A homogeneização é uma técnica essencial para garantir que as dinâmicas de sistemas multiagentes (MAS) com perturbações não lineares e heterogêneas se tornem homogêneas, possibilitando o controle coletivo entre os agentes. Originalmente, a homogeneização foi aplicada em sistemas lineares, onde as dinâmicas dos agentes eram descritas por desvios de um modelo nominal homogêneo. Isso foi explorado em [1], onde a heterogeneidade dos agentes foi compensada utilizando um controlador baseado em observador. No entanto, a compensação de heterogeneidades em sistemas não lineares e incertos requer uma abordagem mais robusta, que é frequentemente implementada por meio de técnicas adaptativas.

Embora a homogeneização de sistemas lineares tenha sido bem compreendida, a adaptação de técnicas para sistemas não lineares e com perturbações heterogêneas é mais desafiadora. O método de homogeneização discutido nesta seção é aplicável a cenários simples, com dinâmicas de primeira e segunda ordem, onde a perturbação incerta é constante no estado estacionário. A robustez do método se baseia nos resultados desenvolvidos em [2], que tratam de homogeneização robusta e consenso em sistemas multiagentes não lineares. A principal característica deste processo é sua capacidade de integrar a compensação da perturbação com a criação de um controle de consenso entre os agentes, de modo a garantir um comportamento coletivo desejado.

A técnica adaptativa de homogeneização envolve uma atualização dinâmica da lei de controle para lidar com as incertezas temporais e a natureza não linear das perturbações. Para sistemas descritos por dinâmicas como a de (6.1), que inclui incertezas, uma estratégia eficaz é adotar o princípio de equivalência de certeza. Esse princípio sugere que, embora as dinâmicas dos agentes sejam incertas, o controlador pode ser projetado como se conhecesse os parâmetros exatos do sistema. Isso implica que o controlador se comporta como se tivesse informações completas sobre os parâmetros do sistema, mesmo que esses parâmetros sejam, na prática, desconhecidos.

A separação entre o controlador de consenso e a lei adaptativa de homogeneização é um ponto crucial. O controlador de consenso é projetado com base na suposição de que os parâmetros do sistema são conhecidos, enquanto a lei adaptativa, que visa lidar com a incerteza das perturbações não lineares, opera de maneira independente. A interação entre essas duas componentes — o controlador de consenso e o controlador adaptativo — permite que os agentes se comportem de maneira coletiva, mesmo na presença de incertezas. Esse processo de compensação das heterogeneidades, através de um controlador adaptativo, é o que chamamos de homogeneização adaptativa.

Uma parte fundamental do processo é o ajuste da lei adaptativa para lidar com as perturbações não lineares representadas por gi(si,wi)g_i(s_i, w_i) nos sistemas multiagentes. A heterogeneidade das perturbações pode ser complexa e variável ao longo do tempo, o que exige que o controlador adaptativo seja flexível e capaz de responder a mudanças no comportamento do sistema. Isso implica que o controlador adaptativo deve ser capaz de ajustar os parâmetros de forma contínua, considerando a evolução da dinâmica dos agentes e a interação entre eles.

O controle de consenso em sistemas com incertezas é tratado de forma independente da lei adaptativa, mas é, ao mesmo tempo, intrinsecamente relacionado. O consenso é alcançado com a suposição de que as perturbações não lineares são compensadas pela lei adaptativa. O sistema resultante, portanto, consiste em dois componentes: um controlador de consenso, que visa alinhar o comportamento dos agentes, e um controlador adaptativo, que ajusta as dinâmicas individuais dos agentes para contrabalançar as incertezas e perturbações.

É importante ressaltar que, enquanto a técnica de homogeneização adaptativa foi aplicada com sucesso a sistemas multiagentes com perturbações constantes em estado estacionário, ela pode ser estendida a cenários mais complexos, onde as perturbações podem variar ao longo do tempo. Para sistemas em que gi(si,wi)g_i(s_i, w_i) depende explicitamente do tempo, a lei adaptativa ainda pode ser eficaz, desde que a função associada seja diferenciável e as mudanças sejam tratadas de maneira contínua.

