Como Obter a Dinâmica Zero de Sistemas Não Lineares Usando Aproximações Lineares

Ao analisar sistemas não lineares, um dos objetivos mais comuns é identificar a dinâmica zero do sistema. A dinâmica zero descreve o comportamento do sistema quando a saída é forçada a ser zero, ou seja, o comportamento do sistema isolado de sua saída. Neste contexto, podemos observar que a linearização das equações que descrevem o sistema fornece uma aproximação que facilita a análise das dinâmicas do sistema em torno de um ponto de equilíbrio, como em $x = 0$.

Quando abordamos a linearização de um sistema não linear, a aproximação linear, em torno de $r_j = 0$, das dinâmicas zero de um sistema coincide com as dinâmicas zero da aproximação linear do sistema em $x = 0$. Em termos práticos, isso significa que os processos de realizar a linearização e calcular as dinâmicas zero podem ser realizados em qualquer ordem, sem afetar o resultado final. Este é um ponto crucial para simplificar cálculos e análises em sistemas mais complexos.

Para comprovar essa ideia, basta mostrar que a linearização das equações na forma normal de um sistema coincide com a forma normal da linearização do sistema original. Isso equivale a demonstrar que o grau relativo do sistema e o grau relativo de sua aproximação linear são idênticos. Considerando que o sistema possui um grau relativo $r$ em $x = 0$, as expansões de suas funções podem ser escritas de maneira formal, como por exemplo:

• $f_1(x) = A x + f_2(x)$

• $g(x) = B + g^x$

• $h(x) = Cx + h_2(x)$

Com essas expansões, é possível realizar um cálculo simples por indução para mostrar que o grau relativo da aproximação linear do sistema em $x = 0$ é, de fato, igual a $r$. Isso é essencial, pois garante que, ao realizar a linearização das equações na forma normal, obtemos um sistema linearizado em uma forma normal, o que facilita muito a análise.

Um exemplo prático disso pode ser visto ao calcular a dinâmica zero de um sistema não linear. Consideremos um sistema cuja dinâmica é dada por $x_1 = x_2$, $x_2 = x_3 - x_1$, e $y = x_1$. Aplicando a linearização e buscando a forma normal, obtemos uma transformação de coordenadas que simplifica as equações. Em coordenadas transformadas, o sistema pode ser expresso como:

• $z_1 = x_2$

• $z_2 = b(z_1, z_2, z_3) + a(z_1, z_2, z_3)u$

• $z_3 = z_1 - z_3$

Neste ponto, ao impor a condição de que $y(t) = 0$ para todos os tempos, conseguimos caracterizar a dinâmica zero do sistema. A evolução do estado ocorre em uma curva específica, governada pelas dinâmicas zero do sistema, que neste caso são $z_3 = -z_3$.

Em sistemas mais complexos, a análise das dinâmicas zero pode ser feita sem a necessidade de encontrar uma forma normal exata. Mesmo quando a transformação para a forma normal é difícil de ser obtida, é possível proceder com a análise a partir de outras representações das equações do sistema. Por exemplo, é possível trabalhar com equações da forma:

• $\dot{z_1} = z_2$

• $\dot{z_2} = f(z_1, z_2, z_3) + g(z_1, z_2, z_3)u$

• $\dot{z_3} = h(z_1, z_2, z_3)$

Aqui, a imposição de $y(t) = 0$ leva à mesma conclusão, revelando a dinâmica zero do sistema de uma maneira indireta, mas ainda assim eficiente.

Ao analisar as dinâmicas zero de sistemas não lineares, deve-se sempre lembrar que a definição do comportamento do sistema quando a saída é zero é uma ferramenta poderosa para entender a estabilidade e as características do sistema. Embora o método de linearização simplifique muitos cálculos, a análise direta das equações dinâmicas não lineares também pode revelar informações cruciais sobre o comportamento do sistema.

Além disso, a precisão da análise depende de uma boa compreensão das funções de transformação de coordenadas e das limitações da linearização em diferentes contextos. As dinâmicas zero fornecem uma visão profunda das interações internas do sistema e são fundamentais para o desenvolvimento de controladores e estratégias de feedback eficientes.

Como Projetar Observadores com Dinâmica Linear de Erro em Sistemas Não Lineares

No contexto de sistemas dinâmicos não lineares, um conceito fundamental para o controle e a estimação de estados é o uso de observadores. Estes são dispositivos matemáticos que permitem estimar o estado interno de um sistema a partir de medições externas. No caso de sistemas não lineares, a tarefa de projetar um observador adequado se torna desafiadora, pois a dinâmica do erro de observação pode ser complexa. Este capítulo trata do problema de linearização do erro de observação, visando uma abordagem para a síntese de observadores cuja dinâmica de erro seja linear, o que facilita o controle e a análise do sistema.

