Quando é possível linearizar completamente um sistema com realimentação e mudança de coordenadas?

O objetivo de muitos métodos de controle não linear é transformar o sistema original em um sistema linear e controlável por meio de realimentação de estado e mudanças de coordenadas apropriadas. Um caso especialmente relevante é quando se deseja que não apenas a dinâmica do sistema, mas também a função de saída, seja linear na nova representação. Este tipo de linearização completa requer condições adicionais em relação à linearização parcial, em que apenas a dinâmica do estado é linearizada.

Considere um sistema não linear com um único atuador e uma função de saída. Suponha que o sistema possua um grau relativo $r$ no ponto $x^0$ , e que $f(x^0) = 0$ e $h(x^0) = 0$ . Nessa situação, a questão fundamental é saber quando existe uma realimentação de entrada $u = \alpha(x) + \beta(x)v$ e uma transformação de coordenadas $z = \phi(x)$ , localmente definida em torno de $x^0$ , que leve o sistema à forma completamente linearizada:

\dot{z} = Az + Bv, \quad y = Cz

A resposta está contida em duas condições necessárias e suficientes. A primeira é que a matriz formada pelos vetores $\{ g(x^0), \text{ad}_f g(x^0), ..., \text{ad}_f^{r-1} g(x^0) \}$ tenha posto igual a $n$ . A segunda exige que os campos vetoriais modificados $f(x) + p(x)\alpha(x)$ e $g(x)\beta(x)$ satisfaçam uma condição de comutatividade específica, ou seja, $[\text{ad}_f^i g, \text{ad}_f^j g](x) = 0$ para todos $i, j < n$ , em uma vizinhança de $x^0$ . Essa comutatividade garante que a distribuição gerada pelos campos vetoriais envolvidos seja involutiva, assegurando a integrabilidade da transformação de coordenadas.

A verificação dessas condições permite construir explicitamente a transformação linearizante. Primeiramente, mostra-se que, sob a hipótese de comutatividade, existe uma função escalar $\lambda(x)$ , tal que sua derivada ao longo das potências de $\text{ad}_f g$ é constante. A construção de $\lambda(x)$ pode ser feita de forma recursiva, garantindo que todas as derivadas direcionais ao longo da cadeia de Lie sejam invariantes no espaço. Além disso, a função de saída $h(x)$ pode ser expressa como uma combinação linear das derivadas sucessivas de $\lambda(x)$ , o que implica a linearidade da função de saída nas novas coordenadas.

A realimentação usada é tal que o sistema obtido já apresenta uma resposta linear entrada-saída. Sob as condições adicionais, essa linearidade se estende também às equações de estado. Dessa forma, o sistema completo – tanto sua dinâmica quanto sua saída – pode ser descrito por uma representação linear clássica.

Outro ponto crucial é que as condições deste teorema são mais fortes do que as necessárias para a linearização apenas das equações de estado. Isto significa que nem todo sistema que pode ser linearizado no espaço de estados possui, necessariamente, uma saída linearizável. A extensão à linearização total requer uma estrutura algébrica mais rígida nos campos vetoriais envolvidos.

Portanto, quando se deseja obter um sistema completamente linear e controlável por meio de realimentação e mudança de coordenadas, é necessário verificar não apenas o grau relativo e o posto da matriz de Lie, mas também a estrutura de comutatividade dos campos de Lie associados. Esta análise sutil distingue entre a linearização do comportamento dinâmico e a linearização da resposta completa entrada-saída do sistema.

Além da análise algébrica local, é fundamental que o leitor entenda o significado geométrico das distribuições involutivas e como estas se relacionam com a existência de coordenadas normalizadas. A involutividade da distribuição gerada pelos campos $\{ g, \text{ad}_f g, ..., \text{ad}_f^{n-1} g \}$ é uma condição que assegura a integrabilidade das folhas de folheação sobre as quais o sistema pode ser linearizado. Compreender esta estrutura é essencial para estender os resultados localmente válidos a regiões maiores do espaço de estados, quando possível.

