Como calcular distribuições estacionárias e valores quadráticos médios em sistemas quase hamiltonianos estocásticos

A distribuição de probabilidade estacionária conjunta $p(q_1, q_2, p_1, p_2)$ , as distribuições marginais $p(q)$ , $p(p)$ , e os valores quadráticos médios $E[Q_1^2]$ , $E[Q_2^2]$ para o sistema original descrito pela equação (7.11) podem ser determinados por integrais apropriadas da função densidade. A distribuição marginal $p(q_1, q_2)$ é obtida integrando $p(q_1, q_2, p_1, p_2)$ sobre as variáveis $p_1$ e $p_2$ , enquanto os valores quadráticos médios são obtidos pela integração ponderada dos quadrados das variáveis $q_1$ e $q_2$ em relação à distribuição marginal correspondente.

Os resultados obtidos por simulações de Monte Carlo para o sistema original e para a versão média do sistema, descrita pela equação (7.15) — uma SDE fracionária — mostram uma excelente concordância entre si. Contudo, o tempo computacional para a simulação do sistema médio é significativamente inferior, indicando a eficiência do método de média estocástica para análise de sistemas quase hamiltonianos excitados por ruído fracionário.

Quando se trata de sistemas hamiltonianos integráveis e não ressonantes com $n$ integrais de movimento independentes, as equações que governam esses integrais podem ser descritas por equações diferenciais estocásticas fracionárias (SDEs), que incluem termos determinísticos e de ruído com propriedades específicas, como o movimento browniano fracionário. Nesses casos, a decomposição dos processos em variáveis lentas e rápidas permite a aplicação do princípio da média estocástica, pelo qual, na medida em que o parâmetro de perturbação $\varepsilon$ tende a zero, o vetor dos integrais de movimento converge para um processo governado por uma SDE média, com coeficientes obtidos pela média temporal ou espacial das dinâmicas originais.

Em particular, para sistemas cuja dinâmica pode ser descrita em variáveis ação-ângulo, o procedimento de média pode ser traduzido em integrais ao longo das variáveis de ângulo, aproveitando a ergodicidade do sistema para substituir médias temporais por médias espaciais. A complexidade do sistema é reduzida para o estudo do processo estocástico das variáveis ação, enquanto as variáveis ângulo continuam a variar rapidamente. A distribuição estacionária do sistema pode então ser estimada via simulações de Monte Carlo aplicadas à SDE média.

Um exemplo elucidativo é o de dois osciladores lineares acoplados por amortecimentos lineares e não-lineares, sujeitos a excitações por ruído fracionário gaussiano. O sistema pode ser descrito por um conjunto de equações diferenciais quase hamiltonianas que incorporam os termos de amortecimento e a excitação estocástica. A separação do Hamiltoniano em sub-Hamiltonianos independentes para cada oscilador facilita a análise, permitindo que a dinâmica combinada seja compreendida como a soma dos comportamentos individuais.

A compreensão profunda dos processos estocásticos governados por ruído fracionário requer a consideração das propriedades intrínsecas do ruído, como a dependência de longo alcance e a não-marcovianidade, o que implica que as estatísticas do sistema só podem ser obtidas através de métodos numéricos robustos, como as simulações de Monte Carlo. Além disso, a substituição da média temporal pela média espacial fundamenta-se na hipótese de ergodicidade, uma condição crucial para a validade das aproximações e que deve ser verificada para cada sistema específico.

Além do formalismo matemático, é essencial que o leitor reconheça a importância da separação clara entre variáveis rápidas e lentas, pois essa distinção possibilita a aplicação eficaz da média estocástica e a redução da complexidade do sistema. A técnica é especialmente poderosa em sistemas quase integráveis, onde pequenas perturbações introduzem comportamento estocástico sem destruir completamente a estrutura hamiltoniana.

A interpretação física dos resultados obtidos por esses métodos exige atenção ao fato de que as soluções médias representam comportamentos estatísticos, e não trajetórias específicas. Portanto, o enfoque está na descrição das distribuições estacionárias e momentos estatísticos, que refletem o comportamento médio do sistema sob a influência do ruído fracionário. Entender essa perspectiva é fundamental para aplicar adequadamente os métodos a problemas práticos em física, engenharia e ciências aplicadas.

