A definição de um "questionamento" em termos de medidas espectrais e operadores simétricos é uma das questões mais intrigantes da teoria de observáveis. Para entender completamente o conceito de uma medida espectral e sua conexão com as questões, é essencial analisar o papel da representação de um elemento b∈Ahb \in A_h e seu comportamento sob diferentes tipos de medições.

Dizemos que um conjunto BB é uma "questão sobre bb" se ele for uma medida de bb em M+(A,W)M_+(\mathcal{A}, \mathcal{W}), onde A\mathcal{A} é o conjunto de conjuntos de Borel e W\mathcal{W} representa o espaço de estados. A extensão de uma medida espectral é definida como o fecho linear da família de medidas {B(A):A∈Bor(R)}\{ B(A) : A \in Bor(\mathbb{R}) \}, sendo ext(B)\text{ext}(B) o fecho linear σ\sigma-fechado desse conjunto. Se BB representa b∈Ahb \in A_h, então podemos escrever ext(B)=ext(b)\text{ext}(B) = \text{ext}(b).

Uma das primeiras propriedades que surgem ao definir um ordenamento parcial em M+(A,W)M_+(\mathcal{A}, \mathcal{W}) é que dizemos que B≺CB \prec C se a extensão de BB está contida na extensão de CC, ou seja, ext(B)⊆ext(C)\text{ext}(B) \subseteq \text{ext}(C). Isso implica que BB contém menos informação do que CC. No contexto de espectros e questões, isso significa que a medição representada por BB fornece informações mais limitadas do que a medição representada por CC.

É importante destacar que, embora uma medida espectral BB de um operador auto-adjunto b∈Ahb \in A_h possa ser uma representação válida de bb, nem toda medida espectral é uma questão. Para muitos operadores auto-adjuntos, como o operador de posição unidimensional, a medida espectral BB provavelmente não representará uma "questão" no sentido de que os operadores associados a ela não preservarão W\mathcal{W}. Isso ocorre porque, para operadores auto-adjuntos, a função espectral é, em muitos casos, definida de maneira única, ao contrário das medidas λ\lambda-espectrais de bb, que não são necessariamente únicas.

A noção de "questão" é especialmente útil na introdução do conceito de observáveis instrumentais. Um observável b∈Ahb \in A_h é denominado "instrumental" se existir pelo menos uma questão B∈M+(A,W)B \in M_+(\mathcal{A}, \mathcal{W}) que o represente. Se um observável b∈Ahb \in A_h é um observável instrumental, ele pode ser medido de diferentes formas. Isso está em consonância com a intuição de que existem muitas maneiras de medir um mesmo observável bb.

Porém, um observável não precisa ser instrumental para ser fisicamente mensurável. Um observável bb é fisicamente mensurável se existe um observável instrumental cc tal que c≺bc \prec b. Nesse caso, a medição de cc fornece uma aproximação parcial da medição de bb. Se bb não for mensurável fisicamente, isso implica que não há nenhuma medição possível que forneça qualquer informação sobre bb.

A caracterização formal dos observáveis instrumentais e sua relação com as questões traz à tona uma questão fundamental: todos os observáveis em AhA_h são instrumentais, ou existem observáveis que são irremediavelmente não mensuráveis? Embora ainda não tenha sido completamente resolvido, um critério suficiente para um observável ser instrumental está disponível, o que nos permite afirmar que observáveis como posição, momento e energia são, de fato, observáveis instrumentais. Isso nos permite concluir que os observáveis instrumentais formam um subconjunto denso de AhA_h.

Em termos operacionais, o conceito de "instrumento" é definido como um mapeamento T:Bor(R)→L+(A)T : Bor(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{L}^+(\mathcal{A}), que está associado a uma operação Z:Bor(R)→L+(A)Z : Bor(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{L}^+(\mathcal{A}) satisfazendo certas condições de positividade e continuidade. Um instrumento TT é interpretado como uma maneira de medir um observável, sendo que a medida TT é o pré-transposto da operação associada ZZ.

A conexão entre instrumentos e questões é fundamental para a interpretação física da teoria espectral. Um instrumento, por definição, gera uma questão, e o resultado dessa questão é o observável que o instrumento está testando. A recíproca também é válida: dada uma questão, existem muitos instrumentos possíveis que podem medir essa questão, cada um associado a uma medida espectral particular.