Além disso, o papel da função de saída $h(x)$ como critério adicional de compatibilidade com a estrutura de Lie do sistema reforça a importância de escolher funções de saída adequadas, especialmente em problemas de projeto de sensores ou de reconstrução de estado. A transformação que leva o sistema à forma linear requer que a saída pertença ao fecho algébrico da distribuição gerada pelas derivadas de $\lambda(x)$ , o que pode impor restrições significativas sobre a observabilidade do sistema em seu espaço original.

Como Identificar Funções Adequadas para Diferenciais em Espaços de Codistribuição

O estudo das funções cujos diferenciais pertencem a um espaço de codistribuição é fundamental para entender melhor as interações entre diferentes componentes de um sistema matemático complexo. Neste contexto, dada uma distribuição $\mathcal{G}$ em um espaço de dimensão $n$ , a análise do comportamento dos diferenciais das funções associadas a $\mathcal{G}$ revela informações cruciais sobre a estrutura interna do sistema e suas inter-relações.

Consideremos que para cada valor de $i$ , o diferencial $dX_i(x)$ deve ser um covetor pertencente à codistribuição $\mathcal{G}^*$ . Isso implica que, ao longo do processo, a soma $n + r_2 + \dots + r_m = n$ , onde $n = \text{dim}(\mathcal{G}_{\text{dim}})$ , e a relação entre os diferentes valores de $m_i$ determina a configuração específica do sistema. Neste caso, $n = m_i + m_2 (K - 1)$ , o que mostra que a dimensão de $\mathcal{G}$ depende diretamente dos valores $m_1, m_2$ e de outras variáveis presentes na equação.

Se o somatório $m_1 + m_2$ for estritamente menor do que $m$ , é necessário prosseguir com a busca de uma nova função que complemente o conjunto. Essa busca envolve a consideração de um novo conjunto de funções cujos diferenciais possam cobrir completamente o espaço $\mathcal{G}_{\text{dim}}$ , de modo que os diferenciais $dX_i(x)$ e $dL_i(x)$ se alinhem com a codistribuição requerida. O processo de iteração desse procedimento resulta na identificação de funções cujos diferenciais $dX_i(x), dL_i(x), \dots, dL_{m_2}(x)$ contribuem para a formação da base de diferenciais que satisfazem as condições impostas.

Após $k - 1$ iterações, chega-se a um conjunto de $m_{K-1}$ funções que possuem a propriedade desejada. Quando a desigualdade se mantém estrita, define-se $m_K$ como sendo igual a $n - (m_1 + (k - 1) m_2 + \dots + 2 m_{K-1})$ . Essa relação assegura que a soma total $m_1 + m_2 + \dots + m_K = m$ , implicando que todas as funções identificadas estão perfeitamente adaptadas à codistribuição e que suas interações são descritas de forma consistente pelas equações diferenciais.

A característica fundamental desse processo é a adaptabilidade da solução: cada função e seu diferencial são escolhidos com base na sua capacidade de cobrir as necessidades da codistribuição, respeitando tanto as dimensões do espaço como as relações entre os diferentes parâmetros do sistema. Assim, a busca por novas funções é contínua, sempre visando ajustar o conjunto de diferenciais de maneira a manter a coerência do modelo.

Este processo não é apenas uma questão de encontrar funções que satisfaçam as equações, mas de compreender a dinâmica entre os componentes do sistema, especialmente em espaços de alta dimensão. O entendimento de como cada função contribui para a estrutura global da codistribuição permite aos matemáticos e físicos explorar de maneira mais profunda os sistemas complexos que estão sendo modelados.

Além disso, é essencial que o leitor compreenda que a dimensão de $\mathcal{G}$ e o número de funções necessárias não são fixos, mas sim variáveis, dependendo das interações e do comportamento das funções no espaço considerado. Em outras palavras, o número de funções que satisfazem as condições desejadas pode mudar à medida que a busca por diferenciais adequados se aprofunda. Essa flexibilidade é crucial para lidar com diferentes tipos de sistemas e suas respectivas codistribuições.

O que significa a invariância controlada local em sistemas com realimentação de estado?