Como descrever sistemas quase-integráveis hamiltonianos excitados por ruído fracionário?

Em sistemas dinâmicos compostos por osciladores não ressonantes, onde os Hamiltonianos parciais $H_1$ e $H_2$ são periódicos nos planos completos $(q_1, p_1)$ e $(q_2, p_2)$ , respectivamente, e as frequências $\omega_1$ , $\omega_2$ não satisfazem relações de ressonância fraca do tipo $k_1\omega_1 + k_2\omega_2 = O(\varepsilon)$ , o sistema pode ser tratado como hamiltoniano quase-integrável e não ressonante. Neste contexto, aplica-se o método de média estocástica fracionária para descrever a evolução estocástica de seus invariantes dinâmicos.

A equação diferencial estocástica média obtida assume a forma:

dH_i = m_i(H_1, H_2)dt + \sum_{l=1}^{2} \sigma_{il}(H_1, H_2) dB_{Hl}(t), \quad i = 1, 2,

onde $B_{Hl}(t)$ são movimentos brownianos fracionários com índice de Hurst $H \in (1/2, 1)$ , e os coeficientes $m_i$ , $\sigma_{il}$ dependem das propriedades estruturais do sistema original. Esses coeficientes, obtidos a partir das equações de Itô fracionárias, expressam a dissipação média e a intensidade de excitação das variáveis de energia $H_1$ e $H_2$ , vinculadas à dinâmica dos dois osciladores desacoplados.

A partir da simulação de Monte Carlo das equações médias fracionárias, obtêm-se as densidades de probabilidade estacionárias conjuntas $p(h_1, h_2)$ , que, por transformações inversas definidas por:

h_1 = \frac{1}{2}(p_1^2 + \omega_1^2 q_1^2), \quad h_2 = \frac{1}{2}(p_2^2 + \omega_2^2 q_2^2),

permitem reconstruir a densidade de probabilidade estacionária conjunta $p(q_1, q_2, p_1, p_2)$ . Através de integrações marginais, obtêm-se as densidades $p(q_1, q_2)$ e momentos estatísticos como $E[Q_1^2]$ , $E[Q_2^2]$ .

Os resultados dessas simulações evidenciam boa concordância entre o sistema original e o modelo médio para valores do índice de Hurst próximos a $1/2$ . Entretanto, à medida que $H$ se aproxima de 1, aumenta o tempo de correlação do ruído fracionário (fGn), enquanto o tempo de relaxação do sistema permanece fixo. Isso leva a um aumento nos erros de aproximação, indicando a limitação da aplicabilidade do método de média estocástica nesse regime.

Como exemplo ilustrativo, considera-se um sistema composto por um oscilador de Van der Pol acoplado a um oscilador de Duffing, ambos excitados por ruído fracionário aditivo:

\begin{aligned}

&\ddot{X}_1 + (-\beta_1 + \alpha_1 X_1^2 + \alpha_2 X_2^4 + \alpha_3 \dot{X}_2^2)\dot{X}_1 + \omega^2 X_1 = \sqrt{2D_1} W_{H1}(t), \\ &\ddot{X}_2 + (\beta_2 + \alpha_4 X_1^2)\dot{X}_2 + k X_2^3 = \sqrt{2D_2} W_{H2}(t), \end{aligned}

\ddot{X}_{1} + (- β_{1} + α_{1} X_{1}^{2} + α_{2} X_{2}^{4} + α_{3} \dot{X}_{2}^{2}) \dot{X}_{1} + ω^{2} X_{1} = 2 D_{1} M1001 80h400000v40h-400000z"> W_{H 1} (t), \ddot{X}_{2} + (β_{2} + α_{4} X_{1}^{2}) \dot{X}_{2} + k X_{2}^{3} = 2 D_{2} W_{H 2} (t),

onde $W_{H1}(t)$ , $W_{H2}(t)$ são ruídos fracionários independentes. Após introduzir as variáveis canônicas $Q_i = X_i, P_i = \dot{X}_i$ , o sistema é reescrito como hamiltoniano quase-integrável excitado por fGn.

A Hamiltoniana tota

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