A Interação entre Estado e Saída em Sistemas de Controle e a Observabilidade Local

Em sistemas dinâmicos e de controle, a interação entre o estado e a saída do sistema é um conceito crucial para entender seu comportamento e observabilidade. A análise dessa interação, em particular, permite avaliar como um sistema responde a entradas variáveis e, mais importante, como pode ser controlado de forma a produzir saídas desejadas. Um dos aspectos fundamentais dessa análise é a compreensão da involutividade de distribuições associadas a campos de vetores exatos e seus efeitos nas condições de observabilidade local.

A involutividade é uma condição importante porque garante que a estrutura do sistema pode ser manipulada de forma controlável e previsível, o que tem implicações diretas nas propriedades de observabilidade local de um sistema de controle. Em termos práticos, isso significa que o sistema pode ser monitorado de forma eficiente para que sua evolução possa ser determinada a partir de medições da saída, independentemente da complexidade das trajetórias do estado.

Em relação à observabilidade local, é importante notar que a definição de observabilidade envolve a capacidade de distinguir estados diferentes do sistema com base nas saídas geradas por entradas controladas. Um aspecto central dessa análise é o conceito de "fatias" de estados, ou seja, subconjuntos do espaço de estados nos quais os estados não podem ser distinguidos uns dos outros com base nas saídas. Caso dois estados $x_a$ e $x_b$ produzam saídas idênticas para qualquer sequência de entradas constantes, então esses estados pertencem à mesma fatia do espaço de estados $U^0$. Este conceito é central para garantir que o sistema possa ser observado localmente de maneira eficaz, o que é fundamental para o controle e diagnóstico.

Além disso, no contexto de sistemas com entradas descontínuas e respostas variáveis, é essencial que o mapeamento de estados $x^0 \to x(x^0, T, u)$ seja um difeomorfismo local. Isso significa que para um pequeno intervalo de tempo $T$, o comportamento do sistema em resposta a entradas de controle deve ser suave o suficiente para garantir que estados próximos sejam distinguidos de maneira contínua e localmente invertível. Este é um requisito crucial para que as análises de observabilidade sejam válidas, pois garante que pequenas variações nas entradas resultem em mudanças percebíveis nas saídas do sistema.

Outro ponto que não deve ser negligenciado ao estudar a observabilidade local é a dependência linear entre as funções de saída e seus respectivos covetores. A linearidade dessas relações é necessária para garantir que as distribuições sejam bem comportadas e para que a condição de observabilidade local seja validada. Caso contrário, a capacidade de distinguir entre estados em regiões específicas do espaço de estados pode ser comprometida, afetando a eficácia da monitorização e controle do sistema.

Teoria da Realização de Mapas de Entrada-Saída em Sistemas Dinâmicos Não Lineares

A expansão de Fliess de $y(t)$ coincide com os valores de $x^0$ das funções que geram o espaço de observação $O$. Os diferenciais dessas funções formam, por definição, a codistribuição $\text{span}\{dA : A \in O\}$. Se restringirmos nossa análise à j-ésima saída, podemos definir, em particular, um espaço de observação $O_j$ como o espaço de todas as combinações lineares de funções da forma $h_j$ e $L_{g_iQ} \cdots L_{g_k} h_j$, com $0 < i_k < m$ e $0 < k < \infty$. O conjunto de diferenciais $dh_j, dL_{g_iQ} \cdots L_{g_k} h_j$, com $i_k, \dots, i_0 \in I$ e $j$ fixo, gera a codistribuição $2O_j = \text{span}\{dA : A \in O_j\}$.

Agora, seja $(/, p_i, \dots, p_m | \text{span}\{p_i\})$ o menor subespaço distribuído invariável sob $/, p_i, \dots, p_m$ que contém $\text{span}\{p_i\}$. Se a condição (3.21) for verdadeira, então, já que $fife$ é invariável sob $/, p_i, \dots, p_m$, deve-se ter que, para qualquer escolha de campos vetoriais $n, \dots, n_r$ no conjunto $\{ f, g_1, g_{i-1}, \dots, g_m \}$, as condições de invariância se mantêm.

