O que caracteriza uma imersão e uma subvariedade incorporada?

Consideremos uma função $F$ que mapeia um conjunto $N$, uma variedade suave, em um espaço $M$. Essa função é chamada de imersão se, em cada ponto de $N$, o diferencial de $F$ tem posto máximo, ou seja, o mapeamento preserva a estrutura da variedade localmente. O conceito de imersão é central na geometria diferencial, pois caracteriza como uma variedade pode ser "inserida" em outra de forma suave, mas sem necessariamente ser uma subvariedade incorporada.

Em termos simples, uma imersão pode ser vista como um mapeamento localmente suave de uma variedade $N$ em uma variedade $M$, onde a "forma" de $N$ é preservada, mas o mapeamento pode resultar em sobreposição ou duplicação de pontos. Um exemplo clássico disso ocorre quando consideramos uma curva que se cruza sobre si mesma. Embora a função seja suave, ela não é injectiva, ou seja, dois pontos distintos de $N$ podem ser mapeados para o mesmo ponto em $M$.

Por outro lado, uma imersão que é também injectiva é chamada de imersão univalente. Neste caso, cada ponto de $N$ é mapeado de forma única para $M$, o que garante que a "forma" de $N$ seja preservada sem sobreposição de pontos. Quando além disso, o mapeamento é também uma injeção aberta (isto é, mapeia conjuntos abertos de $N$ para conjuntos abertos em $M$), a imersão se torna um embedding, ou uma subvariedade incorporada.

A diferença fundamental entre uma imersão e um embedding é que enquanto uma imersão preserva a estrutura local, o embedding preserva não só a estrutura local mas também a topologia do espaço $N$. A teoria das imersões e embeddings está intimamente ligada à ideia de como as variedades podem ser "encaixadas" em espaços maiores sem perder suas características geométricas essenciais. Para entender isso de forma mais clara, podemos considerar a diferença entre um círculo que se cruza sobre si mesmo (imersão não-injetora) e uma espiral que nunca se cruza (embedding).

No exemplo da curva "figura-8", o mapeamento $F : N \to M$, onde $N$ é o intervalo $(0, 2\pi)$ e $M = \mathbb{R}^2$, é uma imersão univalente. No entanto, embora seja uma imersão, ela não é um embedding porque a imagem de um intervalo aberto $( \pi - \epsilon, \pi + \epsilon )$ de $N$ não é aberta no topo de $M$. O conceito de imersão e embedding também pode ser ilustrado por outras construções geométricas, como o "hélice" que se enrola ao redor de um cilindro infinito, onde o mapeamento é um embedding. A principal característica desse tipo de mapeamento é que ele é uma imersão e também uma injeção aberta.

No contexto das variedades, a definição precisa de um embedding envolve a ideia de que a imagem da variedade mapeada deve ser uma subvariedade incorporada de $M$, ou seja, uma variedade que, além de ser mapeada de forma suave, também preserva a topologia do espaço original. Em termos simples, o mapeamento da variedade para o espaço maior deve ser "bem comportado", o que implica que a imagem deve ser topologicamente equivalente à variedade original, sem deformações que levem à perda de informações topológicas.

É importante destacar que a imersão pode ser um embedding localmente, ou seja, em um pequeno entorno de qualquer ponto, o mapeamento pode ser um embedding. Esse fato é expresso no teorema que afirma que toda imersão localmente é um embedding, garantindo que, apesar de algumas situações críticas (como no caso da curva "figura-8"), em regiões específicas o mapeamento pode se comportar como um embedding.

Além disso, ao falar sobre imersões e embeddings, surge a questão das subvariedades. Uma subvariedade de $M$ é uma parte de $M$ que tem a estrutura de uma variedade, e a maneira de definir uma subvariedade imersa ou incorporada de $M$ depende de como a função $F$ é construída. A ideia de que um conjunto $M' \subset M$ é uma subvariedade incorporada (respectivamente imersa) se existe uma imersão (respectivamente um embedding) de uma variedade $N$ em $M$, tal que $F(N) = M'$, traz uma importante perspectiva de como variedades podem ser vistas como subestruturas de espaços maiores, mantendo sua integridade geométrica.

É fundamental entender que, para que uma subvariedade seja incorporada, ela precisa não só ter a estrutura diferenciável, mas também ser "bem comportada" na topologia do espaço $M$. Isso leva à questão de como diferentes coordenadas e funções podem ser usadas para caracterizar essas subvariedades, levando a um entendimento mais profundo da geometria diferencial.

Por fim, outro aspecto importante é a noção de que qualquer variedade suave $N$ pode ser incorporada em um espaço euclidiano de dimensão suficientemente alta, como mostra o Teorema de Embedding de Whitney. Este teorema afirma que, para qualquer variedade $N$ de dimensão $n$, existe um número $m$ tal que $N$ pode ser mapeada suavemente e injetivamente em $\mathbb{R}^m$. Isso é relevante, pois garante que, independentemente da complexidade da variedade, sempre existe um espaço suficientemente grande onde ela pode ser embutida sem perda de informações geométricas.

