Como Compreender a Interação Entre o Controle e o Estado de Sistemas Dinâmicos

A análise prévia revelou que, em coordenadas adequadas, um conjunto de componentes do estado (a saber, os últimos n — r + 1) não foi afetado pela entrada. Observamos agora que, de fato, todas essas coordenadas, exceto (no máximo) uma, permanecem constantes ao longo do tempo. Se $U^\circ$ for particionado em fatias de dimensão $r$ da forma $S_x = \{ x \in U^\circ : t_{r+1}(x) = t_{r+1}(\xi), ..., t_n(x) = t_n(\xi) \}$ , então qualquer trajetória $x(t)$ do sistema evoluindo em $U^\circ$ realmente se desenvolve na fatia que passa pelo ponto inicial $x^\circ$ . Essa fatia, por sua vez, está particionada em fatias de dimensão $r-1$ , cada uma correspondendo a um valor fixo da função da $r$ -ésima coordenada, que inclui o conjunto de pontos alcançados em um tempo específico $T$ (ver Figura 1.9).

Agora, uma mudança adicional nas coordenadas locais permite entender melhor o papel do tempo no comportamento do sistema de controle descrito pela equação (1.40). Podemos supor, sem perda de generalidade, que o ponto inicial $x^\circ$ seja tal que $f(x^\circ) = 0$ . Portanto, temos $z_i(t) = 0$ para todos $i = r + 1, ..., n$ , e $z_r = f_r(z_r, 0, ..., 0)$ . Além disso, se assumirmos que $f$ é não nulo, então a função $f_r$ não será zero em nenhuma parte do vizinho $U$ . Agora, seja $z_r(t)$ a solução dessa equação diferencial, que passa por $0$ no tempo $t = 0$ . Claramente, o mapeamento $\zeta: I \rightarrow z_r(t)$ é um difeomorfismo de um intervalo aberto $(-\epsilon, \epsilon)$ do eixo do tempo para o intervalo aberto do eixo $z_r$ $(z_r(-\epsilon), z_r(\epsilon))$ . Se seu inverso $\zeta^{ -1}$ for usado como uma transformação de coordenadas locais no eixo $z_r$ , facilmente vemos que, como $t = z_r$ , o tempo $t$ pode ser tomado como a nova $r$ -ésima coordenada. Dessa forma, os pontos na fatia $S_{x^\circ}$ que passa pelo estado inicial são parametrizados por $(z_1, ..., z_{r-1}, t)$ . Em particular, os pontos alcançados no tempo $T$ pertencem à fatia de dimensão $r-1$ $S_{x^\circ}' = \{ x \in U^\circ : z_{r+1}(x) = 0, ..., z_n(x) = 0 \}$ .

Se $f$ for um campo vetorial de $P$ , então a representação local (1.40) é tal que $f_r$ desaparece em $U^\circ$ . Portanto, a partir de um ponto $x^\circ$ tal que $z(x^\circ) = 0$ , teremos $z_i(t) = 0$ para todos $i = r, ..., n$ .

Por definição, a distribuição $R$ é a menor distribuição que contém $f, g_1, ..., g_m$ e é invariável sob $f, g_1, ..., g_m$ . Assim, podemos afirmar que na decomposição associada (1.40), a dimensão $r$ é "mínima", no sentido de que não é possível encontrar outro conjunto de coordenadas locais $z_1, ..., z_s, ..., z_n$ com $s$ estritamente menor que $r$ , com a propriedade de que as últimas $n - s$ coordenadas permanecem constantes ao longo do tempo. A partir da interação entre a entrada e o estado, a decomposição (1.40) tem propriedades ainda mais fortes. Na verdade, vamos provar que os estados alcançáveis a partir do estado inicial $x^\circ$ preenchem pelo menos um subconjunto aberto da fatia de $r$ dimensões em que estão contidos.

Teorema 1.8.9. Suponha que a distribuição $R$ (isto é, a menor distribuição invariável sob $f, g_1, ..., g_m$ que contém $g_m$ ) seja não singular. Seja $r$ a dimensão de $R$ . Então, para cada $x^\circ \in U$ , é possível encontrar um vizinho $U^\circ$ de $x^\circ$ e uma transformação de coordenadas $z = \zeta(x)$ definida em $U^\circ$ , com as seguintes propriedades:

(a) O conjunto $Z(x^\circ)$ de estados alcançáveis a partir de $x^\circ$ ao longo de trajetórias inteiramente contidas em $U^\circ$ e sob a ação de funções de entrada piecewise constantes é um subconjunto da fatia $S_{x^\circ} = \{ x \in U^\circ : z_{r+1}(x) = z_{r+1}(x^\circ), ..., z_n(x) = z_n(x^\circ) \}$ .