O conceito de invariância controlada local é uma das pedras angulares na análise geométrica de sistemas dinâmicos com realimentação de estado. Ele define condições sob as quais uma distribuição (ou subespaço tangente em cada ponto do espaço de estados) pode ser mantida invariante pela ação do sistema com controle adequado. Ou seja, existe uma escolha possível de controle que mantém o sistema evoluindo dentro de uma estrutura geométrica desejada.

Formalmente, uma distribuição $\mathcal{A}$ é dita localmente controlada invariante em um ponto $x \in U \subset \mathbb{R}^n$ se existe uma vizinhança $U^0 \subset U$ de $x$ e um par de funções suaves $(\alpha(x), \beta(x))$ que permitem expressar o sistema realimentado de modo que os campos vetoriais do sistema permaneçam tangentes à distribuição $\mathcal{A}$ . Isso significa que, com o controle apropriado, o sistema pode ser forçado a evoluir dentro da distribuição $\mathcal{A}$ .

Este conceito está intimamente ligado ao teste geométrico de invariância, que oferece uma condição necessária e suficiente para a invariância controlada local. Considerando $G = \text{span}\{g_1, ..., g_m\}$ , e supondo que $\mathcal{A}$ seja uma distribuição involutiva, temos que $\mathcal{A}$ é localmente controlada invariante se, e somente se, as seguintes inclusões se verificam:

[f, \mathcal{A}] \subset \mathcal{A} + G, \quad [g_i, \mathcal{A}] \subset \mathcal{A} + G \quad \text{para todo } 1 \le i \le m.

Estas condições garantem que, sob a aplicação de realimentação adequada, a dinâmica do sistema pode ser confinada à geometria imposta por $\mathcal{A}$ .

Para provar a suficiência dessas condições, introduz-se uma construção baseada na escolha de uma distribuição não singular $\mathcal{K}$ , definida como a imagem de uma matriz constante $I$ , de dimensão $d$ , de forma que $\mathcal{K}(x) = \text{Im}(I)$ em cada ponto $x$ . Assume-se que $\mathcal{K} + G$ tenha dimensão constante $d + q$ , com $q > 0$ , permitindo assim a construção de uma matriz de realimentação $\beta(x)$ , suave e inversível, que diagonaliza a parte correspondente ao controle.

Neste cenário, é sempre possível escolher um vetor $\alpha(x)$ de funções suaves tal que, no novo campo vetorial realimentado $\tilde{f}(x) = f(x) + g(x)\alpha(x)$ , certas entradas (relacionadas aos índices da matriz $\beta$ ) sejam nulas. Essa manipulação força o novo vetor $\tilde{f}$ a ser tangente à distribuição $\mathcal{K}$ , e por extensão, devido à inclusão $\mathcal{K} \subset \mathcal{A} + G$ , satisfaz as condições necessárias para a invariância da distribuição inicial $\mathcal{A}$ .

Além disso, há uma observação importante: na demonstração da necessidade das condições, não é utilizada a suposição de que $\mathcal{A}$ e $\mathcal{A} + G$ sejam não singulares. Esta suposição só é realmente utilizada na demonstração da suficiência. Isso mostra que as condições geométricas obtidas têm um papel mais estrutural e menos dependente de propriedades locais específicas do sistema, o que reforça sua generalidade.

Por fim, esta construção revela uma profunda conexão entre o formalismo da realimentação e a estrutura diferencial do sistema. Ela mostra que a realimentação não é apenas uma ferramenta para controle, mas também um meio de reorganizar a dinâmica do sistema em torno de subestruturas geométricas específicas, de forma que certas propriedades — como a estabilidade, a linearizabilidade ou a robustez — possam ser garantidas ou melhor exploradas.

É fundamental também compreender que a teoria desenvolvida aqui estende resultados discutidos anteriormente no contexto da forma normal generalizada. Especificamente, os inteiros $r_i$ que surgem na caracterização da dinâmica zero estão diretamente relacionados à estrutura das saídas e à sua ordenação. Essa ligação revela que a escolha das saídas não é apenas uma questão de conveniência, mas tem implicações profundas na estrutura controlável do sistema e na própria possibilidade de imposição de invariância sobre certas distribuições.

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