A equação (12.16) mostra um sistema dinâmico que envolve derivadas de Lie, como descrito em (2.3). Um polinômio monico P(λ)=λhk−ϕ1,k−ϕ2,kλ−…−ϕhk,kλhk−1P(\lambda) = \lambda^{h_k} - \phi_{1,k} - \phi_{2,k} \lambda - \ldots - \phi_{h_k,k} \lambda^{h_k-1}, satisfazendo essa equação, é denominado polinômio de anulação. No design de sistemas de controle robusto, o polinômio de anulação é utilizado, especialmente o polinômio mínimo, que tem o menor grau entre os polinômios de anulação possíveis. Ao escolher o polinômio mínimo, podemos definir o vetor de estados θk(s,w)\theta_k(s, w) como uma combinação linear de estados, conforme expresso por:

θk(s,w)=[xk+1(s,w)  LAssxk+1(s,w)  …  Lhk−1Assxk+1(s,w)]T\theta_k(s, w) = \left[ x_{k+1}(s, w) \; \mathcal{L} \text{Ass} x_{k+1}(s, w) \; \dots \; \mathcal{L}^{h_k-1} \text{Ass} x_{k+1}(s, w) \right]^T

Esse vetor de estados é projetado para satisfazer a equação (12.15), com matrizes Φk\Phi_k e Ψk\Psi_k como definidos na equação. O par (Φk,Ψk)(\Phi_k, \Psi_k) é observável, o que é crucial para a construção de modelos internos eficientes.

A diferença entre a equação (12.15) e a equação (2.55) está no fato de que o verdadeiro exossistema para a regulação de saída perturbada robusta é dado pela equação (12.10), o que gera uma expressão dinâmica para θ˙k(s,w)\dot{\theta}_k(s, w) ao longo do exossistema real. A equação que descreve o sistema real é:

θ˙k(s,w)=Φkθk(s,w)+∂θk(s,w)∂sBsμ\dot{\theta}_k(s, w) = \Phi_k \theta_k(s, w) + \frac{\partial \theta_k(s, w)}{\partial s} B_s \mu

A introdução do modelo interno ocorre quando uma solução para a equação de Sylvester é encontrada, e a transformação coordenada de entrada é realizada para converter o sistema aumentado composto pelo sistema original e pelo modelo interno na forma que descreve a dinâmica de estabilização do sistema.

Esse modelo interno tem características específicas que, quando xk+1(s,w)=xk+1(s,w)x_{k+1}(s, w) = x_{k+1}(s, w), permitem que o modelo interno coincida com o gerador de estado estacionário, resultando em um comportamento estável e previsível, conforme exemplificado na equação (12.19). A equação do modelo interno também pode ser transformada para um formato coordenado, como mostrado nas equações subsequentes (12.20) e (12.21), permitindo uma abordagem eficaz para estabilização do sistema, especialmente em relação a perturbações externas.

Em sistemas compostos, como o descrito na equação (12.21), a observabilidade e a controlabilidade desempenham papéis centrais. A matriz Φk\Phi_k, juntamente com a matriz Ψk\Psi_k, forma um sistema observável, essencial para o design de controladores que garantem a sincronização dos estados em sistemas multi-agentes.

O controle do sistema composto pode ser descrito pela equação de estabilização de entrada-para-estado. A condição de estabilização de entrada-para-estado é expressa por:

lim sup⁡t→∞∣∣col(z0(t),ϵ(t),z(t))∣∣≤γstb(lim sup⁡t→∞∣∣μ(t)∣∣)\limsup_{t \to \infty} ||\text{col}(z_0(t), \epsilon(t), z(t))|| \leq \gamma_{\text{stb}}(\limsup_{t \to \infty} ||\mu(t)||)

Onde γstb\gamma_{\text{stb}} é uma função da classe KK, que garante que o sistema de malha fechada exibe um ganho assintótico γstb\gamma_{\text{stb}} em relação à perturbação externa μ\mu.

