Jakie są zasady i techniki analizy układów przestrzennych, uwzględniające zjawisko wyboczenia?

W kontekście rozważań nad metodą elementów skończonych i jej zastosowaniem do analizy wyboczenia konstrukcji, kluczowe jest, aby model numeryczny lub model elementów skończonych, który wykorzystujemy, konsekwentnie odwzorowywał zachowanie analizowanej struktury. Z teoretycznego punktu widzenia, jeżeli jesteśmy w stanie opisać dany problem przy użyciu modelu elementów skończonych, powinniśmy również móc opisać ten problem za pomocą odpowiadającego zbioru równań różniczkowych, warunków ciągłości oraz warunków brzegowych. Zanim jednak zastosujemy jakiekolwiek kryteria, jak te przedstawione w rozdziale 3, do testowania zasadności modelu elementów skończonych, powinniśmy być w stanie zastosować te same kryteria do sprawdzenia zasadności równań różniczkowych, warunków ciągłości i warunków brzegowych, które stanowią podstawę dla modelu elementów skończonych.

Zatem, gdy mówimy o zasadności modelu numerycznego, musimy uprzednio upewnić się, że przyjęte równania mechaniki, na których opiera się dany model, są spójne. Tylko wtedy, gdy będziemy pewni o spójności tych podstawowych równań mechaniki, możemy rozważać zasadność samego modelu numerycznego, traktowanego jako przybliżenie. W kontekście tego rozważania, metoda elementów skończonych jest jedynie numerycznym substytutem podstawowych równań mechanicznych. W związku z tym, konieczne jest wyznaczenie pewnych problemów referencyjnych przy użyciu najprostszych równań mechanicznych, które mogą posłużyć za punkt odniesienia w dalszych analizach.

Analiza tych podstawowych równań pozwala na bezpośrednie przekształcenie wyników uzyskanych w badaniach analitycznych na procedury stosowane w metodzie elementów skończonych, co w konsekwencji umożliwia lepsze zrozumienie i wyjaśnienie niejednoznaczności, które mogą pojawić się w symulacjach numerycznych. Dodatkowo, rozwiązania uzyskane analitycznie mogą stanowić punkt wyjścia do kalibracji rozwiązań numerycznych uzyskanych przy użyciu innych metod.

Jako część tego podejścia, przeprowadzono szereg badań analitycznych nad wyboczeniem prostych ram płaskich, które mogą się wyginać na boki lub poza płaszczyznę ramy. W następnych rozdziałach omówione zostaną przypadki pojedynczych elementów oraz ram składających się z dwóch członów. Materiały zaprezentowane w tej części książki bazują na wcześniejszych pracach autora i jego współpracowników, ale starają się dodać nowe podejście do przedstawienia równań statycznych i kinematycznych oraz równań dla sił przekroju, które będą podstawą do sformułowania teorii wyboczenia dla trójwymiarowych belek sztywnych.

Podejście inżynierskie, które będzie szczegółowo omówione, uwzględnia tylko trzy składniki odkształceń i naprężeń, co wynika z doświadczenia inżyniera i oceny sensowności takich założeń. Dzięki odpowiednim założeniom dotyczącym momentów zginających i momentów skręcających w zdeformowanej konfiguracji, możliwe będzie wyprowadzenie ostatecznego równania pracy wirtualnej oraz odpowiadającego mu elementu skończonego. Takie podejście zostało wybrane ze względu na jego prostotę i elegancję, chociaż istnieje alternatywne podejście oparte na teorii elastyczności, które uwzględnia wszystkie sześć składników odkształceń i naprężeń.

Wyboczenie układów przestrzennych jest znacznie bardziej skomplikowane niż wyboczenie pojedynczych elementów, ponieważ wiąże się z trójwymiarowymi rotacjami. Równania statyczne i kinematyczne przedstawione w poprzednich sekcjach stanowią podstawę dla wyprowadzenia formuł dla belek sztywnych, które będą wykorzystywane w analizie trójwymiarowych układów przestrzennych. Ważne jest także rozróżnienie pomiędzy początkową a wyboczoną konfiguracją elementów konstrukcyjnych, co jest niezbędne w analizie trójwymiarowej.

Ważnym etapem analizy jest rozdzielenie analizy na dwie fazy: fazę przedwyboczeniową, w której odkształcenia są małe i geometria zmienia się w sposób nieistotny, oraz fazę wyboczeniową, w której występują duże deformacje, wywołane niewielką zmianą obciążenia. Takie podejście pozwala na odpowiednie modelowanie procesów wyboru układów przestrzennych w odpowiednich warunkach obciążenia.

