Uma especificação genérica é uma definição composta por uma "especificação de parâmetro", que pode ser instanciada por uma "especificação de argumento", além de uma "especificação de importação", que descreve uma especificação fixa da qual tanto o parâmetro quanto o argumento herdam. A forma mais simples dessa definição pode ser representada como spec 𝐼 ≔ SE3, onde o parâmetro e a especificação de importação são ambos vazios, ou seja, spec 𝐼 [_] import _ ≔ SE3.

No contexto de semântica estática, o processo inicializa com a verificação de que 𝐼 não foi definido previamente no ambiente atual (se). Em seguida, propaga a assinatura vazia Σ₀ para se tornar a "assinatura de importação" Σᵢ = Σ₀ e a "assinatura de parâmetro" Σₚ = Σᵢ = Σ₀. O corpo da especificação SE₃ é então avaliado para estender Σₚ até se tornar a "assinatura de exportação" Σₑ. Considerando que Σₚ = Σ₀, ou seja, Σₚ está vazio, o corpo da especificação SE₃ precisa ser totalmente autossuficiente. Por fim, o ambiente de tipo atual se é estendido para o novo ambiente se′, que vincula o nome de tipo 𝐼 a um triplo 𝔖, cuja única componente não vazia é 𝔖.e = Σₑ.

A semântica do modelo segue um processo similar, iniciando com o tipo de dados vazio M₀, cujo único elemento é a "álgebra vazia" Σ₀. Esse tipo de dados é propagado para o "tipo de importação" MI = M₀ de Σᵢ-álgebras e o "tipo de parâmetro" MP = MI = M₀ de Σₚ-álgebras. Esse tipo de parâmetro vazio MP = M₀ é então estendido por SE₃ até o "tipo de exportação" ME de Σₑ-álgebras. Finalmente, o ambiente de tipo atual me é estendido com um mapeamento do nome de tipo 𝐼 para ME, representando o "significado" real da especificação.

Agora, considere uma definição do tipo spec 𝐼 [SE₁] import _ ≔ SE₃, que inclui uma expressão de parâmetro não trivial SE₁. Um exemplo simples dessa definição é spec LIST[sort Elem] ≔ free type List ≔ empty | cons(Elem,List), onde o parâmetro especifica de forma vaga uma ordem Elem, enquanto o corpo especifica livremente uma ordem List de valores Elem com os construtores usuais. Nesse tipo de especificação, a assinatura do parâmetro Σₚ contém os tipos/operadores declarados em SE₁, que são estendidos pelo corpo da especificação até a assinatura de exportação Σₑ, que inclui tanto os elementos de SE₁ quanto os de SE₃, ou seja, Elem, List, empty e cons.

Essa extensão da assinatura de parâmetro e exportação é idêntica à definição spec LIST ≔ sort Elem then free type List ≔ empty | cons(Elem,List). Contudo, a diferença de aplicação entre as duas definições será observada mais adiante, quando a semântica de aplicação de especificações nomeadas for abordada. Nesse caso, o ambiente de assinatura se′ vincula o nome de tipo 𝐼 a um triplo 𝔖 que registra a assinatura de parâmetro em 𝔖.p = Σₚ.

Uma definição geral da forma spec 𝐼 [SE₁] import SE₂ ≔ SE₃ inclui também uma expressão de importação não trivial SE₂. Um exemplo dessa definição é spec LIST[sort Elem, fun nat:Elem→Nat] import free type Nat ≔ 0 | +1(Nat) then { fun add:Nat×Nat→Nat axiom ∀n1:Nat,n2:Nat. add(0,n2)=n2 ∧ add(+1(n1),n2)=+1(add(n1,n2)) } ≔ free { type List ≔ empty | cons(Elem,List) fun sum:List→Nat axiom sum(empty)=0 axiom ∀e:Elem,l:List. sum(cons(e,l))=add(nat(e),sum(l)) }, onde a cláusula de importação especifica livremente uma ordem Nat com os construtores 0 e +1, e é estendida por uma operação add. Essa ordem é utilizada tanto pelo parâmetro (que, além da ordem Elem, especifica uma função nat de Elem para Nat) quanto pelo corpo da especificação (que introduz a função sum de List para Nat, axiomatizada com a ajuda de add e nat).

Aqui, a semântica estática estende a assinatura de importação Σᵢ com o parâmetro SE₁ para a assinatura de parâmetro Σₚ e, em seguida, estende essa assinatura pela especificação de corpo SE₃ até a assinatura de exportação Σₑ. Nesse caso, a assinatura inclui também Nat, 0, +1 e add. De maneira correspondente, a semântica do modelo expande gradualmente o tipo de importação MI para o tipo de parâmetro MP e o tipo de exportação ME. O ambiente de assinatura se′ agora vincula o nome de tipo 𝐼 ao triplo 𝔖, que registra a assinatura de importação em 𝔖.i = Σᵢ.

Em relação à instância de especificações, uma instância de especificação 𝐼 [SE fit RI] substitui o parâmetro formal da especificação pelo argumento real SE, de acordo com o mapeamento dos tipos e operações do parâmetro para os do argumento, indicado pelo renomeamento RI. Por exemplo, a aplicação LIST[free type Nat ≔ 0 | +1(Nat) fit Elem↦→Nat] tem o mesmo significado da especificação free type Nat ≔ 0 | +1(Nat) then free type List ≔ empty | cons(Nat,List). De forma geral, cada instância de especificação resulta em tipos e operações diferentes; se forem usadas no mesmo contexto, será necessário renomear os tipos (para evitar identificação indevida) e as constantes (para evitar declarações conflitantes).