No exemplo apresentado, o problema de sincronização de seis agentes é abordado, utilizando um controlador que resolve o problema de estabilização de entrada-para-estado descrito pela equação (12.24). A equação ustbu_{stb} é projetada para minimizar os erros de sincronização entre os agentes e estabilizar o sistema. O controlador proposto, ustb=−5zi−2zi3u_{stb} = -5z_i - 2z_i^3, oferece uma solução simples, mas eficaz, para esse problema de estabilização.

Além disso, ao introduzir a transformação coordenada, o problema de regulação de saída é convertido em um problema de estabilização, que é resolvido de maneira eficiente com o modelo interno. Esse modelo interno e o controlador associado proporcionam uma maneira robusta de lidar com perturbações externas e garantir que os agentes atinjam um estado de sincronização desejado.

O modelo interno é uma ferramenta poderosa, especialmente em sistemas dinâmicos complexos e perturbados, pois permite a conversão de problemas de regulação de saída em problemas de estabilização, aumentando assim a robustez e a estabilidade dos sistemas de controle.

A introdução do modelo interno e sua implementação no sistema de controle pode ser um desafio técnico, exigindo um conhecimento aprofundado das equações diferenciais e das técnicas de controle avançadas. No entanto, o entendimento e a aplicação desses conceitos são cruciais para projetar sistemas robustos e eficientes, especialmente em sistemas distribuídos e multi-agentes.

Como a Regulação de Saída Perturbada Afeta a Sincronização de Sistemas Fechados

O estudo da sincronização de sistemas dinâmicos fechados com múltiplos agentes (MAS, do inglês Multi-Agent Systems) envolve um conceito crucial: a regulação de saída perturbada (perturbed output regulation). Este conceito está diretamente relacionado à capacidade de garantir a sincronização dos sistemas dinâmicos, mesmo diante de perturbações e incertezas no ambiente. A equação central da regulação de saída perturbada pode ser expressa da seguinte forma:

∣∣ereg(t)∣∣≤max⁡{reg βi(∣∣χri,i(t0)∣∣,t−t0),γi(∣∣μi[t0,t]∣∣)},∀t≥t0i∈N||e_{\text{reg}}(t)|| \leq \max \left\{ \text{reg}\, \beta_i (||\chi_{ri, i}(t_0)||, t - t_0), \gamma_i (||\mu_i[t_0,t]||) \right\}, \quad \forall t \geq t_0 \quad i \in \mathbb{N}

Aqui, o termo βi\beta_i é uma função da classe KLKL, enquanto γi\gamma_i pertence à classe KK. Esse modelo de regulação de saída perturbada é essencial para garantir que o sistema dinâmico não se desvie de seu comportamento desejado, mesmo quando agentes externos influenciam o sistema de forma não prevista. A teoria que fundamenta a aplicação desse modelo, no entanto, exige que sejam atendidas condições adicionais, especialmente quando o consenso entre os agentes é perturbado.

A equação 13.2 representa um caso em que o consenso não é perfeito, mas sim perturbado. Em cenários de perturbações, a combinação de comunicação de saída com regulação robusta não garante a sincronização desejada do sistema fechado, sem que uma condição adicional seja imposta. Essa condição é conhecida como o teorema do pequeno ganho (small-gain theorem). O teorema 13.1 formaliza essa ideia, afirmando que, para que o sistema fechado atinja a sincronização de saída, a condição de pequeno ganho deve ser satisfeita, ou seja:

γreg(γcons τ)<τ,∀τ>0\gamma_{\text{reg}}(\gamma_{\text{cons}} \, \tau) < \tau, \quad \forall \tau > 0

A partir dessa condição, é possível provar que o sistema com perturbações atingirá uma sincronização de saída na forma estipulada pela equação 2.65. A prova é feita em etapas, envolvendo a análise das funções de erro e das propriedades assintóticas do sistema. O ponto central da análise é a relação entre os erros de regulação (ereg(t)e_{\text{reg}}(t)) e as saídas de referência dos modelos (μ(t)\mu(t)). A partir da condição de pequeno ganho, demonstramos que ambos os erros são limitados, ou seja, permanecem dentro de uma faixa controlada, o que impede o desvio caótico do sistema.

