Como Transformar Sistemas Não Lineares em Sistemas Lineares Controláveis por Feedback de Estado e Transformação de Coordenadas

Para verificar se um sistema não linear pode ser transformado em um sistema linear e controlável por meio de feedback de estado e transformação de coordenadas, é necessário calcular as funções $\text{ad}f_g(x)$ e $\text{ac}P^g(x)$ e testar as condições do Teorema 4.2.3. Cálculos apropriados mostram que $\text{ad}f_g(x)$ resulta em uma matriz com as seguintes características, que permitem que a condição (i) do teorema seja satisfeita. A verificação adicional de que o produto [#, \text{ad}f_g](x) tem uma forma que garante que a condição (ii) também é atendida, confirma que, em torno de $x = 0$, o sistema pode ser transformado em um sistema linear e controlável. A função $X(x)$ que resolve a equação $\text{ad}f_g(x)) = 0$ é dada por $X(x) = x_1$. Este procedimento leva a um sistema com grau relativo 3, igual a $n$, no ponto $x = 0$.

Além disso, o feedback de estado $-L3fX(x) + v$ e a transformação de coordenadas $z_1 = A(x) = x_1$, $z_2 = LfX(x) = x_3(1 + x_2)$, e $z_3 = L^2A(x) = x_3x_1 + (1 + x_1)(1 + x_2)x_2$, permitem uma linearização exata do sistema. Este método pode ser utilizado para transformar sistemas não lineares cujo espaço de estados tem dimensão $n - 2$, em sistemas lineares, por meio de feedback de estado e mudança de coordenadas, a partir de um ponto $x°$, desde que a matriz $\text{ad}z_g(z°)$ tenha posto 2.

Porém, é importante observar que a condição (i) do Teorema 4.2.3 possui uma interpretação interessante: suponha que o campo vetorial $f(x)$ tenha um equilíbrio em $x° = 0$, ou seja, $f(0) = 0$, e considere para $f(x)$ uma expansão da forma $f(x) = Ax + f_2(x)$. De forma análoga, $g(x)$ pode ser expandido como $g(x) = B + g_t(x)$, com $B = g(0)$. Essas expansões caracterizam a aproximação linear do sistema em torno de $x = 0$, definida como $x = Ax + Bu$. A condição (i) do Teorema 4.2.3 (escrita em $x° = 0$) é equivalente à condição de que a aproximação linear do sistema em $x = 0$ seja controlável. Ou seja, a controlabilidade da aproximação linear do sistema em torno de $x = x°$ é uma condição necessária para a resolução do Problema de Linearização Exata do Espaço de Estados.

Outro ponto importante é que as condições (i) e (ii) do Teorema 4.2.3 implicam a involutividade da distribuição $D_k = \text{span}\{ p, \text{ad}f_g, \dots, \text{ad}k f_g \}$ para qualquer $1 \leq k \leq n - 3$. A involutividade de todas as distribuições $D_k$ é uma condição necessária para a solução do Problema de Linearização Exata do Espaço de Estados. Isso pode ser observado pelas igualdades que surgem ao se considerar as diferentesiais dos vetores $dX(x), dLfX(x), \dots, dL^k f_g(x)$, que mostram que $D^*$ é gerada por diferenciais exatos.

É ainda interessante notar que, se o Problema de Linearização Exata do Espaço de Estados for resolvido por meio de feedback e transformação de coordenadas $z = \Phi(x)$, a solução linearizada do sistema será definida em um conjunto aberto $\Phi(U)$ em torno de $x°$. Para garantir que essa transformação preserve a origem em coordenadas lineares, é necessário que a transformação $\Phi$ atenda a certas condições, como $\Phi(x°) = c g(x°)$, onde $c$ é um número real. Essas condições asseguram que os feedbacks de estado linearizados em torno de $x°$ se comportem conforme o esperado.

Em casos onde um sistema não linear possui grau relativo estritamente menor que $n$, pode ser possível resolver o Problema de Linearização Exata por meio de feedback de estado e transformação de coordenadas, partindo de uma função de saída diferente, tal que o novo sistema tenha grau relativo igual a $n$. No entanto, se o sistema original não puder ser ajustado para atender a essas condições, é possível obter uma linearização parcial, que, embora não totalmente linearizada, torna o sistema mais controlável. Nesse caso, ainda é possível aplicar a transformação de coordenadas e feedback para obter uma aproximação linear das equações do sistema.