A homogeneização adaptativa é um avanço significativo na área de controle de sistemas multiagentes, permitindo que sistemas complexos com perturbações não lineares se comportem de forma coordenada e eficiente. Para implementar com sucesso essas técnicas, os engenheiros devem entender que a separação entre o controle de consenso e a lei adaptativa é crucial. Além disso, a capacidade de ajustar dinamicamente os parâmetros do controlador adaptativo é fundamental para lidar com a natureza incerta e variável das dinâmicas dos sistemas.

Em termos de aplicação prática, a homogeneização adaptativa oferece uma abordagem poderosa para sistemas distribuídos, onde os agentes precisam operar em conjunto, apesar das incertezas e da heterogeneidade nas suas dinâmicas. A flexibilidade da técnica adaptativa permite que ela seja aplicada a uma ampla gama de problemas em sistemas de controle, desde redes de sensores até sistemas de veículos autônomos ou robôs colaborativos.

Além disso, é importante que os leitores compreendam que, ao implementar a homogeneização adaptativa, a interação entre o controlador de consenso e o controlador adaptativo deve ser tratada com cuidado. A eficácia do sistema depende não apenas da precisão com que as perturbações são compensadas, mas também da maneira como os agentes comunicam e coordenam suas ações dentro de uma rede distribuída.

Como Resolver o Problema de Estabilização de Entrada para Estado em Sistemas Multiagente

No estudo da estabilização de entrada para estado, buscamos uma forma de garantir que, independentemente das condições iniciais ou dos parâmetros de entrada, um sistema de múltiplos agentes atinja um estado estável de acordo com as suas dinâmicas de controle. Através de uma análise detalhada, podemos compreender como os subsistemas influenciam uns aos outros, sendo possível alcançar uma coordenação eficiente entre os agentes e, assim, sincronizar suas saídas.

Primeiramente, no subsistema de εk\varepsilon_k, observamos que MkM_k é Hurwitz, o que implica que existe uma função de Lyapunov quadrática Uk(εk)=εkTSkεkU_k(\varepsilon_k) = \varepsilon_k^T S_k \varepsilon_k, onde Sk>0S_k > 0 é uma matriz definida positiva que satisfaz a equação de Lyapunov SkMk+MkTSk=−2IS_k M_k + M_k^T S_k = -2I. A derivada temporal de Uk(εk)U_k(\varepsilon_k) ao longo da trajetória do subsistema εk\varepsilon_k é dada por:

U˙k(εk)≤−2∣∣εk∣∣2+2εkTSkζ^k(z0,ε−k,Zk,d,μ)\dot{U}_k(\varepsilon_k) \leq -2 ||\varepsilon_k||^2 + 2 \varepsilon_k^T S_k \hat{\zeta}_k(z_0, \varepsilon_{ -k}, Z_k, d, \mu)

onde ζ^k\hat{\zeta}_k representa uma função suave que depende de variáveis externas como z0z_0, ε−k\varepsilon_{ -k}, ZkZ_k e dd. Esse tipo de desigualdade é derivado com base nas propriedades de Lyapunov, utilizando desigualdades adicionais que são úteis nas etapas subsequentes da prova.

Além disso, ao aplicarmos o Teorema 2.4 a uma função positiva definida e radialmente não limitada Uk(εk)U_k(\varepsilon_k), podemos garantir que sua derivada satisfaz a seguinte desigualdade:

U˙k(εk)≤−∇k(εk)∣∣εk∣∣2+τ1k(χk−1)∣∣χk−1∣∣2+τ2k(Zk)∣∣Zk∣∣2+τ3k(μ)∣∣μ∣∣2\dot{U}_k(\varepsilon_k) \leq - \nabla_k(\varepsilon_k) ||\varepsilon_k||^2 + \tau_1k(\chi_{k-1}) ||\chi_{k-1}||^2 + \tau_2k(Z_k) ||Z_k||^2 + \tau_3k(\mu) ||\mu||^2

onde τ1k\tau_1k, τ2k\tau_2k, e τ3k\tau_3k são funções suaves que garantem o comportamento desejado da solução.