Além disso, a prova do Teorema 13.1 detalha como as variáveis μ(t)\mu(t) e ereg(t)e_{\text{reg}}(t) se comportam à medida que o tempo avança. Por exemplo, é demonstrado que:

lim sup⁡t→∞∣∣ereg(t)∣∣=0\limsup_{t \to \infty} ||e_{\text{reg}}(t)|| = 0

Este resultado implica que, no longo prazo, os erros de regulação se anulam, levando à sincronização desejada.

No entanto, para que o problema de regulação de saída perturbada seja resolvido de maneira eficaz, é necessário configurar corretamente as funções de ganho γreg\gamma_{\text{reg}} e γcons\gamma_{\text{cons}}. Essas funções determinam a interação entre os estados internos dos agentes e as saídas observadas no sistema, e devem ser escolhidas de forma a satisfazer a condição de pequeno ganho mencionada.

Em uma aplicação prática, o desafio está em projetar as funções de controle para garantir que as condições de estabilização do sistema sejam atendidas. Para isso, considera-se a introdução de um controlador ustbu_{\text{stb}} que é projetado de forma recursiva para garantir que o sistema atenda às condições de estabilização do tipo input-to-state (ISS). Essa abordagem permite modelar e controlar sistemas complexos com múltiplos subsistemas interconectados, como os que ocorrem em sistemas de múltiplos agentes.

Os controladores desenvolvidos com base no princípio do modelo interno (Internal Model Principle) visam garantir que o sistema, mesmo sob condições de perturbação, mantenha suas propriedades de sincronização e estabilidade. As condições específicas de ganho, como as expressas nas equações 13.9 e 13.10, são essenciais para a manutenção dessas propriedades. Esses resultados são importantes para a construção de sistemas autônomos, como redes de veículos autônomos ou sistemas de sensores distribuídos, onde a comunicação e a regulação de saída desempenham um papel fundamental.

Além disso, é importante destacar que as soluções de regulação de saída perturbada não são apenas matemáticas, mas têm aplicações diretas em engenharia e controle de sistemas complexos. As metodologias desenvolvidas, como as condições de pequeno ganho e as funções de estabilização, são aplicáveis a problemas reais, como o controle de robôs em ambientes dinâmicos ou a regulação de redes de comunicação sob condições de interferência.

Como o Mecanismo de Acionamento por Evento Pode Melhorar o Controle Distribuído de Agentes

No desenvolvimento de sistemas de controle distribuídos, uma das questões centrais é a forma como os agentes interagem entre si para manter a estabilidade e a coerência do sistema como um todo. O uso de gatilhos de evento, ao invés de um controle contínuo e sem interrupções, se mostrou uma técnica inovadora e eficiente. Neste contexto, o agente .i utiliza o estado .ŝnet,i em vez de .snet para projetar o seu controlador, o que traz uma série de vantagens operacionais e de eficiência computacional.

Ao usar .ŝnet,i, o agente .i precisa atualizar e executar sua entrada de controle apenas nos instantes de amostragem n .tneth,i para .h ∈ et Si, enquanto que, se fosse utilizado .snet, a atualização teria que ocorrer nos instantes de amostragem de todos os agentes da rede. Essa estratégia reduz a necessidade de processamento constante e diminui a sobrecarga no sistema, fazendo com que o controle aconteça de maneira mais pontual e eficaz. Para entender melhor, a expressão para o termo .sneti em (14.5) é modificada da seguinte forma:

∑.sneti(t)=(Li⊗Il)s^net,i(t)=antij(si(teh,i)−sj(tneth,i))j∈N=si(tneth,i)=(Li⊗Il)s(tneth,i),∀t∈[tneth,i,tneth+1,i),i∈N.\sum .snet i (t) = (Li \otimes Il)ŝ net,i (t) = a n t i j (si (t e h,i ) − s j (t net h,i )) j∈N = si (tneth,i ) = (Li \otimes Il)s(t net h,i ), \forall t \in [tneth,i , t net h+1,i ), i \in N.

