matemática e na geometria diferencial, onde frequentemente lidamos com integrais em variedades de alta dimensão.