Se supormos que $(f, g_1, \dots, g_n | \text{span}\{p_i\})$ seja não singular, então essas distribuições também são involutivas (ver Lemmas 1.8.5, 1.9.5 e Remark 2.3.3). Se a condição (iii) do Teorema 3.3.2 for satisfeita, então, em torno de cada ponto $x \in U$, é possível encontrar um vizinho coordenado no qual o sistema não linear seja representado por equações da forma $m_{i1} = f_1(x_1, x_2) + \sum_{k=1}^{n} \, f_2(x_2)$ de onde se observa que a entrada $U_i$ não influencia a saída $y_j$.

O problema de "realizar" um dado comportamento de entrada-saída é geralmente conhecido como o problema de encontrar um sistema dinâmico com entradas e saídas capaz de reproduzir, quando inicializado em um estado apropriado, o comportamento de entrada-saída prescrito. Esse sistema dinâmico diz-se "realizar", a partir do estado inicial, o mapa de entrada-saída prescrito. Usualmente, a busca por sistemas dinâmicos que realizem o mapa de entrada-saída é restrita a classes especiais dentro do universo de todos os sistemas dinâmicos, dependendo da estrutura e/ou das propriedades do mapa dado.

Por exemplo, quando o mapa pode ser representado como uma integral de convolução da forma:

A teoria de realização de sistemas dinâmicos tem como objetivo estudar os fundamentos necessários para encontrar esses sistemas. Em termos formais, o problema é descrito da seguinte maneira: dado uma série formal de potências em $m + 1$ indeterminadas não comutativas, com coeficientes em $\mathbb{R}$, encontrar um número inteiro $n$, um elemento $x^0 \in \mathbb{R}^n$, $m + 1$ campos vetoriais analíticos $g_0, \dots, g_m$ e uma função $h$ analítica de valor vetorial $p$ definida em uma vizinhança $U$ de $x^0$ tal que:

Se essas condições forem satisfeitas, está claro que o sistema dinâmico $\dot{x} = P_o(x) + \sum_{i=1}^m (x) u_i$ e $y = h(x)$, quando inicializado em $x^0 \in \mathbb{R}^n$, produzirá um comportamento de entrada-saída da forma desejada. Assim, o conjunto $\{ g_0, \dots, g_m, h, x^0 \}$ será denominado uma realização da série formal de potências $c$.

Como Analisar a Dinâmica Zero em Sistemas Não Lineares

A análise de sistemas dinâmicos, especialmente os não lineares, exige uma compreensão profunda das suas propriedades intrínsecas, que muitas vezes são refletidas em conceitos análogos aos sistemas lineares, mas com características próprias. Entre esses conceitos, um dos mais importantes é o conceito de dinâmica zero, que desempenha um papel fundamental, especialmente em sistemas com grau relativo r inferior ao número total de estados n.

Considerando um sistema não linear, podemos afirmar que ele se decompõe em um subsistema linear de dimensão r, que controla o comportamento de entrada-saída, e um subsistema não linear de dimensão n-r, cujo comportamento, embora não afete diretamente a saída, é crucial para a descrição completa do sistema. Este tipo de estrutura de decomposição é visualizado na Figura 4.4, onde a interação entre esses dois subsistemas é evidente, e a parte linear garante o comportamento desejado de entrada e saída.

Quando nos deparamos com a questão das dinâmicas zero, a ideia central é entender a forma como o comportamento de um sistema não linear se assemelha ao comportamento de sistemas lineares que não possuem zeros em sua função de transferência. Se o grau relativo r de um sistema não linear é estritamente menor que n, podemos afirmar que, ao transformar o sistema para sua forma normal, a função de transferência será análoga à de um sistema linear sem zeros. Este conceito é essencial, pois revela a estrutura interna de um sistema não linear que, à primeira vista, pode parecer completamente distinto dos sistemas lineares tradicionais.

