O controle de manipuladores com juntas elásticas exige um tratamento cuidadoso da modelagem dinâmica e da estrutura de controle. Ao contrário de manipuladores rígidos, onde os elos e motores compartilham diretamente os mesmos movimentos, em robôs com juntas elásticas existe uma dissociação entre o movimento do motor e o do elo devido à presença da elasticidade. Isso exige uma abordagem de controle mais sofisticada, como a linearização por realimentação.

Assumindo que o modelo dinâmico está disponível, a lei de controle com linearização exata pode ser expressa em termos dos estados convencionais (q,θ,q˙,θ˙)(q, \theta, \dot{q}, \dot{\theta}) ou, aproveitando sensores de torque articular, como (q,τJ,q˙,τ˙J)(q, \tau_J, \dot{q}, \dot{\tau}_J). A dinâmica pode ser reescrita como:

q¨=M−1(q)(τJ−n(q,q˙))\ddot{q} = M^{ -1}(q) (\tau_J - n(q, \dot{q}))

e, derivando no tempo:

q[3]=M−1(q)(τ˙J−M˙(q)q¨−n˙(q,q˙))q^{[3]} = M^{ -1}(q)(\dot{\tau}_J - \dot{M}(q)\ddot{q} - \dot{n}(q, \dot{q}))

permitindo formular a lei de controle como uma função estática dos estados e entradas auxiliares.

A partir da linearização obtida, o problema de seguimento de trajetória é resolvido definindo a entrada auxiliar vv como uma combinação dos erros e suas derivadas até a terceira ordem:

v=qd[4]+K3(qd[3]−q[3])+K2(q¨d−q¨)+K1(q˙d−q˙)+K0(qd−q)v = q^{[4]}_d + K_3(q^{[3]}_d - q^{[3]}) + K_2(\ddot{q}_d - \ddot{q}) + K_1(\dot{q}_d - \dot{q}) + K_0(q_d - q)

A condição essencial é que a trajetória desejada qd(t)q_d(t) seja ao menos quatro vezes continuamente diferenciável. As matrizes K0,K1,K2,K3K_0, K_1, K_2, K_3 devem ser escolhidas de modo que os polinômios característicos associados aos erros de trajetória sejam de Hurwitz, garantindo convergência exponencial global dos erros, ou seja, ei(t)→0e_i(t) \rightarrow 0 para todos os elos, independente do estado inicial.

A atribuição dos ganhos pode ser realizada pela técnica de alocação de pólos. Dado um conjunto de pólos com parte real negativa, a escolha dos ganhos que define a dinâmica fechada do erro é única, e permite especificar o comportamento transitório desejado. Entretanto, em casos onde existe uma grande diferença entre as inércias do motor e do elo, ou quando a rig

Como Representar Orientações no Espaço: Uma Abordagem com Ângulos de Euler e RPY

A orientação no espaço tridimensional pode ser representada de diversas maneiras, sendo que cada representação possui suas peculiaridades e áreas de aplicação. Um dos métodos mais conhecidos para parametrizar a orientação de um objeto rígido é através do grupo SO(3), que exige uma quantidade mínima de parâmetros para descrever todas as possíveis rotações no espaço tridimensional. Para o caso espacial, o grupo SO(3) necessita de três parâmetros, enquanto para o caso bidimensional (SO(2)), apenas um parâmetro é suficiente.

Entre as representações mais utilizadas, destacam-se os ângulos de Euler e os ângulos de Roll, Pitch e Yaw (RPY). Ambos os métodos são usados para descrever a orientação de um corpo no espaço, mas diferem na forma como as rotações são realizadas e na ordem em que as transformações acontecem.

Ângulos de Euler

Uma forma minimalista de representar a orientação de um objeto é por meio de um conjunto ordenado de três ângulos, representados compactamente em uma array: φ = (ϕ, ϑ, ψ). Estes ângulos podem ser obtidos a partir de três rotações elementares ao redor dos eixos coordenados. Cada rotação ocorre de maneira que não há rotações consecutivas em torno do mesmo eixo, o que restringe o número de combinações possíveis a apenas 12 sets distintos, entre as 27 combinações possíveis.

