A estática, frequentemente ensinada como um pré-requisito para o estudo dos sólidos deformáveis, fornece a base necessária para o entendimento das transformações de um corpo sob cargas. Para os leitores com um histórico em estática, este capítulo serve como uma revisão e uma oportunidade de familiarização com a notação utilizada ao longo do livro. A partir do Capítulo 3, apresentamos o problema da barra axial, que serve como uma introdução completa às ideias básicas dos sólidos deformáveis, utilizando o quadro matemático mais simples possível. Aqui, introduzimos o conceito de deformação, mostrando como ele se relaciona com o deslocamento. Discutimos o conceito de tensão, os resultantes das tensões e suas fórmulas, derivando relações entre as cargas aplicadas e o deslocamento, que formam a base dos métodos de solução que serão aplicados durante todo o livro, especialmente no estudo da flexão e torção de vigas.

Este capítulo serve como uma introdução para os capítulos seguintes, nos quais abordamos os estados multiaxiais de tensão e deformação e sua relação através dos modelos constitutivos. O Capítulo 4 define a deformação como uma medida relativa de deformação, explicando por que faz sentido representá-la como um tensor e explorando suas implicações. Para manter a matemática o mais simples possível, o conceito é abordado no contexto de uma deformação homogênea, tratando o caso geral no final do capítulo. O Capítulo 5 apresenta a tensão como uma outra quantidade tensorial e demonstra como a análise da tensão em um ponto é análoga à análise da deformação. A fórmula de Cauchy é introduzida como chave para relacionar o estado interno de tensão com as cargas aplicadas e para construir diagramas de corpo livre de sólidos tridimensionais.

Neste ponto, abordamos todos os resultados clássicos relacionados à análise de deformação e tensão, como os valores principais, direções principais, tensão cisalhante máxima e o círculo de Mohr. O Capítulo 6 apresenta a Lei de Hooke como um modelo constitutivo que relaciona a tensão e a deformação. A partir do Capítulo 7, o foco se volta para a teoria das vigas de Bernoulli-Euler planares, começando com a hipótese cinemática fundamental de que seções transversais planas permanecem planas após a deformação e terminando com uma teoria completa da flexão planar de vigas.

Nos Capítulos 8 e 9, as equações de vigas são linearizadas e estendidas para abrir caminho para o desenvolvimento de soluções clássicas para problemas práticos, com exemplos ilustrativos. Ao derivar a teoria das vigas, fica evidente que as propriedades geométricas da seção transversal de uma viga são elementos chave da teoria. Quantidades como área, centróide, e os primeiros e segundos momentos de área surgem em praticamente todas as equações que governam essas teorias. O Capítulo 9 dedica-se a este tópico, começando com métodos baseados nas definições dessas propriedades, passando para métodos práticos de cálculo para seções compostas por formas simples e culminando com uma abordagem computacional para resolver o problema geral de cálculo das propriedades para qualquer seção transversal.

A inovação apresentada neste capítulo mostra tanto o poder do cálculo quanto a importância da codificação. O código desenvolvido pode ser utilizado como uma ferramenta para explorar como a forma da seção transversal pode ser usada para atingir objetivos como resistir eficientemente a cargas que causam flexão ou torção. O Capítulo 10 leva as ideias introduzidas no Capítulo 8 mais adiante, permitindo escrever um código para realizar automaticamente os cálculos das vigas. Ao repensar os métodos de solução para as vigas a partir dos primeiros princípios e permitir que alguns cálculos sejam feitos numericamente, novas perspectivas surgem sobre o cálculo de diagramas de cisalhamento e momento, bem como o cálculo das deflexões sob diferentes tipos de carga e condições de apoio. O produto final deste capítulo é um código que pode ser utilizado para a exploração de problemas com vigas, sendo expandido para o caso de vigas multispan, dando uma introdução aos conceitos básicos da análise estrutural.

A ideia de que a engenharia não é feita apenas em envelopes de papel ou ilhas desertas ganha relevância no Capítulo 11, que aborda a torção das barras. A primeira parte do capítulo se dedica às barras com seções transversais circulares, proporcionando um contraponto ao problema da barra axial, já que há muitas semelhanças entre os dois problemas. Uma hipótese cinemática leva a equações que governam a relação entre o torque e a torção, além de fornecer uma fórmula para o cálculo das tensões internas. A torção das barras não circulares é um tópico de grande importância, pois a hipótese cinemática utilizada para barras circulares não se aplica bem às seções transversais finas, abertas e fechadas. O capítulo se encerra com uma breve introdução aos métodos adequados para essas situações.

No Capítulo 12, introduz-se o conceito de resistência e estabilidade dos corpos sólidos. O foco principal do livro está na resposta linear elástica dos sólidos sob carga aplicada. Através de uma série de exemplos, o capítulo ilustra o que está em jogo quando a suposição de elasticidade falha, como acontece com todos os materiais reais, e como a capacidade de um sistema pode ser limitada pela instabilidade de equilíbrio, mesmo que a resposta do material seja elástica.