Como Controlar Sistemas Não Lineares Multivariáveis com Estabilidade Local e Feedback Dinâmico

O controle de sistemas não lineares multivariáveis tem sido, nos últimos anos, um campo de pesquisa intensivo e de crescente interesse, especialmente no que diz respeito ao uso de feedback estático para estabilidade e feedback dinâmico para alcançar a interação não desejada entre variáveis. A proposta de controlar esses sistemas com estabilidade local através de feedback estático e controle não interativo via feedback dinâmico expande as possibilidades de controle em situações muito mais complexas que os modelos lineares tradicionais.

A análise proposta neste contexto é amplamente fundamentada em conceitos chave da geometria diferencial, e, para maior conveniência, esses conceitos são tratados separadamente em um capítulo específico, permitindo que o leitor compreenda as bases geométricas antes de se aprofundar na teoria do controle. Tais abordagens permitem não só a análise da estabilidade local, mas também oferecem um caminho para a construção de leis de controle que são eficazes na manutenção da estabilidade do sistema em situações de não linearidade. A aplicação desses métodos é crucial para sistemas cujas dinâmicas não podem ser descritas de forma simples ou linear, mas que, por meio de técnicas avançadas, ainda podem ser controlados de forma eficaz.

Um dos principais desafios no controle de sistemas multivariáveis não lineares é a interação entre variáveis. O controle não interativo via feedback dinâmico é uma técnica que busca minimizar ou até eliminar essas interações, permitindo que cada variável do sistema seja controlada de forma independente. Para alcançar esse objetivo, é necessário o uso de transformações de coordenadas locais e algoritmos que possibilitem a linearização exata do sistema. Embora esses conceitos possam ser complexos à primeira vista, eles oferecem uma ferramenta poderosa para o controle eficiente de sistemas com várias entradas e saídas.

Embora a teoria de linearização global e invariância controlada globalmente seja fundamental para entender o comportamento de sistemas mais complexos, ela não está completamente abordada em muitos textos, incluindo o presente. A ausência de uma cobertura completa sobre essas questões não diminui a relevância do material, mas exige que o leitor tenha uma familiaridade prévia com conceitos básicos de teoria de sistemas lineares e, em especial, com estabilidade assintótica local. O controle via feedback dinâmico e suas implicações na estabilidade global também são abordados, com foco nas leis de controle que asseguram a atenuação global de distúrbios e a estabilidade semiglobal.

Uma parte essencial do estudo é a análise da distribuição invariável, um conceito que descreve como o sistema pode ser manipulado de tal forma que certas propriedades do estado sejam preservadas, independentemente da evolução temporal do sistema. A construção de leis de feedback que tornam uma distribuição invariável é um dos maiores avanços em termos de controle não linear, permitindo que a dinâmica do sistema seja governada de maneira precisa e controlada.

Em termos práticos, isso significa que as leis de feedback podem ser aplicadas de modo que o sistema, mesmo com as incertezas e não linearidades, mantenha-se estável dentro de uma região de operação predefinida. A teoria da estabilidade, que já possui uma base sólida em sistemas lineares, é agora estendida para sistemas não lineares, oferecendo novas perspectivas e métodos para análise de estabilidade assintótica e alcançabilidade.

Além disso, é importante destacar que, embora o livro forneça uma base sólida e aplicável para a teoria do controle de sistemas não lineares, ele não cobre todos os desenvolvimentos mais recentes na área. Questões como a teoria da linearização global e a invertibilidade à esquerda e à direita, que têm implicações significativas para o controle, são apenas mencionadas e não exploradas em profundidade. Isso não significa que esses conceitos não sejam importantes, mas que o foco da obra é estabelecer os alicerces essenciais para uma compreensão prática e operacional dos problemas de controle não linear.

Para os leitores que não estão familiarizados com os conceitos fundamentais de geometria diferencial, a sugestão é que eles abordem o conteúdo de forma gradual, saltando inicialmente para os capítulos que tratam de sistemas mais simples, e retornando aos capítulos introdutórios após adquirir uma compreensão mais profunda. O aprendizado de geometria diferencial, embora não essencial para todos os tópicos abordados, pode ser extremamente útil para entender as ferramentas que permitem o controle efetivo de sistemas multivariáveis complexos.

Em relação ao desenvolvimento de novas edições e atualizações da obra, a terceira edição aprimora a exposição do controle não interativo com feedback dinâmico, adicionando uma abordagem mais detalhada e prática. As novas seções incorporam descobertas recentes, como a obtenção do grau relativo via extensão dinâmica, e melhoram a clareza e acessibilidade de alguns dos conceitos mais avançados tratados no texto.

Ao final, é imprescindível que o leitor compreenda que a aplicação desses métodos não se limita a sistemas teóricos ou acadêmicos. As técnicas descritas no livro têm implicações diretas em áreas como automação industrial, robótica, aeronáutica e engenharia de sistemas dinâmicos complexos, onde o controle preciso e a estabilidade são cruciais. O estudo e a aplicação dos conceitos aqui apresentados abrem portas para inovações e melhorias na performance de sistemas multivariáveis em ambientes dinâmicos e de alta complexidade.