Como a Teoria de Realizações Funcionais e a Linearização Exata Contribuem para o Estudo de Sistemas Não Lineares

A teoria das expansões funcionais, como ilustrado na seção 3.1, foi inicialmente abordada por Fliess em uma série de trabalhos fundamentais, e uma exposição abrangente sobre o assunto, acompanhada de resultados adicionais, pode ser encontrada no trabalho de Fliess (1981). Essas expansões possuem uma relação direta com as séries de Volterra, cujas expressões dos núcleos foram descobertas por Lesjak-Krener (1978), sendo ampliadas por Fliess et al. (1983). A estrutura dos núcleos de Volterra foi primeiramente analisada por Brockett (1976), que provou que qualquer núcleo individual pode ser interpretado como o núcleo de um sistema bilinear adequado. De fato, os núcleos de sistemas bilineares foram calculados pela primeira vez por Bruni et al. (1970). O estudo das transformadas de Laplace multivariáveis dos núcleos de Volterra, bem como suas propriedades, foi amplamente realizado por Rugh (1981).

O estudo das expansões funcionais para sistemas não lineares discretos foi realizado por Sontag (1979) e por Monaco-Normand Cyrot (1986). É importante destacar que, em alguns casos, a saída de um sistema pode não ser afetada por um canal de entrada específico, uma questão explorada por Isidori et al. (1981a) e Claude (1982). Esses resultados formam a base para a análise da estabilidade e do comportamento dinâmico desses sistemas.

No contexto de sistemas não lineares, a teoria da realização se torna um instrumento crucial para entender a estrutura do sistema e como ele pode ser descrito de maneira mais conveniente. A realização de séries de Volterra finitas foi estudada por Crouch (1981), e métodos construtivos para realizações a partir da transformada de Laplace de um núcleo de Volterra podem ser encontrados no trabalho de Rugh (1983). Além disso, a realização de mapas de resposta de sistemas discretos foi amplamente discutida por Sontag (1979).

No que diz respeito à linearização exata de sistemas, a teoria de coordenadas locais especiais, proposta por Isidori et al. (1981a), oferece uma maneira eficaz de abordar o problema da linearização de sistemas não lineares. O problema da linearização exata para sistemas de entrada única foi proposto e resolvido por Brockett (1978), enquanto uma solução completa para sistemas de múltiplas entradas foi encontrada por Jakubczyk-Respondek (1980). A contribuição de Su (1982) e Hunt-Su-Meyer (1983a) trouxe uma formulação ligeiramente diferente, juntamente com um procedimento para a construção da transformação linearizadora.

O conceito de zero-dinâmica, introduzido por Byrnes-Isidori (1984), revela um aspecto importante da estabilização assintótica. A aplicabilidade dessa teoria na solução de problemas críticos de estabilização assintótica foi discutida em Byrnes-Isidori (1988). A teoria dos manifolds centrais, sugerida por Aeyels (1985), também desempenha um papel essencial na resolução de problemas de estabilização, particularmente no contexto de sistemas discretos, como detalhado em Glad (1987) e Monaco-Normand Cyrot (1988).

Além disso, a estabilização assintótica via feedback de estado, embora apenas marginalmente abordada nestas notas, envolve questões cruciais que ainda precisam ser exploradas mais a fundo. Isso inclui a equivalência entre estabilizabilidade e controlabilidade, conforme discutido por Jurdjevic-Quinn (1979) e Brockett (1983), bem como as propriedades de suavidade do feedback estabilizador, abordadas por Sussmann (1979a) e Sontag-Sussmann (1980). A aplicação dessas ideias no contexto de sistemas de feedback também pode ser estendida ao estudo da abordagem input-output para estabilidade, que foi explorada por Hammer (1986, 1987) e Sontag (1989a).

Por fim, a análise de perturbações singulares em sistemas de feedback de alto ganho, abordada por Byrnes-Isidori (1984) e Marino (1985), bem como sua relação com a teoria de controle de estrutura variável, foi investigada por Utkin (1977). O uso de perturbações singulares na concepção de controle adaptativo foi discutido por Khalil-Saberi (1987), enquanto sua aplicação na solução do problema de desacoplamento quase-distúrbio foi detalhada por Marino et al. (1989).

