Como Definir Funções e Predicados no Isabelle/HOL: Entendendo o Processo de Definição e Prova Automática

No Isabelle/HOL, a definição de tipos, funções e predicados é um processo essencial para formalizar e provar propriedades matemáticas de forma rigorosa. Um exemplo básico de definição pode ser ilustrado pela criação de um tipo polimórfico, como o tipo ’a seq, que representa todas as sequências infinitas de valores provenientes de um domínio arbitrário $a$. Esta definição é, na verdade, um atalho para o tipo de todas as funções que mapeiam um número natural para um valor de $a$. A sintaxe dessa definição é a seguinte:

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type_synonym ’a seq = "nat ⇒ ’a"

A partir dessa definição, podemos introduzir o predicado binário isconst, que verifica se uma sequência mantém um valor constante $c$ em todas as suas posições. O predicado é definido como:

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definition isconst :: "’a ⇒ ’a seq ⇒ bool" where "isconst c s = (∀i::nat. s i = c)"

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definition cseq :: "’a ⇒ ’a seq" where "cseq c = (λi::nat. c)"

A formalização das sequências no Isabelle/HOL pode ser bastante detalhada, especialmente ao lidarmos com conceitos como a existência de um valor constante em uma sequência. A função vpos, definida da seguinte forma, encontra a posição de um valor $c$ dentro de uma sequência $s$:

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definition vpos :: "’a ⇒ ’a seq ⇒ nat" where "vpos c s = (SOME n::nat. (∃i::nat. s i = c) −→ s n = c)"

Aqui, a função vpos utiliza o operador de escolha SOME, que seleciona um valor $n$ que satisfaz a propriedade desejada. Essa definição pode ser usada para provar a afirmação do lema $S2$, que garante que se uma sequência não for diferente de $c$ em nenhuma de suas posições, então a posição retornada por vpos conterá o valor $c$.

Além disso, é importante notar que funções como const podem ser usadas para extrair o valor constante de uma sequência. A definição de const é dada por:

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definition const :: "’a seq ⇒ ’a" where "const s = (SOME c::’a. isconst c s)"

A função const retorna o valor $c$ que uma sequência constante $s$ mantém em todas as suas posições. A partir disso, podemos provar o lema $S3$, que afirma que a sequência cseq c retorna $c$ quando a função const é aplicada a ela.

No contexto das operações com sequências, é fundamental compreender como manipular essas definições e as suas propriedades, como a função addseq, que realiza a soma elemento por elemento de duas sequências:

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definition addseq :: "(’a::ring) seq ⇒ ’a seq ⇒ ’a seq" where "addseq s1 s2 = (λi::nat. (s1 i) + (s2 i))"

O tipo $’a::ring$ indica que o tipo $a$ deve ser um tipo de anel, ou seja, deve suportar operações como a soma. A partir dessa definição, podemos provar propriedades de adição de sequências constantes, como demonstrado pelo lema $S5$.

A abordagem utilizada em Isabelle/HOL envolve a construção de uma série de definições auxiliares e lemas que formam uma teoria em torno dos predicados e funções. Essas definições não apenas documentam o raciocínio, mas também são cruciais para a realização de provas automáticas. A prova automática pode ser facilitada por ferramentas como o "Sledgehammer", que invoca provadores automáticos de teoremas e solvers SMT, retornando scripts de provas que podem ser utilizados em etapas subsequentes do processo.

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type_synonym iset = "int set"

Ao formalizar o conceito de máximo de conjuntos, Isabelle/HOL permite introduzir predicados como ismax, que define o máximo de um conjunto, e hasmax, que verifica se um conjunto possui um máximo. A função max retorna o maior valor de um conjunto, se ele existir. A definição dessas operações permite formalizar e provar lemas sobre o comportamento do máximo em conjuntos de inteiros.

Por fim, é importante compreender que o sucesso das provas automáticas em Isabelle/HOL está intimamente ligado à precisão das definições e à construção de uma base sólida de lemas que orientam as provas. O uso inteligente de predicados e funções auxiliares permite que resultados complexos sejam alcançados de maneira eficiente e estruturada.

Como a Lógica Pode Garantir a Correção de Programas de Computador?

Com o avanço da computação no século XX, especialmente a partir dos anos 40, a complexidade dos problemas resolvidos por programas de computador aumentou exponencialmente. Esse progresso trouxe consigo a necessidade de garantir que os programas fossem não apenas eficientes, mas também corretos, isto é, que para cada entrada fornecida, o programa gerasse a saída esperada ou causasse o efeito desejado. Mas, como pode-se prever o comportamento de um programa sem executá-lo?

A solução para essa questão surgiu da observação de que, para bons programadores, não é necessário depender de tentativas e erros para escrever um código funcional. Ao contrário, programadores habilidosos empregam raciocínios lógicos para deduzir o comportamento de seus programas, baseando-se apenas no texto do código. Isso abre a possibilidade de formalizar esse processo de raciocínio de maneira lógica, permitindo que se preveja o comportamento do programa sem a necessidade de sua execução real.

Entretanto, o cálculo de Hoare não oferece uma estratégia explícita para a construção dessas deduções válidas. Esse ponto foi abordado em 1975, quando o cientista Edsger Dijkstra introduziu a “semântica do transformador de predicados”, fornecendo um algoritmo eficaz para derivar as condições de verificação adequadas, com base no cálculo das “pré-condições mais fracas” e, de maneira dual, nas “pós-condições mais fortes”. Este algoritmo tornou-se fundamental para a maioria dos sistemas de verificação de programas.

Embora o cálculo de Hoare defina a semântica de um programa de maneira implícita, utilizando regras que permitem provar a correção de um programa com base em especificações, em 1971 Dana Scott e Christopher Strachey introduziram a “semântica denotacional” dos programas, atribuindo-lhes significados explícitos com base na “teoria dos domínios” de Scott. Essa abordagem permitiu provar a validade e a completude do cálculo de Hoare em relação à semântica dos programas. Já nas décadas de 1980 e 1990, surgiram novas abordagens, como a “semântica operacional” de Gordon Plotkin e Gilles Kahn, na qual a semântica de um programa é definida por um sistema lógico de deduções cujas regras de inferência imitam os passos de execução do próprio programa. Isso possibilitou uma relação formal entre a denotação matemática de um programa e sua interpretação operacional.

Nos anos 70 e 80, também se desenvolveu a ideia de substituir linguagens de programação convencionais por uma lógica formal, funcionando como uma linguagem de programação de “alto nível”. Isso visava reduzir a distância entre a especificação do problema e sua implementação no código. A prova de completude da lógica de primeira ordem, de Gödel, mostrou que a própria lógica de primeira ordem é uma linguagem de programação completa, ou seja, qualquer computação pode ser expressa como a prova de uma fórmula de primeira ordem. No entanto, o custo de encontrar essa prova é extremamente alto, quando comparado à execução de um programa convencional. Como resultado, pesquisadores focaram em desenvolver mecanismos de execução eficientes para fragmentos da lógica de primeira ordem, culminando em linguagens de programação baseadas em lógica, como as linguagens “OBJ” de Joseph Goguen e a “Prolog” de Alain Colmerauer e Philippe Roussel.

Embora essas tentativas de usar a lógica diretamente como linguagem de programação não tenham substituído as linguagens convencionais, muitos princípios dessas abordagens influenciaram fortemente a evolução das linguagens de programação modernas. Por exemplo, os sistemas de tipos e a teoria da especificação de tipos de dados foram substancialmente influenciados pelas linguagens baseadas em tipos abstratos, como também a pesquisa em raciocínio automático sobre teorias equacionais.