Em resumo, a teoria espectral dos observáveis e suas questões permite uma análise detalhada das formas de medição possíveis de um dado sistema físico. Cada observável pode ser medido de maneiras diferentes, e a possibilidade de representar um observável por uma "questão" amplia a compreensão sobre como os sistemas podem ser observados, testados e medidos de forma geral, fornecendo novas perspectivas sobre a medição na física teórica.

Como as normas e operadores definem a estrutura dos espaços de Hilbert contáveis e sua relação com as Representações de s-classes

Consideremos a subfamília das normas de índices pares, denotada por ∥⋅∥2r\| \cdot \|_{2r} para r>0r > 0. Para essa subfamília, cada norma é dominada por uma norma dentro dela, e reciprocamente, garantindo um controle preciso sobre a relação entre as normas do espaço. A demonstração dessa propriedade se baseia na comparação direta das normas de índices pares e ímpares, com apoio na equação (2.25), que evidencia a desigualdade necessária.

A principal contribuição da análise é o teorema estrutural que mostra que o espaço em questão é um espaço de Hilbert contável determinado pelo operador número MM. Em particular, a equação (2.28) revela uma estrutura simplificada, fundamentada na álgebra de comutação canônica (ccr), crucial para a compreensão das propriedades topológicas e algébricas do espaço.

Definimos Hr\mathcal{H}_r como o completamento do espaço ss na norma ∥⋅∥2r\| \cdot \|_{2r}. Cada Hr\mathcal{H}_r é um espaço de Hilbert, e a família {Hr}r>0\{\mathcal{H}_r\}_{r>0} forma um sistema dirigido de espaços, cuja interseção produz o espaço ss com a topologia de Fréchet, caracterizando-o como um espaço de Hilbert contável no sentido de Gel’fand e Vilenkin.

No âmbito das álgebras de operadores, consideramos o *-álgebra P(x1,…,xn)P(x_1, \ldots, x_n) de todos os polinômios em indeterminadas hermitianas livres, cuja representação formal pela substituição por operadores A1,…,AnA_1, \ldots, A_n sobre um espaço de Hilbert H\mathcal{H} define o conjunto P(A1,…,An)P(A_1, \ldots, A_n). O domínio comum C∞(A1,…,An)C^\infty(A_1, \ldots, A_n), onde todos os polinômios atuam, é o espaço dos vetores suaves, que possui propriedades de estabilidade sob a ação desses operadores, ainda que possa ser trivial.

No caso particular em que o operador é o número MM, obtemos um núcleo nuclear na aplicação canônica de ss em Hr\mathcal{H}_r, mostrando que ss é um espaço nuclear de Fréchet. Essa nuclearidade assegura que as propriedades topológicas e funcionais desejadas são satisfeitas, incluindo a reflexividade e completude do espaço, garantidas também por construções clássicas da teoria dos espaços topológicos vetoriais.

A caracterização dos subconjuntos limitados em ss segue de forma explícita a partir das propriedades dos operadores envolvidos e das normas ∥⋅∥r\| \cdot \|_r. Um subconjunto é limitado se e somente se existe uma constante positiva que uniformiza o controle das normas em todos os níveis da família. A família total de subconjuntos limitados é descrita por sequências positivas ordenadas, cuja construção exige a escolha de uma bijeção que impõe uma ordem nos multi-índices, uma técnica que se torna ainda mais relevante na análise de sistemas compostos.

Essa ordenação é essencial para estabelecer uma estrutura simples e explícita para os subconjuntos limitados, facilitando a análise funcional e a manipulação algébrica dos elementos do espaço ss. A simplicidade dessa estrutura contrasta com a complexidade potencial dos sistemas compostos, onde a ordenação dos índices múltiplos se torna um problema recorrente e delicado.

A conclusão deste estudo reforça a unicidade das representações da classe ss da álgebra das relações canônicas de comutação (ccr). As representações construídas nos espaços ss e seus completamentos correspondem a extensões naturais da representação original, sendo a menor e a maior representações, respectivamente, em um sentido técnico rigoroso. Esta unicidade é fundamental para a teoria das representações dos operadores quânticos e para o entendimento profundo das propriedades dos espaços de Hilbert contáveis associados.

É importante ressaltar que, para a compreensão completa do conteúdo, o leitor deve estar familiarizado com os conceitos avançados da teoria dos espaços topológicos vetoriais, como espaços nucleares de Fréchet, reflexividade, completude, e a teoria das álgebras de operadores, especialmente no contexto da álgebra de polinômios em operadores não necessariamente comutativos. Além disso, a noção de núcleo nuclear e a teoria das representações das ccrs são essenciais para captar a profundidade das construções apresentadas.

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