Através da exploração de métodos numéricos, solução de equações algébricas não lineares, quadratura numérica e problemas de autovalores, o livro integra diversos conceitos longitudinais, sendo que o Apêndice A reúne os tópicos necessários para entender como essas ferramentas funcionam e são aplicadas. A principal motivação por trás deste livro surgiu de uma reflexão sobre como o mundo mudou desde os tempos de Newton, Cauchy, Euler e Timoshenko, enquanto as ideias fundamentais da mecânica permanecem, a forma de expressá-las e utilizá-las evoluiu. A Engenharia moderna exige muito mais do que fórmulas e métodos simplificados para cálculos rápidos. Com um investimento modesto em matemática, surgem inúmeras maneiras produtivas de pensar sobre a mecânica, muitas vezes de forma mais simples do que alguns dos métodos tradicionais.

Como Resolver Problemas de Torção em Barras com Seções Transversais Circulares

A torção é um fenômeno que ocorre quando um objeto é submetido a um momento de torção, causando uma deformação angular ao longo de sua extensão. Este tipo de problema é comum em vigas e barras circulares, onde os esforços internos devido à torção precisam ser analisados para garantir a integridade estrutural.

Em um problema típico de torção, considera-se a ação de um momento de torção sobre uma seção transversal de uma barra. O momento de torção resulta da interação entre forças aplicadas e a distância do ponto de aplicação dessas forças até o eixo da barra. No caso de uma barra com seção transversal circular, a torção gera tensões internas, chamadas de tensões de cisalhamento, distribuídas ao longo da seção.

Quando se analisa a barra sob torção, é importante compreender a relação entre os momentos de torção e as forças internas que eles geram. A equação de equilíbrio para uma barra submetida a torção é derivada a partir de uma análise de um pequeno segmento da barra. A aplicação de torques em diferentes pontos ao longo da barra resulta em uma variação do torque interno, que deve ser equacionada para garantir o equilíbrio da barra.

Para um segmento infinitesimal da barra, é possível formular uma equação diferencial que descreve o comportamento do torque interno ao longo da extensão da barra. A equação básica de equilíbrio de torção é dada por:

dT(x)dx+t(x)=0\frac{dT(x)}{dx} + t(x) = 0

onde T(x)T(x) representa o torque interno em um ponto xx ao longo da barra, e t(x)t(x) é o torque aplicado distribuído. A solução dessa equação fornece a distribuição do torque ao longo da barra e é essencial para determinar as tensões internas que ela sofre.

A direção do vetor de torque é importante na análise, e pode ser representada de duas formas: com uma seta dupla que indica a direção do vetor, ou com uma seta circular que simboliza o movimento de rotação gerado pela torção. Em ambos os casos, o torque é um vetor, o que significa que ele possui magnitude e direção, e deve ser tratado com a mesma rigorosidade que outros vetores, como as forças aplicadas.

Além disso, ao trabalhar com torção, um aspecto fundamental é a convenção de sinais. O torque é considerado positivo quando o vetor de torque está apontando na direção do eixo da barra, e negativo quando está na direção oposta. Isso garante consistência na aplicação dos princípios de equilíbrio para qualquer corte realizado na barra.

Para ilustrar a aplicação desse conceito, considere o exemplo de uma barra sujeita a um torque externo uniforme e constante. A partir da equação de equilíbrio, é possível calcular o torque interno em qualquer ponto xx da barra. Como exemplo, ao integrar a equação de equilíbrio para uma barra de comprimento LL sujeita a um torque constante t(x)=t0t(x) = t_0, chega-se à seguinte expressão para o torque interno:

T(x)=t0L−t0xT(x) = t_0 L - t_0 x

O torque interno no extremo livre da barra será zero, o que é consistente com a condição de que não há força de reação naquele ponto. A solução do problema de torção permite calcular as tensões internas e, assim, determinar a resistência da barra à torção.

Esses problemas de torção, embora pareçam simples à primeira vista, podem ser complexos, especialmente quando a barra está sujeita a cargas variáveis ao longo de seu comprimento ou quando há combinações de torção e flexão. É essencial que o engenheiro compreenda completamente o comportamento das tensões de cisalhamento e as variações do torque interno ao longo da barra, pois falhas nesse entendimento podem levar a erros de projeto e falhas estruturais.

Além disso, deve-se ter em mente que a torção afeta não apenas a magnitude das tensões internas, mas também a distribuição dessas tensões ao longo da seção transversal. Em barras com seção circular, a distribuição das tensões de cisalhamento é mais uniforme, mas em outros tipos de seções, como as retangulares, essa distribuição pode ser mais complexa.

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