Além disso, devido ao uso de sobrecarga, funções e predicados geralmente não precisam ser renomeados, desde que suas aridades sejam diferentes. Por exemplo, a especificação LIST[free type Nat ≔ 0 | +1(Nat) fit Elem↦→Nat] com List↦→NatList, empty↦→natEmpty e LIST[free type Bool ≔ True | False fit Elem↦→Bool] com List↦→BoolList, empty↦→boolEmpty possui o mesmo significado que as definições free type Nat ≔ 0 | +1(Nat) then free type NatList ≔ natEmpty | cons(Nat,NatList) e free type Bool ≔ True | False then free type BoolList ≔ boolEmpty | cons(Bool,BoolList).

Importante compreender que a cláusula de importação tem um papel distinto da cláusula de parâmetro. Ela garante uma interpretação compartilhada entre diferentes aplicações de uma especificação, como no exemplo em que a especificação LIST é aplicada tanto para Nat quanto para Bool e Symbol, mantendo a consistência nos tipos e operações envolvidos, especialmente na interpretação de Nat e suas operações.

Como demonstrar a equivalência entre semânticas operacional e denotacional em linguagens de programação?

A demonstração da equivalência entre a semântica operacional e a semântica denotacional, aplicada a expressões e programas, fundamenta-se na análise detalhada dos estados e transições que um programa ou comando pode realizar. Considere uma expressão arbitrária 𝐸, um estado 𝑠 e um número natural 𝑁, partindo do pressuposto que a transição operacional de 𝐸 em 𝑠 para 𝑁 ocorre em 𝑛 passos: ⟨𝐸, 𝑠⟩ →𝑛 ⟨𝑁, 𝑠⟩. A partir daí, prova-se que essa transição implica uma transição no estilo big-step: ⟨𝐸, 𝑠⟩ ↠ 𝑁, utilizando um raciocínio por casos conforme a forma estrutural da expressão.

No caso base em que 𝐸 é um número natural 𝑁1, a transição ocorre em zero passos e 𝑁1 = 𝑁, refletindo a trivialidade do valor. Quando 𝐸 é uma variável 𝑉, a transição operacional implica a leitura do valor associado no estado, fazendo 𝑁 ser o valor de 𝑉 em 𝑠. Para expressões compostas, como soma (𝐸1 + 𝐸2), a demonstração usa indução estrutural e mostra que o processo de avaliação pode ser decomposto em subtransições para 𝐸1 e 𝐸2, cujos resultados são então combinados. O mesmo raciocínio é análogo para outras operações binárias, como multiplicação.

A semântica operacional big-step para programas expande essa abordagem para comandos e blocos de código. A notação ⟨𝑃, vs⟩ ↠ vs′ representa a execução do programa 𝑃 com parâmetros iniciais vs, produzindo valores finais vs′. As regras de inferência refletem a estrutura dos comandos: atribuições, declarações de variáveis, sequências, condicionais e laços. A árvore de inferência de um programa específico exemplifica como o estado do programa é modificado em cada passo, atualizando valores de variáveis e avaliando condições, até se alcançar o estado final.

Um ponto crucial reside na correspondência entre a semântica denotacional, que associa a cada programa uma função matemática dos estados iniciais aos finais, e a semântica operacional, que modela passo a passo as transformações do estado. A proposição fundamental estabelece que para todo programa 𝑃 e estados vs, vs′, a aplicação denotacional de 𝑃 a vs produz vs′ se, e somente se, existe uma transição big-step operacional de ⟨𝑃, vs⟩ para vs′. A prova dessa equivalência também segue indução estrutural, estendendo-se a todos os comandos do programa.

A demonstração formal detalha casos específicos: para atribuições, é verificado que o valor atribuído no estado é exatamente aquele determinado pela expressão; para declarações locais, que os estados transitam corretamente preservando o escopo; para sequências, que as execuções são composicionalmente encadeadas; para condicionais, que a escolha do ramo depende da avaliação da condição; e para laços, que a repetição da execução obedece ao número exato de iterações necessárias, respeitando o critério de parada. Isso se relaciona diretamente à definição matemática do laço em termos de estados e iterações, garantida pela indução no número de passos.

Além disso, compreender essa equivalência é fundamental para a análise e verificação de programas. A semântica operacional fornece um modelo intuitivo e próximo à execução real, útil para implementações e simulações, enquanto a semântica denotacional oferece uma base matemática sólida para raciocínios formais, demonstrações de propriedades e desenvolvimento de ferramentas de análise estática. O reconhecimento da equivalência assegura que ambas as abordagens são consistentes e que resultados obtidos em um paradigma são válidos no outro.

Para além do conteúdo formal, é importante notar que o método da indução estrutural, empregado exaustivamente na demonstração, é uma técnica central em ciência da computação, permitindo tratar propriedades de construções recursivas de forma rigorosa. Ademais, a clareza na definição dos estados, suas atualizações e a interpretação das expressões é imprescindível para evitar ambiguidades na modelagem do comportamento computacional.

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