A técnica de "atualizar e transmitir" é empregada aqui: cada agente .i ∈ N atualiza .sneti em tneth,i e transmite essa informação para seus vizinhos. Posteriormente, os vizinhos recebem a mensagem transmitida. Essa abordagem permite que cada agente .i ∈ N obtenha o seguinte conhecimento para .j ∈ Vi, seu vizinho:

  • .sneti(t), atualizado pelo agente .i em tneth,i de acordo com (15.4);

  • .snetj(t), recebido do agente .j em tneth',j.

Este processo de atualização e troca de informações entre os agentes garante que a rede consiga acompanhar o estado de cada um de seus membros sem a necessidade de comunicação contínua, o que contribui para a redução do tráfego de dados e da complexidade computacional.

Além disso, vale notar que, para qualquer tneth,i, existe um h' tal que tneth,i ∈ [tneth',j, tnet h'+1,j). Embora .sneti seja o estado amostrado usado para o design do controlador no agente .i, o estado real é dado por si = (Li ⊗ Il)s. A diferença entre o estado real e o estado amostrado é expressa por:

.s~i(t)=si(t)−sneti(t),i∈N..s̃i(t) = si(t) − sneti(t), i \in N.

Esse desvio, .s̃i(t), é geralmente zero no instante de amostragem, ou seja, .s̃i(t) = 0 em tneth,i. Essa diferença entre o estado real e o amostrado é uma consideração importante, pois afeta a precisão do controle, sendo necessário um método para monitorar e corrigir eventuais erros de amostragem.

O primeiro objetivo deste capítulo é projetar um mecanismo distribuído de acionamento por evento para gerar uma sequência temporal .tnet n h,i, onde h ∈ et Si, satisfazendo tneth,i < tneth+1,i, junto com um controlador de consenso (14.4). Este controlador utiliza o estado amostrado .sneti, conforme definido em (15.4), para alcançar o consenso dos modelos de referência no padrão descrito em (3.14). Isso permite que a rede se ajuste de maneira coordenada, sem depender de um fluxo constante de informações.

Em seguida, o segundo passo envolve o design de um controlador de regulação, seguindo a mesma metodologia desenvolvida na Seção 14.1. Este controlador consiste no DSC (14.6) e no DAC (14.7). O estado amostrado zsm p i é definido em (14.8), onde .t smp h,i representa o instante local de amostragem para .h ∈ smp Si. Importante ressaltar que o número de instantes ou eventos neste contexto pode ser finito, ao contrário do que ocorre na Seção 14.1, onde o número de instantes é sempre infinito. O intervalo de amostragem é dado por:

Tsmph,i=tsmph+1,i−tsmph,i.T smp h,i = t smp h+1,i − t smp h,i.

O segundo objetivo do capítulo é o design de um mecanismo distribuído de acionamento por evento para gerar uma sequência temporal .t smp s h,i, onde h ∈ mp Si, satisfazendo .t smp 0,1 = 0 e .t smp h,i < t smp h+1,i, além de um estabilizador (14.9), de modo que o erro de rastreamento .e reg i, definido em (12.5), tenha um ganho assintótico em relação à entrada .μi, conforme a definição em (12.6).

Essa abordagem de controle distribuído e acionamento por evento não apenas resolve o problema de consenso entre os agentes, mas também garante que o sistema não sofra de um fenômeno indesejado conhecido como "comportamento Zeno", no qual um número infinito de eventos ocorre em um período de tempo finito. Para excluir essa possibilidade, define-se a condição:

inf⁡{tn−tnet}>0, se {tsm}>0, i∈N.\inf \{tn − tnet\} > 0, \ \text{se} \ \{t sm \} > 0, \ i ∈ N.

Essa condição assegura que o número de eventos disparados em um intervalo de tempo finito nunca será infinito, evitando o sobrecarregamento do sistema e garantindo a eficiência do mecanismo de acionamento por evento.

A aplicação dessa técnica de acionamento por evento, que é baseada no modelo de referência e em controladores distribuídos, permite que a rede de agentes se comportem de maneira coordenada e eficiente, reduzindo a necessidade de comunicação constante e mantendo a estabilidade do sistema. Essa abordagem tem um grande potencial para melhorar a performance de sistemas complexos, como redes de veículos autônomos, redes de sensores, e outros sistemas distribuídos onde a otimização do controle e a redução de tráfego de dados são cruciais.

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