No estudo do subsistema ZkZ_k, existem funções suficientemente suaves, como π1k\pi_1k, π2k\pi_2k, π3k\pi_3k e π4k\pi_4k, que controlam o comportamento das variáveis dependentes de ZkZ_k. A derivada temporal de 12∣∣Zk∣∣2\frac{1}{2} ||Z_k||^2 ao longo da trajetória do subsistema ZkZ_k nos leva a uma forma geral que pode ser escrita como:

Z˙k≤π21k(χk−1)∣∣χk−1∣∣2+π22k(Zk)∣∣Zk∣∣2+π23k(μ)∣∣μ∣∣2+π4k(Zk)∣∣Zk∣∣2−bk(w)2Zkρk(2Zk)\dot{Z}_k \leq \pi_2^1k(\chi_{k-1}) ||\chi_{k-1}||^2 + \pi_2^2k(Z_k) ||Z_k||^2 + \pi_2^3k(\mu) ||\mu||^2 + \pi_4k(Z_k) ||Z_k||^2 - b_k(w) 2Z_k \rho_k(2Z_k)

A função Vk(χk)V_k(\chi_k), definida como a soma de funções de Lyapunov de subsistemas interligados, é positiva definida e radialmente não limitada. A partir desta função, pode-se concluir a estabilidade global do sistema, levando à estabilização do estado.

Através do uso da indução matemática, demonstramos que o tempo derivado da função Vk(χk)V_k(\chi_k) segue uma desigualdade que garante a convergência do sistema para um estado estável. Isso é fundamental para entender como a estratégia de estabilização de entrada para estado pode ser aplicada a sistemas mais complexos com múltiplos subsistemas.

Como exemplo prático, consideremos um sistema de seis agentes que tentam sincronizar seus estados em um problema de controle não linear. As dinâmicas desses agentes são governadas por um conjunto de equações diferenciais não lineares:

x˙0,i=−0.9x0,i+x1,i,x˙1,i=w1,ix1,i+x2,i,x˙2,i=0.9w1,i(x1,i−x0,i)−0.09x1,i−0.8w2,ix2,i+ui\dot{x}_{0,i} = -0.9x_{0,i} + x_{1,i}, \quad \dot{x}_{1,i} = w_{1,i} x_{1,i} + x_{2,i}, \quad \dot{x}_{2,i} = 0.9w_{1,i}(x_{1,i} - x_{0,i}) - 0.09x_{1,i} - 0.8w_{2,i}x_{2,i} + u_i

Esse exemplo ilustra como as dinâmicas do sistema podem ser manipuladas para garantir a sincronização das saídas de todos os agentes. A solução do problema de estabilização de entrada para estado pode ser aplicada através de um controlador que leva em conta o modelo de referência de cada agente, como mostrado em exemplos anteriores. O controlador definido pelas equações diferenciais auxiliares garante que o sistema atinja a sincronização desejada.

Além disso, a aplicação prática de tais controladores mostra que os parâmetros ρk\rho_k podem ser ajustados de forma a melhorar a eficiência do controle, ao mesmo tempo em que minimizam o impacto de valores excessivamente grandes de ρk\rho_k. Em simulações, o comportamento do sistema revela que, mesmo com ajustes nos parâmetros, os agentes podem alcançar a sincronização e seguir padrões de saída desejados.

Através desses exemplos, fica claro que a teoria de estabilização de entrada para estado pode ser efetivamente aplicada a sistemas multiagente, proporcionando uma solução robusta para problemas de controle e sincronização em cenários complexos.

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