Em sistemas dinâmicos não lineares, um dos problemas principais é projetar um observador tal que o erro de observação, ou seja, a diferença entre o estado real e o estimado, tenha uma dinâmica simples e controlável. No caso de sistemas lineares, a dualidade entre o controle espectral e a observabilidade nos leva a um resultado interessante. Se, em sistemas lineares, a assignabilidade espectral via feedback estático é possível, em sistemas não lineares, a ideia dual seria a existência de observadores com valores próprios prescritos para a dinâmica de erro. A dinâmica do erro de observação de um sistema e a dinâmica do próprio observador são idênticas, uma vez que o erro é definido como a diferença entre o estado estimado e o verdadeiro.

Uma das abordagens é considerar a linearização da dinâmica de erro após uma transformação coordenada adequada. Supõe-se que existe uma transformação de coordenadas $z = \phi(x)$ sob a qual o campo vetorial $f$ e o mapeamento de saída $h$ tornam-se linearizados. Quando isso ocorre, a dinâmica de erro de observação no sistema transformado será governada por uma equação linear que pode ser associada a valores próprios definidos. Um observador do tipo $\dot{e} = (A + GC)e$, onde $e = \hat{x} - z$ representa o erro de estimativa, resulta em uma dinâmica linear que é, de fato, espectralmente assignável.

A problemática do problema de linearização do observador pode ser expressa como uma questão de existência de transformações de coordenadas que linearizem o erro de observação e possibilitem a alocação de seus polos, ou seja, o controle da taxa de convergência do erro. Se essa transformação existir, então será possível projetar um observador com a dinâmica de erro linearizada, permitindo um controle mais eficiente e previsível.

Considerando sistemas sem entrada e com saída escalar, ou seja, sistemas que podem ser modelados pelas equações:

onde $y \in \mathbb{R}$, a solução do problema de linearização do erro depende da existência de uma transformação $z = \phi(x)$ que leve o sistema a uma forma mais manejável. Quando tal transformação é encontrada, podemos projetar um observador com a estrutura $\dot{e} = (A + GC)e$, onde a dinâmica de erro torna-se linear e espectralmente assignável.

A resolução desse problema envolve condições de integrabilidade e a construção de campos vetoriais que garantem a existência de uma solução viável. O método geralmente utilizado é basear-se em condições geométricas sobre os campos vetoriais associados à dinâmica do sistema. Essas condições envolvem a verificação de que um determinado conjunto de vetores associados às derivadas de $h(x)$ em relação a $x$ seja de dimensão $n$, o que assegura a existência de uma transformação coordenada que permita a linearização do erro.

A importância dessa linearização vai além de uma simples técnica de estimativa de estado. Ao controlar a dinâmica do erro de observação, é possível garantir a estabilidade do sistema de maneira mais robusta e previsível. Em sistemas não lineares complexos, onde a estimação de estado é crucial para o controle, a existência de observadores com erros linearizados permite uma implementação prática de estratégias de controle e uma análise mais acessível do comportamento do sistema.

O conceito de linearização da dinâmica do erro, ou "Observer Linearization Problem", é resolúvel se e somente se algumas condições geométricas forem satisfeitas, como a condição de que o span dos vetores gerados pelas derivadas sucessivas de $h(x)$ tenha a dimensão correta e que uma transformação coordenada, definida por uma equação diferencial parcial, possa ser realizada. Essas condições, que são essencialmente uma aplicação do Teorema de Frobenius, asseguram que a solução desejada existe sob certas circunstâncias geométricas favoráveis.

Além disso, o processo de construção da transformação coordenada que lineariza o erro é crucial, pois garante a possibilidade de projetar observadores que atendam a requisitos de estabilidade e performance desejados. A abordagem geométrica oferece uma maneira de identificar as condições necessárias para a linearização e, assim, sintetizar observadores com a dinâmica de erro correta. Esse processo não só aumenta a compreensão da natureza do erro em sistemas não lineares, mas também proporciona uma base para a implementação de controladores mais eficazes.

É fundamental, portanto, compreender que a linearização do erro de observação não é apenas uma questão de transformação matemática, mas uma ferramenta para o controle e a análise de sistemas não lineares complexos. Ao permitir a definição de observadores com dinâmica de erro linear, possibilita-se um controle mais preciso e uma análise mais profunda do comportamento dos sistemas, o que é vital para o desenvolvimento de tecnologias e sistemas automatizados modernos.

Quando uma dinâmica zero garante a estabilizabilidade por realimentação estática?