Controle Não Interativo com Estabilidade: Condições Suficientes

O estudo do controle não interativo com estabilidade é central na análise de sistemas dinâmicos que exigem estabilidade e independência nas interações entre os subsistemas. A formulação matemática dos sistemas complexos, como exposto na equação (7.51) e suas variantes, oferece uma base sólida para a compreensão dos desafios e das soluções possíveis. No caso de sistemas com múltiplos subsistemas, a independência entre eles é crucial para garantir o comportamento esperado do sistema global após a aplicação de leis de controle adequadas.

Quando trabalhamos com uma equação como (7.52), onde temos subsistemas de diferentes dimensões, cada um representando um conjunto de variáveis de estado, é essencial mostrar que a independência das linhas da matriz associada ao sistema no ponto de equilíbrio é garantida. A análise mostra que, para o sistema descrito, é possível provar que as linhas da matriz $\Omega_3(0)$ são linearmente independentes, o que implica que o sistema pode ser controlado sem interferência entre os subsistemas. Este fato é fundamental para a aplicação de técnicas de controle, pois assegura que o comportamento de cada subsistema pode ser ajustado sem afetar diretamente os outros.

O desenvolvimento de um controle adequado envolve a escolha de leis de feedback de estado, como a descrita pela equação $u_1 = F_1x_1$, $u_2 = F_2x_2$, e $v' = F_3x_3$, para garantir que o sistema, após a aplicação do controle, mantenha sua estabilidade em uma primeira aproximação ao equilíbrio $x_e = 0$. O uso de matrizes de identidade e transformações difeomórficas, que mapeiam os vetores de estado para novas coordenadas, facilita a análise da estabilidade do sistema e a construção de uma solução de controle eficaz. A ideia principal aqui é que a restrição do sistema a um subespaço invariável deve ser estabilizável em uma primeira aproximação.

A estabilidade, portanto, não depende apenas da independência das distribuições no espaço de estados, mas também da capacidade de aplicar uma lei de feedback dinâmica que atenda às condições de controle não interativo com estabilidade. O exemplo fornecido no texto ilustra como, para um sistema dado, pode-se definir a estrutura de controle necessário, garantindo a independência entre os subsistemas e estabilizando o sistema completo. O cálculo das distribuições e a verificação de condições como $Z_{lmix} = 0$ são passos cruciais para validar que o controle não interativo é possível.

Outro aspecto importante a ser considerado é a maneira como as transformações locais nas coordenadas do sistema podem simplificar a aplicação de leis de controle e garantir que, mesmo em sistemas não lineares, seja possível alcançar um comportamento estável. O conceito de difeomorfismo entre o espaço de estados original e as novas coordenadas permite que as dinâmicas complexas sejam mapeadas de forma mais compreensível, o que é fundamental para a implementação prática do controle.

Além disso, o uso de feedback dinâmico, como mostrado na formulação de $F_1(x_e) + V_1$ e $F_2(x_e) + V_2$, proporciona uma maneira eficiente de ajustar as entradas do sistema para garantir a estabilidade em situações mais complexas. Embora a estabilidade em primeira aproximação seja a condição principal, é essencial que, em sistemas práticos, as leis de controle sejam adaptáveis e robustas, considerando as variações nas condições iniciais e as possíveis perturbações externas.

O caso exemplificado de controle dinâmico, onde o vetor de estado é ajustado através de transformações como $[adfg_1, adfg_2]$, destaca a aplicação de condições suficientes para alcançar a estabilidade desejada sem perder a independência entre os subsistemas. O processo de construção do controle baseado na estrutura da equação (7.58) e as condições impostas pelas distribuições $P^*$ e $R^*$ demonstra a flexibilidade e a aplicabilidade da teoria de controle não interativo em sistemas reais.

É importante notar que, embora a abordagem apresentada seja eficaz em uma primeira aproximação, ela depende de uma análise cuidadosa das condições de regularidade e das transformações geométricas associadas ao sistema. A implementação prática de leis de controle dinâmico envolve desafios relacionados à modelagem precisa das interações não lineares e à capacidade de calcular as distribuições e suas inter-relações de forma eficiente.