(b) O conjunto $Z(x^\circ)$ contém um subconjunto aberto de $S_{x^\circ}$ .

A prova da afirmação (a) segue a partir da discussão anterior. Agora, vamos diretamente à prova de (b), assumindo ao longo da prova operar sobre o vizinho $U^\circ$ no qual a transformação de coordenadas $\zeta(x)$ é definida. Para conveniência, dividimos a prova em várias etapas.

(1) Seja $\{ \xi_1, ..., \xi_k \}$ um conjunto de campos vetoriais, com $k < r$ , e $\{ \phi_1, ..., \phi_k \}$ seus respectivos fluxos. Consideramos o mapeamento $F: (-\epsilon, \epsilon)^k \rightarrow U^\circ$ , onde $x^\circ$ é um ponto de $U^\circ$ e supomos que seu diferencial tenha posto $k$ em algum ponto $(\xi_1, ..., \xi_k)$ , com $0 < \xi_i < \epsilon$ para $1 \leq i \leq k$ (mostraremos mais tarde que isso é verdade). Para $\epsilon$ suficientemente pequeno, o mapeamento $F: (\xi_1, \epsilon) \times ... \times (\xi_k, \epsilon) \rightarrow U^\circ$ é uma subvariedade embutida de $S_{x^\circ}$ .

(2) Suponha que os campos vetoriais $f, g_1, ..., g_m$ sejam tais que $f(x) \in T_XM$ para todos $x \in M$ . Mostraremos que isso contradiz a suposição $k < r$ .

A interação entre os campos vetoriais e o sistema de controle sublinha a importância de entender como pequenas mudanças nas entradas podem afetar a evolução do sistema e a dinâmica das trajetórias. A decomposição local oferece uma maneira de representar como o estado de um sistema pode ser controlado e alcançado, permitindo uma análise detalhada do comportamento do sistema sob entradas específicas. Além disso, a capacidade de transformar coordenadas e estudar a evolução em diferentes fatias do espaço de estado é fundamental para otimizar o controle e o desempenho de sistemas dinâmicos.

Como representar séries formais e por que seus postos de Hankel e de Lie são fundamentais?

Para estudar de forma sistemática certos sistemas dinâmicos e suas realizações, é necessário introduzir a linguagem algébrica das séries formais, especialmente aquelas em indeterminadas não comutativas. Ao se lidar com conjuntos de séries e operações sobre esses conjuntos, torna-se conveniente representar cada série como uma soma formal infinita de monômios, construídos a partir de um conjunto de indeterminadas abstratas não comutativas $z_0, ..., z_m$ , denotado por $Z = \{z_0, ..., z_m\}$ .

A cada multi-índice $(i_k, ..., i_0)$ , associa-se o monômio $z_{i_k} \cdots z_{i_0}$ , e uma série formal é então expressa como:

c = c(0) + \sum_{k=0}^\infty \sum_{i_0, ..., i_k=0}^m c(i_k, ..., i_0) z_{i_k} \cdots z_{i_0}.

O conjunto de todas essas séries com coeficientes reais é denotado por $\mathbb{R}((Z))$ . Um subconjunto especial é aquele das séries com número finito de termos não nulos, ou seja, os polinômios, cujo conjunto é representado por $\mathbb{R}[Z]$ . Cada elemento de $\mathbb{R}[Z]$ pode ser representado de forma semelhante, mas com somas finitas.

Tanto $\mathbb{R}[Z]$ quanto $\mathbb{R}((Z))$ podem ser dotados de estruturas algébricas diversas. Podem ser considerados espaços vetoriais sobre $\mathbb{R}$ , onde combinações lineares são definidas termo a termo, e $\mathbb{R}[Z]$ , em particular, admite estrutura de anel, com soma definida coeficiente a coeficiente, e multiplicação definida pela multiplicação usual de monômios não comutativos. O elemento neutro da soma é o polinômio nulo e, da multiplicação, o polinômio com todos os coeficientes nulos exceto $p(0) = 1$ .

Além disso, $\mathbb{R}[Z]$ pode ser dotado de uma estrutura de álgebra de Lie, com o colchete de Lie definido por:

[p_1, p_2] = p_2 p_1 - p_1 p_2.

A menor subálgebra de Lie de $\mathbb{R}[Z]$ que contém os monômios $z_0, ..., z_m$ é denotada por $\mathcal{L}(Z)$ . Ela é fechada por colchetes de Lie com os geradores $z_i$ e constitui o menor subespaço com essa propriedade.