A análise da dinâmica zero oferece uma das ferramentas mais elegantes e profundas para compreender a estrutura interna de um sistema dinâmico, especialmente no contexto da estabilização via realimentação de estados. Em sistemas lineares, a estabilizabilidade por meio de realimentação estática pode ser garantida sob certas condições, entre as quais se destaca a estabilidade assintótica da dinâmica zero do sistema.

Começamos com a observação de que, para sistemas lineares, a dinâmica zero pode ser associada ao núcleo da aplicação de saída, ou seja, ao conjunto de estados nos quais a saída do sistema é nula. Essa estrutura é formalmente descrita através de uma sequência de subespaços invariantes $M_k$, definidos recursivamente. Esses subespaços são construídos a partir da interseção entre o núcleo da aplicação de saída e a imagem da matriz de entrada somada ao subespaço anterior. A existência de uma iteração finita $k^*$ em que a sequência $M_k$ se estabiliza está diretamente ligada à estrutura geométrica do sistema.

Quando se analisa a matriz aumentada composta pelas submatrizes $A_{22}$ e outras componentes associadas ao par original $(A, B)$, a não singularidade de certas submatrizes implica, por condições clássicas de controlabilidade, que o par $(A_1, B_1)$ é controlável. Isso, por sua vez, permite inferir que o sistema completo, quando sujeito a uma realimentação de estados regular, preserva sua propriedade de estabilizabilidade. Em outras palavras, se as dinâmicas internas associadas ao zero são assintoticamente estáveis — ou seja, todos os autovalores de $A_{22}$ possuem parte real negativa — então o sistema é estabilizável por meio de uma realimentação estática.

Para sistemas não lineares, o algoritmo das dinâmicas zero fornece uma generalização poderosa. A construção começa com o conjunto $M_0$, onde a aplicação de saída $h(x)$ se anula. Assumindo que a diferencial $dh$ tem posto constante em uma vizinhança de um ponto de interesse $x^0$, o conjunto $M_0$ pode ser considerado uma variedade suave de dimensão $n - s_0$, onde $s_0$ é o posto de $dh$.

A iteração do algoritmo requer a análise da solvabilidade de uma equação do tipo $L_fH_0(x) + L_gh_0(x)u = 0$, onde $L_f$ e $L_g$ representam derivadas direcionais ao longo dos campos vetoriais do sistema. Se a matriz $L_gH_0(x)$ possui posto constante em $M_0$, o espaço das soluções para essa equação também tem dimensão constante, o que permite definir uma matriz $R_0(x)$ cujas linhas englobam esse espaço solução. A condição de solvabilidade é então expressa como $R_0(x)L_fH_0(x) = 0$, e essa nova restrição define o conjunto $M_1$, como interseção entre $M_0$ e o lugar geométrico onde a nova equação também se anula.

O processo é iterativo: em cada etapa, define-se um novo conjunto $M_k$ a partir de condições de anulamento de funções suaves $H_{k-1}(x)$ e $\Phi_{k-1}(x)$, as quais são construídas de modo que suas diferenciais mantenham posto constante. Quando essas funções são combinadas em um vetor-coluna e têm diferencial de posto constante próximo ao ponto de interesse, os conjuntos $M_k$ obtidos formam variedades suaves, permitindo a continuação do algoritmo.

O ponto crucial está em que, se em algum passo o conjunto $M_k$ se reduz a um ponto ou a uma variedade invariante estável — por exemplo, se a aplicação $\Phi_k(x)$ implica que todas as trajetórias convergem a um ponto de equilíbrio — então é possível concluir que o sistema tem uma dinâmica zero assintoticamente estável. Essa estabilidade interna é condição suficiente para a existência de uma realimentação estática que estabilize o sistema globalmente, desde que o sistema original permita tal realimentação sem violar as hipóteses de regularidade.

É importante compreender que essa abordagem geométrica, embora formal e abstrata, é prática: ela fornece não apenas condições teóricas de controlabilidade e estabilizabilidade, mas também um procedimento construtivo para testar a aplicabilidade dessas condições em sistemas não lineares reais. A suavidade dos campos vetoriais envolvidos, a constância dos postos das diferenciais e a viabilidade algébrica das equações em cada etapa são aspectos essenciais que o leitor deve sempre verificar antes de aplicar diretamente os resultados.

Além disso, é fundamental entender que a estabilizabilidade do sistema não é garantida apenas pela controlabilidade do par linear $(A, B)$, mas também pela estrutura interna das dinâmicas zero. Em muitos casos, mesmo que um sistema não seja completamente controlável, sua parte incontrolável pode ser internamente estável, permitindo estabilização parcial ou total por realimentação estática.