Jak skutecznie przeprowadzić analizę nieliniową strukturalną z użyciem macierzy sztywności geometrycznej?

W analizach nieliniowych, zwłaszcza w kontekście aktualizowanego typu Lagrange'a, kluczową rolę odgrywa etap predyktora oraz korektora, które wpływają na precyzję obliczeń. Ich odpowiednie zastosowanie pozwala na dokładniejsze odwzorowanie zachowań struktury, zwłaszcza w przypadku, gdy elementy poddawane są początkowym naprężeniom, które mogą wpłynąć na ich dalszą deformację. Odpowiednie obliczenia, zwłaszcza w odniesieniu do naprężeń i sił działających na węzły struktury, są niezbędne do uzyskania wiarygodnych wyników.

Podstawowym zagadnieniem w metodzie predyktora jest wybór odpowiednich macierzy sztywności, które mogą być przybliżone, ale w taki sposób, aby nie wprowadzić błędów w kierunku iteracji. Wśród tych macierzy wyróżnia się macierze sztywności elastycznej oraz sztywności geometrycznej, takie jak [kg]r.b. i [kg]TPE, które służą do modelowania sztywności rotacyjnej elementów sztywnych, np. belek czy trójwymiarowych elementów płaskich. Podczas analizy musimy uwzględnić nie tylko sztywność elastyczną, ale także sztywność geometryczną, aby odpowiednio odwzorować deformacje, które mogą wystąpić w wyniku początkowych naprężeń. Takie podejście pozwala na uzyskanie bardziej precyzyjnych wyników, które są zgodne z rzeczywistym zachowaniem materiału poddawanego działaniu sił.

Analizując wyniki otrzymywane z takich obliczeń, możemy przejść do obliczenia sił niezrównoważonych {R}, które pozwalają na ocenę, czy wymagane są kolejne iteracje w procesie analizy. Wartość tych sił pozwala określić, czy struktura osiągnęła stan równowagi, czy konieczne jest dalsze poprawianie wyników za pomocą kolejnych etapów predyktora i korektora.

Również w kontekście wybranych kombinacji predyktora i korektora istnieje kilka strategii, które mogą zostać zastosowane w zależności od rodzaju analizowanej struktury. W przypadku przestrzennych ram, należy wybrać odpowiednią macierz sztywności dla predyktora, uwzględniając różne warianty, takie jak połączenie sztywności elastycznej i geometrycznej lub dodanie macierzy indukowanego momentu. W przypadku płyt i powłok, stosowanie elementu TRIC, który daje dokładniejsze wyniki dla tego typu analiz, może stanowić dobrą alternatywę.

W badaniach numerycznych, w szczególności w testach wykonanych dla jednego belki poddanej momentowi, pokazano różne schematy predyktora i korektora. Eksperymenty wykazały, że stosowanie odpowiednich kombinacji pozwala na uzyskanie wyników zbliżonych do tych uzyskanych metodą elastycznej sztywności geometrycznej. Z kolei różnice w czasie obliczeń między poszczególnymi schematami mogą wpływać na efektywność całego procesu, co powinno zostać uwzględnione przy projektowaniu takich analiz.

Warto zauważyć, że przy wyborze metod predyktora i korektora należy brać pod uwagę specyfikę badanej struktury oraz rodzaj obciążeń, jakie na nią działają. Dzięki elastyczności w doborze macierzy sztywności i metod iteracyjnych, możliwe jest uzyskanie dokładnych wyników przy jednoczesnym minimalizowaniu czasu obliczeń. Jednakże, w przypadku bardziej złożonych struktur, jak ramy przestrzenne czy płyty, stosowanie bardziej zaawansowanych elementów, takich jak TRIC, może znacząco podnieść dokładność uzyskanych rozwiązań.

Jednym z kluczowych aspektów, który często umyka podczas analiz nieliniowych, jest kontrolowanie efektywności obliczeń poprzez metody takie jak metoda kontrolowania przemieszczeń (GDC). Umożliwia ona automatyczne dopasowanie wielkości przyrostów obciążeń do zmieniającej się sztywności struktury, co jest szczególnie istotne w przypadku struktur, które przechodzą przez punkty krytyczne w odpowiedzi na obciążenia, jak np. przy bucklingu. Takie podejście pozwala na dokładne śledzenie reakcji struktury, unikając jednocześnie problemów związanych z niekontrolowanymi wzrostami przyrostów obciążeń, co może prowadzić do błędów w analizie.