Como entender os vetores tangentes e diferenciais em variedades suaves

Considere uma variedade suave $N$ e um ponto $p$ em $N$ . Se $(U, \varphi)$ for um gráfico coordenado ao redor de $p$ , então os vetores tangentes $(\hat{e}_1^p, \dots, \hat{e}_n^p)$ formam uma base de $T_p N$ , o espaço tangente da variedade $N$ no ponto $p$ . A base de $T_p N$ é chamada de base natural induzida pelo gráfico coordenado $(U, \varphi)$ . Se $v$ for um vetor tangente em $p$ , então podemos expressá-lo como uma combinação linear dos vetores da base natural:

v = v^1 \hat{e}_1^p + \dots + v^n \hat{e}_n^p,

onde $v^1, \dots, v^n$ são números reais que correspondem às componentes do vetor $v$ em relação à base $(\hat{e}_1^p, \dots, \hat{e}_n^p)$ .

Esses componentes podem ser calculados explicitamente em coordenadas locais. Por exemplo, dado um gráfico coordenado $(U, \varphi)$ , podemos expressar um vetor tangente $v$ da forma $v = v^i \frac{\partial}{\partial x^i}$ em coordenadas $x = (x^1, \dots, x^n)$ . A mudança de coordenadas ao redor de $p$ induz naturalmente uma mudança de base em $T_p N$ , que pode ser descrita pelas seguintes transformações:

v^i = \sum_{j} A^{i}_j \, w^j,

onde $A^{i}_j$ são os coeficientes da matriz jacobiana que transforma as bases antigas em novas bases. As componentes $v^i$ de $v$ nas novas coordenadas podem ser encontradas ao aplicar a inversa da matriz jacobiana associada à mudança de coordenadas.

Agora, consideremos a definição de diferencial de uma aplicação suave entre duas variedades $N$ e $M$ . Dada uma aplicação suave $F: N \to M$ , o diferencial de $F$ em um ponto $p \in N$ é o mapa $F_* : T_p N \to T_{F(p)} M$ , que envia um vetor tangente $v \in T_p N$ para um vetor tangente $F_*(v) \in T_{F(p)} M$ . A ação do diferencial de $F$ sobre uma função suave $\varphi$ em $T_p N$ é dada por

F_*(v)(\varphi) = v(\varphi \circ F),

onde $v$ age sobre a função $\varphi \circ F$ , ou seja, sobre a composição de $\varphi$ com a aplicação $F$ .

O diferencial $F_*$ é uma transformação linear e pode ser representado por uma matriz, cujas entradas são os coeficientes da jacobiana de $F$ em coordenadas locais. A partir disso, podemos deduzir que o posto de $F_*$ corresponde ao posto da matriz jacobiana de $F$ . Se $F$ é uma imersão, então o posto de $F_*$ é igual à dimensão de $N$ , e a imagem de $F_*$ em cada ponto $p$ é um subespaço de $T_{F(p)} M$ , isomórfico ao espaço tangente $T_p N$ .

Por fim, quando se considera uma imersão univalente $F: N \to M$ , a imagem de $F_*$ no ponto $p$ pode ser identificada com o espaço tangente de um subvariedade $M' = F(N)$ em $M$ . Assim, os vetores tangentes em $T_{F(p)} M'$ podem ser vistos como imagens de vetores tangentes $v \in T_p N$ sob $F_*$ .

Em termos geométricos, o espaço tangente em um ponto de uma variedade pode ser entendido como o espaço de todas as direções tangenciais à variedade naquele ponto. Este conceito se torna particularmente relevante ao estudar as propriedades locais das variedades, como a curvatura e a topologia, pois a estrutura do espaço tangente proporciona informações essenciais sobre como a variedade se comporta em torno de um ponto específico.

De maneira análoga, a noção de espaço tangente a uma curva suave em $\mathbb{R}^n$ pode ser vista como a direção da tangente à curva no ponto considerado. Para uma curva parametrizada $\alpha: U \to \mathbb{R}^n$ , o vetor tangente $v$ à curva em $\alpha(t_0)$ é dado por $v = \frac{d\alpha}{dt}(t_0)$ , e é um vetor no espaço tangente à variedade $\mathbb{R}^n$ naquele ponto.

Além disso, é importante compreender que, em um contexto de imersões e difeomorfismos, o diferencial $F_*$ pode ser utilizado para estudar como as variedades se comportam localmente uma em relação à outra. Quando $F$ é um difeomorfismo, $F_*$ é um isomorfismo entre os espaços tangentes e, assim, preserva a estrutura geométrica da variedade.

Este entendimento dos vetores tangentes e diferenciais é fundamental não apenas para a teoria de variedades suaves, mas também para diversas áreas da matemática, como geometria diferencial, análise e física matemática, onde a noção de tangência é usada para descrever fenômenos locais, como movimento, curvatura e dinâmica em espaços curvos.