Os ângulos de Euler são definidos a partir de uma sequência de rotações, sendo que o eixo de rotação de cada uma depende das rotações anteriores, formando um sistema de eixos móveis. Uma das sequências clássicas de ângulos de Euler é a sequência ZYZ. Nessa sequência, a rotação é descrita como uma composição das seguintes rotações elementares:

  1. Uma rotação pelo ângulo ϕ ao redor do eixo z.

  2. Uma rotação pelo ângulo ϑ ao redor do eixo y′, onde o eixo y′ é o eixo resultante da primeira rotação.

  3. Uma rotação pelo ângulo ψ ao redor do eixo z′′, que é o eixo resultante da rotação anterior.

A composição dessas rotações é feita por meio da multiplicação das matrizes de rotação correspondentes, resultando na expressão para a matriz de rotação total:

Rzyz(ϕ)=Rz(ϕ)Ry′(ϑ)Rz′′(ψ)R_{zyz}(\phi) = R_z(\phi) R_{y'}(\vartheta) R_{z''}(\psi)

Esta matriz descreve a orientação final do corpo em termos dos ângulos ϕ, ϑ e ψ. A inversão do problema, ou seja, a determinação dos ângulos de Euler a partir de uma matriz de rotação dada, envolve uma série de cálculos envolvendo as componentes da matriz. A partir disso, podemos determinar duas possíveis soluções para os ângulos de Euler, levando em conta as relações trigonométricas entre as componentes da matriz de rotação.

Ângulos Roll, Pitch e Yaw (RPY)

Outra forma comum de representar a orientação é através dos ângulos Roll, Pitch e Yaw (RPY), que se originaram no campo aeronáutico. Nessa representação, as rotações são realizadas ao redor dos eixos do sistema de referência fixo. Ao contrário dos ângulos de Euler, que definem uma sequência de rotações ao redor de eixos móveis, a sequência RPY realiza cada rotação em torno de eixos fixos do sistema de referência original.

Na sequência de ângulos RPY, a rotação é descrita da seguinte forma:

  1. Primeiro, realiza-se uma rotação de ângulo ψ ao redor do eixo x da estrutura de referência (roll).

  2. Em seguida, realiza-se uma rotação de ângulo ϑ ao redor do eixo y (pitch).

  3. Por fim, realiza-se uma rotação de ângulo ϕ ao redor do eixo z (yaw).

Apesar de a sequência de RPY também ter 12 sets distintos de ângulos permitidos, é possível mostrar que ela pode ser convertida em uma sequência de ângulos de Euler correspondentes, usando eixos móveis. Isso ocorre porque, quando as rotações são realizadas ao redor de eixos fixos, a ordem das transformações precisa ser invertida para se associar à sequência de ângulos de Euler.

Por exemplo, a sequência XYZ de RPY pode ser associada à sequência ZYX de ângulos de Euler, e a composição das rotações é dada pela matriz:

Rzyx(ϕ)=Rz(ϕ)Ry′(ϑ)Rx′′(ψ)R_{zyx}(\phi) = R_z(\phi) R_{y'}(\vartheta) R_{x''}(\psi)

Essa conversão permite resolver o problema inverso de determinar os ângulos RPY a partir de uma matriz de rotação, com dois conjuntos de soluções possíveis dependendo do valor de ϑ.

Considerações Finais

Ambas as representações de orientação, tanto os ângulos de Euler quanto os ângulos RPY, têm suas vantagens e limitações. Uma característica importante a ser observada é que, quando ϑ atinge os valores 0 ou π, ocorre uma singularidade nas representações de Euler. Nesses casos, as rotações em torno de eixos consecutivos se alinham, o que impossibilita a distinção entre as contribuições individuais das rotações. Esse fenômeno é conhecido como "singularidade dos ângulos de Euler".

Além disso, em alguns casos, como nas representações RPY, a ordem das rotações é fundamental, e diferentes sequências podem gerar resultados diferentes, o que precisa ser levado em consideração ao escolher o modelo mais apropriado para uma aplicação específica.

É essencial que o leitor compreenda a relação entre os diferentes sistemas de coordenadas e a forma como cada representação lida com as rotações. A escolha do sistema de ângulos de Euler ou RPY dependerá da aplicação específica e dos requisitos de precisão e simplicidade para a tarefa em questão.

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