Jak znaleźć rzut wektora, jego składowe i kąty kierunkowe względem innego wektora?

Rozpatrując przestrzeń trójwymiarową, niezwykle istotne jest rozumienie relacji kierunkowych między wektorami. Wektor jednostkowy, którego długość wynosi 1, stanowi punkt wyjścia do zdefiniowania tzw. cosinusów kierunkowych. Z definicji długości wektora wynika, że suma kwadratów cosinusów jego kątów kierunkowych względem osi kartezjańskich równa się 1:
cos²α + cos²β + cos²γ = 1.

Te trzy kąty – α, β, γ – to kąty między danym wektorem a osiami x, y i z. Znalezienie ich umożliwia pełne określenie orientacji wektora w przestrzeni.

Aby wyznaczyć cosinusy kierunkowe i kąty kierunkowe konkretnego wektora, np.
a = 2i + 5j + 4k,
należy podzielić każdą ze składowych przez długość tego wektora.
Długość wektora a to √(2² + 5² + 4²) = √(4 + 25 + 16) = √45.
Stąd cosinusy kierunkowe wynoszą odpowiednio:
cosα = 2/√45, cosβ = 5/√45, cosγ = 4/√45.
Kąty kierunkowe uzyskuje się z odwrotności funkcji cosinus:
α = arccos(2/√45), itd.

Istotnym aspektem analizy wektorowej jest także możliwość rozkładu wektora na jego składowe względem innych wektorów bazowych. Dla wektora
a = a₁i + a₂j + a₃k
można zapisać, że:
a₁ = a · i, a₂ = a · j, a₃ = a · k,
czyli każda ze składowych jest iloczynem skalarnym wektora a z odpowiednią jednostką kierunkową. Uogólniając, komponent wektora a w kierunku dowolnego wektora b można znaleźć poprzez rzutowanie a na kierunek jednostkowy wektora b.

Jeśli θ jest kątem między wektorami a i b, wówczas składowa wektora a w kierunku b dana jest przez:
comp_b a = |a| cosθ,
co wynika bezpośrednio z definicji rzutu. Można to również zapisać jako:
comp_b a = (a · b̂),
gdzie b̂ to wektor jednostkowy w kierunku b.

Załóżmy, że a = 2i + 3j − 4k, a b = i + j + 2k. Aby obliczyć składową a w kierunku b, najpierw wyznaczamy jednostkowy wektor w kierunku b:
|b| = √(1² + 1² + 2²) = √6, więc
b̂ = (1/√6)i + (1/√6)j + (2/√6)k.
Teraz obliczamy iloczyn skalarny:
a · b̂ = (2)(1/√6) + (3)(1/√6) + (−4)(2/√6) = (2 + 3 − 8)/√6 = −3/√6.

Rzut wektora a na b to zatem:
proj_b a = (a · b̂) b̂ = (−3/√6) b̂ = −3/6 b = −0.5 b.
Ten wynik oznacza, że rzut a na b jest skierowany przeciwnie do b i stanowi połowę jego długości.

Wektory można rzutować nie tylko na kierunki jednostkowe osi, ale też na dowolny inny wektor. Rzut ten jest wektorem o tym samym kierunku co wektor bazowy b, ale długości równej długości komponentu a w tym kierunku. Zatem:
proj_b a = [(a · b) / (|b|²)] b.
Wektor wynikowy wskazuje część wektora a, która jest zgodna kierunkowo z b.

W analizie fizycznej iloczyn skalarny znajduje istotne zastosowanie przy obliczaniu pracy. Gdy siła F działa na ciało, które przemieszcza się o wektor d, a kierunek siły i przemieszczenia się nie pokrywają, wykonana praca wynosi:
W = F · d = |F||d| cosθ.
Innymi słowy, tylko składowa siły zgodna z kierunkiem przemieszczenia uczestniczy w pracy. Jeśli F i d są danego kierunku, W = |F||d|. Jeśli przeciwnych, W jest ujemne, a jeśli są prostopadłe, W = 0 – nie wykonano pracy.

Przykład: F = 2i + 4j, przesunięcie z punktu P₁(1,1) do P₂(4,6), więc
d = (4−1)i + (6−1)j = 3i + 5j.
Iloczyn skalarny: W = (2)(3) + (4)(5) = 6 + 20 = 26.
Zatem wykonano pracę 26 Nm.

Rozumienie zależności między wektorami – poprzez komponenty, rzuty, kąty kierunkowe i iloczyn skalarny – otwiera dostęp do szerokiej klasy zagadnień geometrycznych i fizycznych.