Como a Teoria Geométrica Local das Perturbações Singulares Descreve o Comportamento Assintótico de Sistemas Dinâmicos

Seja $\gamma : \mathbb{R} \to E$ uma curva suave tal que $\gamma(0) = x$ , e note que, uma vez que cada ponto de $E$ aniquila $F(x, 0)$ , por definição, temos $F(\gamma(t), 0) = 0$ para todo $t$ . Ao diferenciar essa equação em relação ao tempo, obtemos $\frac{d}{dt} F(x, 0) \frac{d\gamma(t)}{dt} = 0$ . No instante $t = 0$ , temos $\left. \frac{d}{dt} F(\gamma(t), 0) \right|_{t=0} = 0$ , e isso, em razão da arbitrariedade da curva $\gamma$ , demonstra que o vetor tangente $T_x E$ está contido no núcleo de $J_x$ , o que implica que o zero é um valor próprio de $J_x$ com multiplicidade pelo menos $p$ .

Os valores próprios de $J_x$ associados aos autovetores que geram o subespaço $T_x E$ são chamados de autovalores triviais de $J_x$ , enquanto os $n - p$ valores próprios restantes são denominados de autovalores não triviais. De agora em diante, supomos que todos os autovalores não triviais de $J_x$ possuam parte real negativa. Como consequência, os conjuntos de autovalores triviais e não triviais são conjuntos disjuntos, e, a partir da álgebra linear, segue-se que existe um subespaço único de $T_x U$ , denotado por $V_x$ , que é invariável sob $J_x$ e complementar a $T_x E$ , ou seja, $T_x U = T_x E \oplus V_x$ .

Na prática, $V_x$ é exatamente o subespaço de $T_x U$ gerado pelos autovetores associados aos autovalores não triviais de $J_x$ . Seja $P_x$ a projeção de $T_x U$ sobre $T_x E$ ao longo de $V_x$ , isto é, o mapeamento linear único que satisfaz $\ker(P_x) = V_x$ e $\text{Im}(P_x) = T_x E$ . Utilizamos $P_x$ para definir um campo vetorial sobre $E$ . De fato, definimos $f_R : x \in E \to f_R(x) = P_x \frac{dF(x, \varepsilon)}{dx}$ . Esse campo vetorial é denominado de campo vetorial reduzido do sistema.

Caso o sistema se apresente na forma especial $F(x, \varepsilon) = 0$ , com $g(0, z, 0) = 0$ , a matriz jacobiana $J_x$ assume a forma $J_x = \begin{pmatrix} G & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ , onde $G$ é uma matriz com seus autovalores não triviais. O subespaço $T_x E$ é o conjunto de todos os vetores cujas primeiras $v$ coordenadas são nulas, o subespaço $V_x$ é o conjunto de vetores cujas últimas $v$ coordenadas são nulas, e a projeção $P_x$ é descrita na forma matricial $P_x = \begin{pmatrix} 0 & Z \end{pmatrix}$ .

A partir dessa configuração, podemos analisar o comportamento assintótico local de sistemas dinâmicos com pequenas perturbações. Consideremos os sistemas limitantes definidos por:

$x' = F(x, 0)$ ,
$x = \tilde{f}(x)$ com $x \in E$ .

O teorema seguinte descreve as condições sob as quais o comportamento assintótico local do sistema (B.22), para pequenas perturbações, pode ser compreendido em termos das propriedades dos dois sistemas limitantes.

Teorema: Seja $E^0$ um subconjunto de $E$ tal que, para todo $x \in E^0$ , os autovalores não triviais de $J_x$ possuem parte real negativa. Suponha que $x^0 \in E^0$ seja um ponto de equilíbrio do sistema reduzido $x' = F(x, 0)$ . Se todos os autovalores da matriz jacobiana possuem parte real negativa, então existe um $\varepsilon_0 > 0$ tal que, para cada $\varepsilon \in (0, \varepsilon_0)$ , o sistema $(B.22)$ possui um ponto de equilíbrio $x_\varepsilon$ próximo de $x^0$ , com as seguintes propriedades: $x_\varepsilon$ é o único ponto de equilíbrio de $x' = F(x, \varepsilon)$ em uma vizinhança adequada de $x^0$ , e $x_\varepsilon$ é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável do sistema $x' = F(x, \varepsilon)$ .

Ao adotar coordenadas locais adequadas, o sistema pode ser simplificado para uma forma que se aproxima daquela discutida inicialmente, permitindo a aplicação da Teoria do Manto Central. Isso possibilita uma análise detalhada da estabilidade assintótica do sistema perturbado, com a garantia de que, para valores suficientemente pequenos de $\varepsilon$ , o comportamento do sistema reduzido (sem perturbação) permanece próximo ao comportamento do sistema completo.

Esse processo revela que, embora o comportamento global do sistema (com as perturbações) dependa de múltiplos fatores, as condições de estabilidade local podem ser descritas de maneira bastante precisa, utilizando as propriedades geométricas locais da solução do sistema. A redução para um sistema de menor dimensão permite um entendimento mais claro das suas dinâmicas assintóticas.