Em todos esses estudos, a inter-relação entre os diferentes métodos e abordagens teóricas forma a base para uma compreensão mais profunda dos sistemas não lineares e das técnicas necessárias para sua análise e controle efetivo. O domínio dessas técnicas, em particular a linearização exata, a análise de zero-dinâmica e a realização de sistemas, representa um avanço significativo na teoria de sistemas não lineares e seu controle.

Como a Linearização de Sistemas Não Lineares Revoluciona o Controle e a Estabilidade: Uma Análise das Contribuições Pioneiras

A linearização de sistemas não lineares representa um dos maiores avanços no campo da teoria de controle, especialmente no que tange à simplificação da análise e projeto de controladores. Esse processo busca representar sistemas não lineares complexos como sistemas lineares em torno de pontos de operação específicos, o que permite utilizar as técnicas clássicas de controle linear para sistemas que, em um primeiro momento, pareceriam inacessíveis a essas metodologias.

Ao longo dos anos, diversos estudos têm contribuído para a evolução da linearização, com um enfoque significativo na linearização via retroalimentação de estado dinâmica, proposta por Isidori e Moog em 1986. Esses trabalhos estabeleceram condições suficientes para a linearização de sistemas não lineares por meio de feedback dinâmico, uma abordagem que tem se mostrado fundamental para a aplicação prática da teoria. Essa técnica, além de teórica, oferece resultados que podem ser aplicados diretamente a sistemas reais, como aqueles encontrados na engenharia de controle de aeronaves ou em sistemas robóticos, por exemplo.

Outros estudos, como os de Jakubczyk e Respondek, examinaram a linearização de sistemas discretos, estendendo as técnicas de linearização de sistemas contínuos para o domínio do tempo discreto. Em 1980, Jakubczyk explorou a existência e a unicidade das realizações de sistemas não lineares, apresentando importantes avanços na compreensão da estrutura desses sistemas. Já em 1990, o trabalho de Jakubczyk e Sontag no campo da controlabilidade de sistemas não lineares discretos, utilizando uma abordagem algébrica de Lie, aprofundou-se na aplicação de conceitos matemáticos avançados para a análise de sistemas dinâmicos.

As contribuições de Kalman também são de extrema relevância, principalmente na forma como suas idéias sobre invariantes de Kronecker e retroalimentação influenciaram a abordagem para sistemas não lineares. A aplicação da retroalimentação, tanto em sistemas lineares quanto não lineares, tem sido crucial para o desenvolvimento de soluções práticas e robustas, permitindo que sistemas de controle se tornem mais confiáveis e estáveis em face de variações dinâmicas e perturbações externas.

Por outro lado, a obra de Krener, particularmente seus estudos sobre formas normais e decomposições para sistemas não lineares, traz uma contribuição fundamental para a análise geométrica de sistemas dinâmicos. Krener, juntamente com Isidori, desenvolveu métodos para identificar distribuições invariantes e a análise da linearização por injeção de saída, que são essenciais para a compreensão de sistemas não lineares com restrições em suas entradas e saídas. Além disso, o conceito de distribuições invariantes está no cerne do estudo de sistemas com feedback robusto e linearizáveis, onde o controle se baseia em explorar as propriedades geométricas dessas distribuições.

A linearização por feedback se mostra crucial na estabilização de sistemas não lineares, uma área na qual importantes avanços foram feitos com a introdução de técnicas de feedback de alta e baixa intensidade. Estes métodos, como discutido por Marino e Kokotovic, permitiram a estabilização de sistemas não lineares em formas normais específicas, com uma consideração especial à estabilização semiglobal. Os conceitos de feedback adaptativo e a estabilização global via controle de saída, como abordado por Marino e Tomei, também abriram portas para novas aplicações em sistemas não lineares complexos, desde o controle de processos industriais até sistemas de navegação de aeronaves autônomas.

Além disso, a teoria de perturbações singulares, abordada por Kokotovic e outros, oferece uma análise profunda das dinâmicas de sistemas não lineares sujeitos a pequenas variações, o que é particularmente útil em sistemas de controle onde pequenas alterações nas condições operacionais podem causar grandes impactos no desempenho do sistema. A aplicação dessas teorias em controladores adaptativos permite uma maior robustez contra incertezas e variabilidades, um aspecto crítico em ambientes dinâmicos e imprevisíveis.