Ao reescrever as equações do sistema em uma forma mais compacta, utilizando uma notação vetorial adequada, é possível representar de maneira clara a estrutura do sistema. Ao fazer isso, o sistema de entradas e saídas pode ser descrito em termos de um conjunto reduzido de variáveis que capturam a dinâmica essencial do sistema, com r componentes de estado e n-r componentes que podem ser tratadas separadamente. Esse tipo de transformação facilita a análise e a compreensão das dinâmicas zero, especialmente quando se considera que, em muitos casos, as dinâmicas zero não afetam diretamente a saída, mas são fundamentais para entender o comportamento do sistema em sua totalidade.

O comportamento da variável rj(t) é determinado por uma equação diferencial, e o controle da entrada u(t) é ajustado de acordo com as condições da variável rj(t). A equação para o controle de entrada é dada por:

Isso assegura que, para qualquer escolha inicial de rj(0), o sistema evoluirá de maneira a manter a saída igual a zero durante o intervalo desejado.

Além disso, é importante destacar que, embora a dinâmica zero não afete diretamente a saída do sistema, ela pode influenciar significativamente o comportamento global do sistema, especialmente em situações de controle onde se busca um comportamento específico de entrada-saída. A compreensão dessa dinâmica é essencial para o desenvolvimento de estratégias de controle robustas e para a modelagem precisa de sistemas não lineares, que muitas vezes exibem comportamento altamente sensível a mudanças nas condições iniciais e nas variáveis de controle.

Como Alcançar o Grau Relativo por Meio da Extensão Dinâmica

A adição de variáveis de estado auxiliares em sistemas multivariáveis é uma técnica amplamente utilizada para facilitar a obtenção de um grau relativo. Mais especificamente, a adição de integrações em certos canais de entrada pode proporcionar a modificação necessária para atingir o grau relativo desejado. No entanto, o simples acréscimo de variáveis de estado não é uma solução direta. Para que essa modificação seja eficaz, é necessário seguir um procedimento recursivo que identifique quais canais precisam ser modificados e quantos integradores são necessários. Além disso, essa técnica envolve uma modificação do sistema original, com um tipo de retroalimentação que leva à criação de uma estrutura de controle dinâmica. Essa retroalimentação, implementada em forma da equação (5.31), será essencial para garantir que o sistema estendido alcance o grau relativo adequado.

O primeiro passo é identificar quais funções auxiliares $c_i(x)$, $1 \leq i \leq m$, precisam ser introduzidas, bem como os valores dos índices necessários para ajustar as integrações nos canais de entrada. Esses ajustes são feitos de maneira que o sistema original seja "regularizado", ou seja, a sua dinâmica é alterada de modo a obter o grau relativo desejado. A retroalimentação é dada por leis dinâmicas, como mostrado na equação (5.32), com a introdução de funções arbitrárias $p(x)$ e $q(x)$, que atendem a condições específicas como $p(x^\circ) = 0$ e $q(x^\circ) = 1$.

Um dos principais resultados dessa abordagem é que o feedback dinâmico aplicado ao sistema tem a propriedade de "regularizar" a dinâmica do sistema. Isso significa que, após a modificação, o sistema composto terá um grau relativo em todas as suas componentes, de acordo com o número de integrações necessárias e os ajustes feitos. A retroalimentação de forma dinâmica garante que o sistema não apenas alcance o grau relativo desejado, mas também que a estabilidade do sistema estendido seja preservada.

Além disso, um aspecto importante a ser observado é que o ponto de equilíbrio $(x, \xi) = (x^\circ, 0)$ é mantido após a modificação do sistema. Isso é essencial para garantir que, ao longo das iterações, o sistema continue a operar de forma estável em torno de seus pontos de equilíbrio, mesmo após a introdução de variáveis auxiliares e modificações na dinâmica. Essa estabilidade é fundamental para a aplicação prática dessa técnica em sistemas complexos.

O algoritmo de extensão dinâmica é uma poderosa ferramenta para sistemas que não possuem inicialmente o grau relativo desejado, permitindo uma série de iterações de modificações até que o grau relativo seja alcançado. Contudo, é importante destacar que a convergência desse processo não é automática e requer uma análise cuidadosa das funções de retroalimentação e dos parâmetros do sistema a cada etapa. Em alguns casos, pode ser necessário realizar ajustes finos nos termos das retroalimentações para garantir que o sistema estendido tenha a estrutura de controle adequada.