O estudo da representação de mapas entrada-saída, especialmente aqueles expressos por funcionais definidos em termos de séries formais, conduz à introdução de dois conceitos centrais: o posto de Hankel e o posto de Lie de uma série $c$ . Para isso, define-se uma aplicação linear:

F_c : \mathbb{R}[Z] \to \mathbb{R}((Z))

da seguinte maneira: para todo monômio $z_{j_k} \cdots z_{j_0} \in Z^*$ , define-se

[F_c(z_{j_k} \cdots z_{j_0})](z_{i_r} \cdots z_{i_0}) = c(i_r, ..., i_0, j_k, ..., j_0).

Essa definição estende-se linearmente a todo $\mathbb{R}[Z]$ , tornando $F_c$ um morfismo de espaços vetoriais reais.

O posto de Hankel $\rho_H(c)$ é a dimensão da imagem de $F_c$ , ou seja, o número de direções linearmente independentes geradas pelas séries obtidas ao aplicar $F_c$ aos polinômios de $\mathbb{R}[Z]$ . Já o posto de Lie $\rho_L(c)$ é a dimensão da imagem da restrição de $F_c$ à álgebra $\mathcal{L}(Z)$ , isto é, quantos elementos linearmente independentes da forma $F_c(p)$ com $p \in \mathcal{L}(Z)$ existem.

Esses postos têm interpretações matriciais diretas. Representando cada elemento de $\mathbb{R}[Z]$ por um vetor coluna infinito, em que cada entrada corresponde a um coeficiente associado a um monômio, e cada série em $\mathbb{R}((Z))$ de forma análoga, a aplicação $F_c$ corresponde a uma matriz infinita $H_c$ , chamada matriz de Hankel associada à série $c$ . As colunas são indexadas pelos monômios da base e as linhas também, com as entradas dadas pelos coeficientes $c(i_r, ..., i_0, j_k, ..., j_0)$ .

O posto de Hankel de $c$ é exatamente o posto dessa matriz $H_c$ . Em casos simples, como séries formais em uma só indeterminada, a matriz de Hankel se reduz à clássica matriz de Hankel associada a uma sequência $c_0, c_1, c_2, ...$ , com forma:

\begin{bmatrix} c_0 & c_1 & c_2 & \cdots \\ c_1 & c_2 & c_3 & \cdots \\ c_2 & c_3 & c_4 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}.

A importância desses postos está em que eles capturam propriedades estruturais profundas do sistema representado pela série $c$ . Por exemplo, em teoria de realização, a dimensão do menor sistema que realiza um dado mapa entrada-saída está intimamente ligada ao posto de Hankel da série associada. O posto de Lie, por sua vez, tem relação direta com a estrutura da álgebra de Lie gerada pelos vetores de campo de controle e os observáveis do sistema.

Na prática, dados um conjunto de vetores de controle $\{g_i\}$ , uma função de saída $h$ , e um ponto $x^0 \in \mathbb{R}^n$ , define-se a série formal $c$ por:

c(0) = h(x^0), \quad c(i_k, ..., i_0) = L_{g_{i_k}} \cdots L_{g_{i_0}} h(x^0),

em que $L_g h$ representa a derivada direcional de $h$ na direção de $g$ . Neste contexto, o posto de Lie da série $c$ é igual à diferença entre a dimensão do espaço observável $W$ e a dimensão do subespaço $K(x^0) \subset T_{x^0} \mathbb{R}^n$ , que consiste nos vetores da distribuição gerada pelos $g_i$ que são ortogonais à codistribuição gerada por $h$ . Em termos formais:

\rho_L(c) = \dim W - \dim K(x^0).

Este resultado revela que a capacidade de observação de um sistema não depende apenas da variedade das direções fornecidas pelos vetores de controle, mas também da maneira como essas direções se relacionam com as observações disponíveis. O posto de Lie, assim, mede o conteúdo diferencial acessível do sistema a partir da função de saída e é um critério essencial de observabilidade.

Além dos conceitos estruturais descritos, é importante destacar que a álgebra $\mathbb{R}[Z]$ , ainda que construída sobre indeterminadas não comutativas, fornece uma estrutura suficientemente rica para modelar operadores diferenciais e suas composições de forma algébrica. A possibilidade de construir tais modelos simbólicos e associar a eles objetos matriciais (como $H_c$ ) permite a aplicação de métodos computacionais diretos para a análise de sistemas não lineares, tornando acessível a verificação de propriedades como a realizabilidade, a controlabilidade e a observabilidade, em contextos onde métodos clássicos são insuficientes.

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