Com o passar do tempo, a pesquisa em controle de sistemas não lineares se diversificou ainda mais, abrangendo desde sistemas com múltiplas entradas e saídas até modelos dinâmicos complexos como os utilizados em bioengenharia e controle de processos químicos. As ideias desenvolvidas por autores como Lee, Arapostathis e Marcus sobre a linearização de sistemas discretos, bem como o estudo das condições de controlabilidade, continuam a ser fundamentais para o avanço na teoria de controle moderno.

O estudo da controlabilidade e da observabilidade de sistemas não lineares também ocupa um papel central, uma vez que essas propriedades determinam a capacidade de um sistema de ser controlado ou estimado com base nas medições disponíveis. O trabalho de Krener sobre distribuições de controle e os avanços nas abordagens de feedback dinâmico revelam a riqueza e a complexidade do comportamento de sistemas não lineares. Essas propriedades geométricas e algébricas oferecem uma estrutura que pode ser explorada para o desenvolvimento de controladores mais eficientes, capazes de lidar com as exigências de precisão e resposta rápida em uma ampla gama de aplicações.

Por fim, é importante compreender que, além dos avanços teóricos, o campo da linearização de sistemas não lineares está intrinsecamente ligado às suas aplicações práticas, que exigem uma integração estreita entre a matemática pura e a engenharia de controle. A estabilidade, a robustez e a precisão de sistemas controlados não dependem apenas da escolha das técnicas de linearização, mas também da capacidade de adaptar essas soluções para condições reais de operação, onde fatores externos e imprecisões nos modelos podem alterar significativamente o desempenho do sistema.

Como as distribuições invariantes influenciam os sistemas de controle não lineares

A análise das distribuições invariantes e sua relação com sistemas dinâmicos não lineares é fundamental para entender a decomposição local dos sistemas de controle. Distribuições invariantes têm o papel crucial de manter a estrutura do sistema em diferentes pontos do espaço de estados. Ao considerarmos o fluxo de sistemas representados por equações diferenciais, como a equação (1.30), as trajetórias de $x_a(t)$ e $x_b(t)$ precisam necessariamente satisfazer a condição dada pela equação (1.34), ou seja, em cada instante de tempo $t$ , as trajetórias devem pertencer a um “slice” definido pela forma $(1.32)$ . Em outras palavras, o fluxo do sistema, descrito pela equação (1.30), transforma esses slices de uma forma semelhante à apresentada na figura 1.6.

Considere o exemplo dado na seção 1.6.4, em que temos a distribuição bidimensional $A = \text{span}\{v_1, v_2\}$ , com $v_1$ e $v_2$ definidos de maneira a satisfazer a condição de involutividade $[v_1, v_2] = 0$ . Essa propriedade, conforme a observação feita em 1.3.5, nos permite afirmar que a distribuição $A$ é involutiva. Além disso, a invariância de $A$ sob o campo vetorial $f$ , descrita pela condição $[f, v_1] = 0$ e $[f, v_2] = -v_1$ , faz com que $A$ seja preservada sob a evolução do campo vetorial.

Por meio do Teorema de Frobenius, sabemos que em uma vizinhança de qualquer ponto $x_0$ , existem funções $A_1(x)$ e $A_2(x)$ , tais que o span dessas funções forma uma distribuição involutiva. Funções como $A_1(x) = x_3$ e $A_2(x) = -x_1x_2 + x_4$ , cujos diferenciais têm as formas $dA_1 = (0, 0, 1, 0)$ e $dA_2 = (-x_2 - x_1, 0, 0, 1)$ , satisfazem a condição necessária para a definição da distribuição local. Com isso, em novas coordenadas $Z = (z_1, z_2, z_3, z_4)$ , o campo vetorial assume uma forma simplificada, o que facilita a análise da dinâmica do sistema.