Com isso, o teorema acima fornece uma base sólida para descrever o comportamento de sistemas dinâmicos sujeitos a perturbações singulares, oferecendo uma ferramenta útil para a análise de sua estabilidade local. A estabilidade assintótica, em particular, é garantida sob as condições apropriadas, e o comportamento do sistema perturbado pode ser previsto com alta precisão para $\varepsilon$ suficientemente pequeno.

O que são as dinâmicas zero e como elas definem o comportamento interno de sistemas controlados?

Considere um sistema dinâmico definido em uma vizinhança aberta $U$ de $\mathbb{R}^n$ , cujo estado evolui segundo uma equação diferencial controlada. O foco está em identificar os pares formados por estado inicial e função de entrada que geram uma saída identicamente nula para todo o intervalo de tempo considerado. Suponha que haja um ponto $x^\circ$ no espaço de estados tal que, para ele, a saída $h(x^\circ) = 0$ e o vetor de campo $f(x^\circ) = 0$ . Se o sistema inicia exatamente em $x^\circ$ e a entrada é nula para todo tempo subsequente, a saída permanecerá zero.

Para estudar as condições sob as quais a saída permanece nula, introduz-se o conceito de subvariedade de saída zero, $M$ , que é uma subvariedade conectada e suave de $U$ , contendo $x^\circ$ , e que satisfaz duas propriedades fundamentais: a saída $h(x)$ é zero para todo $x \in M$ e $M$ é localmente controlavelmente invariante em $x^\circ$ . Isso significa que existe uma aplicação suave de controle $u: M \to \mathbb{R}^m$ e uma vizinhança $U^\circ$ de $x^\circ$ para que o campo vetorial controlado $f(x) + g(x)u(x)$ seja tangente a $M$ para todo $x \in M \cap U^\circ$ . Consequentemente, a trajetória do sistema, sob essa realimentação, permanece em $M$ e a saída é mantida identicamente nula para tempos próximos a zero.

Entre essas subvariedades, interessa especialmente encontrar a que seja localmente máxima, isto é, que contenha localmente todas as outras subvariedades de saída zero ao redor de $x^\circ$ . A construção dessa subvariedade maximal pode ser feita por meio de um algoritmo recursivo, conhecido como Algoritmo das Dinâmicas Zero. Este algoritmo inicia com o conjunto $M_0 = h^{ -1}(0)$ , o conjunto dos estados com saída nula, e em cada passo subsequente define $M_k$ como o subconjunto daqueles pontos cujo vetor de campo controlado pode ser representado dentro da soma do espaço tangente de $M_{k-1}$ e do espaço gerado pelos vetores de controle.

Sob certas condições regulares — por exemplo, a suavidade das subvariedades envolvidas e a manutenção da dimensão constante dos espaços tangentes e dos subespaços gerados pelos vetores de entrada — essa sequência converge a uma subvariedade $Z^*$ localmente máxima, que possui as propriedades de ser uma subvariedade de saída zero e de ser localmente controlavelmente invariante. A existência e unicidade do mapeamento de controle $u^*$ associada a $Z^*$ decorrem dessas condições de regularidade e da classificação do posto da matriz composta pelo diferencial da saída e pelo mapeamento do controle.

A subvariedade $Z^*$ é denominada subvariedade das dinâmicas zero locais, e o campo vetorial restrito $f^* = (f + g u^*)|_{Z^*}$ é chamado campo vetorial das dinâmicas zero. O sistema restrito a $Z^*$ , ou seja, $\dot{x} = f^*(x)$ com $x \in Z^*$ , revela o comportamento interno do sistema quando a saída é mantida nula — por meio da escolha adequada do estado inicial e da entrada de controle. Essa dinâmica interna é crucial para a análise do sistema, especialmente em problemas de estabilidade e controle de sistemas não lineares.

Embora o tratamento aqui seja local, existe a possibilidade, em princípio, de estender a caracterização das dinâmicas zero para um contexto global, identificando $Z^*$ como a maior subvariedade suave contida no conjunto de estados de saída nula que seja invariante sob o campo vetorial controlado correspondente.

As hipóteses de invertibilidade descritas garantem que, para estados próximos a $x^\circ$ , a entrada que zera a saída é única, eliminando ambiguidades no controle para manter a saída zero. Em sistemas lineares, a construção das dinâmicas zero reduz-se a um problema clássico e bem compreendido, mas nos sistemas não lineares a descrição geométrica apresentada é fundamental para a compreensão do comportamento interno do sistema.

Além disso, é importante reconhecer que a existência da subvariedade das dinâmicas zero está intimamente relacionada com a possibilidade de decompor o sistema em suas dinâmicas externas (ligadas à saída) e internas (ligadas à subvariedade $Z^*$ ). Isso permite estratégias avançadas de controle, como a linearização por realimentação e o projeto de controladores que asseguram desempenho e estabilidade através do manejo direto das dinâmicas internas.

Para além da construção formal, a compreensão do papel das dinâmicas zero permite que o leitor visualize as restrições geométricas impostas pelo sistema, as quais influenciam diretamente a capacidade de manipular a saída via controle. Também ajuda a entender os limites intrínsecos de controlabilidade e observabilidade, conceitos fundamentais em teoria de controle moderno.

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