Essa decomposição local revela a importância da escolha de coordenadas adequadas, o que é um ponto-chave em sistemas de controle não lineares. As distribuições invariantes permitem transformar o sistema de controle não linear em um sistema mais simples, onde as interações entre os diferentes estados do sistema podem ser compreendidas de forma mais clara. O uso dessas coordenadas transformadas é especialmente útil em sistemas que envolvem múltiplas variáveis de controle, pois facilita a compreensão do comportamento do sistema sem perder a complexidade original.

A noção de invariância de uma distribuição sob um campo vetorial pode ser estendida para distribuições não suaves. Nesse caso, exigimos que o colchete de Lie $[f, t]$ de $f$ com qualquer campo vetorial suave de $A$ ainda pertença a $A$ . Isso nos leva a considerar distribuições suavemente aproximadas, ou seja, distribuições que podem ser tratadas por aproximação quando não forem diretamente suaves. Para as codistribuições, essa invariância pode ser entendida pela condição de que a derivada $L_f \omega$ de qualquer campo covetor $\omega$ de $\mathcal{Q}$ pertença também à codistribuição $\mathcal{Q}$ , o que caracteriza a invariância das codistribuições sob um campo vetorial.

Além disso, a relação entre distribuições e codistribuições é um aspecto importante. Se uma distribuição suave $A$ é invariante sob um campo vetorial $f$ , então a codistribuição $A^*$ , que é o aniquilador de $A$ , também será invariante sob $f$ . O inverso também é verdadeiro. Essa relação entre distribuição e codistribuição é essencial para entender o comportamento dinâmico do sistema sob transformação coordenada. Se ambas as distribuições e codistribuições são suaves, então a invariância de uma implica na invariância da outra.

Para ilustrar a aplicabilidade dessas ideias em sistemas de controle, considere que, se $A$ for uma distribuição involutiva e invariável sob os campos vetoriais $f, g_1, ..., g_m$ , como descrito na proposição 1.7.2, será possível encontrar uma transformação coordenada local que leva o sistema de controle não linear de uma forma complexa para uma forma simplificada, como as equações de controle apresentadas na figura 1.7b. Isso torna a análise do sistema mais acessível, ao reduzir as interações entre as variáveis de controle em uma forma mais compreensível.

Em sistemas de controle não lineares, compreender a invariância das distribuições e codistribuições sob certos campos vetoriais é crucial para realizar decomposições locais eficazes. Além disso, a escolha das coordenadas certas pode simplificar a representação do sistema e, consequentemente, facilitar o projeto de controladores. A teoria de distribuições invariantes, como foi descrito, oferece ferramentas poderosas para a análise e a decomposição de sistemas dinâmicos não lineares, especialmente quando lidamos com sistemas de controle altamente não lineares e de alta dimensão.

Como a representação funcional de sistemas não lineares fundamenta a teoria da realização

O problema da partição do espaço de estados em sistemas dinâmicos complexos, especialmente os de natureza não linear, pode ser compreendido por meio da construção de representações formais que relacionam entradas e saídas do sistema. Considere um sistema cuja dinâmica é expressa como uma soma finita de termos envolvendo funções de estado e entradas multiplicativas, de forma que a evolução do estado depende da aplicação de operadores não comutativos sobre as variáveis do sistema. Tal sistema pode ser modelado em um espaço composto pela combinação de posições e orientações, representadas por elementos em variedades diferenciáveis como $\mathbb{R}^3$ e o grupo especial ortogonal $SO(3)$ .

Neste contexto, a estrutura algébrica subjacente, como um monoide livre, permite definir composições de múltiplas operações de entrada, que traduzem a evolução do sistema sob diferentes sequências temporais de comandos. A formalização dessa ideia é realizada por meio das séries formais de potências não comutativas, onde cada termo da série corresponde a um índice múltiplo que codifica a sequência e a natureza das entradas aplicadas.

Um conceito fundamental é o da integral iterada, que representa a acumulação dos efeitos das entradas contínuas ao longo do tempo, definidas como funções reais, contínuas por partes, em um intervalo fixo. As integrais iteradas são construídas recursivamente e associam a cada sequência de índices uma função temporal, permitindo a expressão da saída do sistema como uma soma (possivelmente infinita) ponderada dessas integrais, com coeficientes dados pela série formal.

Um ponto crítico na análise é a condição de crescimento dos coeficientes da série, que assegura a convergência absoluta e uniforme da soma funcional no intervalo de interesse. Isso garante a validade da representação e sua aplicabilidade prática, pois assegura estabilidade matemática e permite estimativas precisas do comportamento do sistema.

A função que representa a saída do sistema é, portanto, um funcional causal das entradas: o valor da saída em um tempo $t$ depende somente das entradas aplicadas até esse instante. A causalidade é uma propriedade essencial para a realizabilidade física do sistema e para a interpretação temporal dos efeitos.

A unicidade dessa representação é outro resultado fundamental. Duas séries formais que definem a mesma funcional implicam na igualdade de seus coeficientes. Isso é demonstrado pelo método de comparar derivadas sucessivas do funcional no tempo zero, mostrando que a anulação da diferença da saída para quaisquer entradas implica a nulidade dos coeficientes correspondentes. Assim, a série formal é uma característica única do sistema.

Além disso, a expressão da saída na forma da série funcional, conhecida como expansão funcional de Fliess, é uma ferramenta poderosa para a análise e síntese de sistemas não lineares, permitindo a decomposição do sistema em componentes que facilitam a modelagem, a identificação e o controle.

É importante entender que, embora a teoria forneça um arcabouço matemático rigoroso, a implementação prática requer cuidados adicionais. A escolha do intervalo de tempo para garantir convergência, a estimativa dos coeficientes da série e a interpretação geométrica do espaço de estados são aspectos fundamentais para aplicar esses conceitos em situações reais. Além disso, o formalismo das integrais iteradas pode ser estendido para incluir perturbações estocásticas e incertezas nos modelos, aspecto essencial para sistemas físicos sujeitos a ruídos e variações ambientais.

Em síntese, o entendimento da representação funcional dos sistemas não lineares por meio de séries formais e integrais iteradas constitui uma base teórica sólida para a teoria da realização, possibilitando a descrição completa do comportamento entrada-saída e fornecendo instrumentos para o desenvolvimento de estratégias avançadas de controle e análise.

Como determinar a distribuição invariante controlada máxima em ker(dh)?

Seja $w$ um campo de covetores em $f^* 2k \subseteq G_x$ , e $r$ um campo vetorial em $12^\wedge$ . Na expressão

(L_{f} l_{iu}, r) = L_{g_i} (w, r) - (w, [f, r])

temos que $(L_{g_i} w, r) = 0$ pois $L_{g_i} w \in 12k^*$ e $(w, r) = 0$ porque $r \in (12^\wedge)$ . Logo, o resultado é zero. Como $12k^* \subseteq G_1$ é suave por hipótese, o colchete $[z, t]$ anula qualquer covetor em $A G^{ -*}$ , ou seja, $[z, t] \in 12^{\wedge} + G$ para $0 < l < m$ . Portanto, $12^{\wedge}$ é um elemento de $J(f, g, \ker(d f))$ .

Seja $A$ qualquer outro elemento desta coleção. Podemos provar que $A \subseteq 12^{\wedge}$ . Observemos que, se $\omega$ é um campo de covetores em $A^{1- } \subseteq G_x$ e $r$ um campo vetorial em $A$ , então, lembrando que $A$ é uma distribuição suave, as operações se mantêm coerentes dentro da estrutura diferencial, o que reforça a inclusão.

Suponha agora que $2F \supseteq f^{t k}$ para algum $k > 0$ . Então,

m P^{* + i} \subseteq r 2jfe + L/(4 \pm n G \pm) + \text{expressões similares} \subseteq 2=1,

e, uma vez que $f^0 = \mathrm{span}\{d/i\} \subseteq A_1$ , deduz-se que esta é a máxima elemento em $y(f, g, \ker(d/i))$ .

Perto de um ponto $x^0$ , considere que esta codistribuição é gerada pelas linhas de uma matriz $W_{k-1}^{(o) \times n}$ de funções suaves. Para calcular uma base de $f_{2k}$ , a partir da expressão (6.35), é necessário inicialmente determinar a interseção $D G_1$ . Um covetor $\alpha$ em $OG^{\pm}(x)$ , sendo combinação linear das linhas de $W_{k-1}(x)$ que anula os vetores de $G(x)$ , pode ser escrito como $\alpha = \gamma^{k-1}(x)$ , onde $\gamma$ satisfaz a equação

\gamma W_{k-1}(x) g(x) = 0.

Se a matriz $A_{k-1}(x) = W_{k-1} W_f^T W$ possui posto constante $p_{k-1}$ próximo de $x^0$ , então o espaço das soluções dessa equação terá dimensão constante $(a_{k-1} - p_{k-1})$ , e existirá uma matriz de funções suaves $S_{k-1}(x)$ cujas linhas geram esse espaço para cada $x$ . Consequentemente, a interseção $f_{2k-1} \cap G^{\pm}(x)$ é gerada pelas linhas da matriz $S_{k-1}(x) W_{k-1}(x)$ .

Utilizando (6.35) e a observação do item 1.6.7, conclui-se que

Q_k = + \mathrm{span}\{ L_{/}(S_{jfe-1} V_{jfe-1} ) : 1 < i < a_{k-1} - p_{k-1} \} + \text{outras expressões envolvendo derivadas de Lie}

onde $(S_{k-1} W_{k-1})_i$ denota a $i$ -ésima linha da matriz. A partir dos campos de covetores indicados no lado direito, é possível extrair uma base para $Q_k$ , desde que a dimensão $a_k$ de $Q_k$ seja constante perto de $x^0$ .

O processo recursivo inicia-se com $W_0(x) = dh(x)$ . Se para algum $k$ , temos $T_{jfe-1} = a_k$ , então, por definição,

L_f (J^{2k-1} \cap G^{ -*}) \subseteq Q_{k-1}, \quad L_{g_j} (Q_{k-1} \cap G_1) \subseteq \cdots

e a construção termina. Ou seja, se as condições de regularidade são satisfeitas — notadamente a constância das dimensões de $Q_k$ e de $G^{ -1}$ —, após um número finito de iterações $k^*$ , atinge-se a condição

f_{k^*} = f_{k^*} \quad \text{(Lema 6.3.1)}.

O inteiro $p_k$ , que representa o posto de $A_k$ , pode ser caracterizado como a diferença entre as dimensões de $J^{jfe}$ e de $J^{jfe} \cap G_x$ .

Definimos então que um ponto $x^0$ é regular para o algoritmo da distribuição invariante controlada se, em uma vizinhança de $x^0$ , as codistribuições $Q_k$ e $Q_k \cap G^{ -1}$ , para todo $k > 0$ , são não singulares.

Sob esta hipótese, as condições do Lema 6.3.3 são localmente satisfeitas, isto é, em uma vizinhança $U^0$ de $x^0$ , $Z^*_l$ é computável de forma finita e tanto $Z^*_l$ quanto $Z^*_l + G$ são não singulares.

Em exemplos práticos, como o sistema controlado pela entrada $u = (-x_3, 1, 0, 0)$ , a aplicação destas construções revela a forma explícita dos campos de Lie e suas derivadas, permitindo identificar a estrutura invariante máxima.

Entender estas construções permite reconhecer que a determinação da distribuição invariante controlada máxima dentro do núcleo do diferencial de uma função $h$ não é meramente um problema algébrico, mas uma análise intrincada da geometria diferencial associada ao sistema controlado. Isso implica a consideração cuidadosa das regularidades locais das codistribuições envolvidas e a avaliação das propriedades de postos constantes das matrizes que geram estas codistribuições.

É essencial compreender que a existência da distribuição invariante controlada máxima pressupõe condições de suavidade e regularidade que garantem a estabilidade das dimensões envolvidas nas iterações do algoritmo. Além disso, essa distribuição tem papel fundamental no entendimento das possibilidades de controle e na definição de trajetórias invariantes sob a dinâmica do sistema, estando diretamente relacionada à estrutura interna do sistema dinâmico e suas limitações impostas pelo núcleo do diferencial.

A interpretação geométrica dessas distribuições auxilia também no desenvolvimento de estratégias de realimentação de estado, pois a identificação correta da distribuição invariante fornece o suporte para a construção de controladores que preservam invariantes desejados no comportamento do sistema, contribuindo para a robustez e a estabilidade do controle implementado.

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