Jak obliczyć momenty bezwładności i masy laminy za pomocą całek podwójnych w układzie biegunowym?

W kontekście mechaniki, obliczanie momentu bezwładności dla różnych kształtów powierzchni jest fundamentalnym zagadnieniem w wielu dziedzinach inżynierii i fizyki. Jednym z narzędzi wykorzystywanych do takich obliczeń jest całka podwójna w układzie współrzędnych biegunowych. Stosowanie tej metody może znacznie uprościć obliczenia, szczególnie w przypadkach, gdy geometria obiektu jest bardziej skomplikowana, a jego granice są opisane funkcjami trygonometrycznymi. Przeanalizujemy to na przykładzie laminy – cienkiej warstwy materiału o zmiennej gęstości, której momenty bezwładności oraz inne właściwości geometryczne obliczamy za pomocą całek podwójnych.

Rozważmy przykładową lamina, której przekrój poprzeczny jest opisany krzywymi eliptycznymi i parabolicznymi. Jej moment bezwładności względem osi x, przy założeniu jednorodnej gęstości, można obliczyć przy pomocy całki podwójnej. Moment bezwładności to wielkość, która opisuje rozkład masy względem osi obrotu i jest definiowana jako całka z iloczynu kwadratów odległości od osi obrotu oraz funkcji gęstości wzdłuż obszaru. Wzór ogólny na moment bezwładności wyraża się następująco:

$I_x = \int\int_{R} y^2 \rho(x,y) \, dA$

gdzie $\rho(x,y)$ to funkcja gęstości masy w punkcie $(x, y)$, a $dA$ to element powierzchni w układzie współrzędnych kartezjańskich. Gdy obszar $R$ jest bardziej skomplikowany i wykracza poza klasyczną geometrię prostokątną, stosowanie współrzędnych biegunowych okazuje się być efektywnym rozwiązaniem. W układzie tym współrzędne $r$ i $\theta$ są naturalnym sposobem opisu obiektów o symetrii radialnej.

Przechodząc do układu biegunowego, moment bezwładności dla laminy wyrażamy za pomocą następującej formuły:

$I_x = \int\int_{R} r^2 \sin^2(\theta) \rho(r, \theta) \, r \, dr \, d\theta$

gdzie $r$ to odległość punktu od początku układu współrzędnych, a $\theta$ to kąt pomiędzy osią $x$ a promieniem $r$. Współrzędne biegunowe są szczególnie przydatne w przypadku, gdy granice obszaru $R$ są opisane funkcjami trygonometrycznymi, takimi jak $r = g_1(\theta)$ i $r = g_2(\theta)$.

W przypadku bardziej złożonych problemów, takich jak obliczanie momentu bezwładności dla laminy o zmiennej gęstości, konieczne jest uwzględnienie odpowiedniej funkcji gęstości $\rho(r, \theta)$. Gęstość może być zarówno funkcją stałą, jak i zmienną w zależności od odległości od osi obrotu, jak ma to miejsce w zadaniu, gdzie gęstość zależy odwrotnie proporcjonalnie od kwadratu odległości od początku układu współrzędnych.

Równocześnie, w zadaniach takich jak obliczanie masy laminy czy jej środka masy, przydatne staje się użycie odpowiednich całek podwójnych w układzie biegunowym, aby znaleźć odpowiednią wartość momentu masy i analizować właściwości rozkładu masy w przestrzeni. Współrzędne biegunowe pozwalają na znaczne uproszczenie obliczeń w przypadku kształtów o symetrii promieniowej, takich jak koła, okręgi, pierścienie czy powierzchnie przypominające róże.

Przykład 1: Obliczenie środka masy laminy, której kształt jest opisany przez jedną płatek róży $r = 2 \sin(2\theta)$, gdzie gęstość w punkcie $P$ jest proporcjonalna do odległości od początku układu współrzędnych, można przeprowadzić za pomocą następującej formuły:

gdzie $M$ to całkowita masa laminy, a $x$ oraz $y$ to współrzędne środka masy.

Pomimo tego, że metoda całek podwójnych w układzie biegunowym jest bardzo efektywna, ważne jest, aby rozumieć, w jaki sposób granice całkowania, zmienne $r$ i $\theta$, a także funkcja gęstości wpływają na ostateczny wynik. Współrzędne biegunowe umożliwiają efektywne modelowanie obiektów o symetrii promieniowej, jednak w przypadkach o bardziej złożonej geometrii, jak np. dla laminy o kształcie parabolicznym, niezbędne mogą być dodatkowe modyfikacje układu współrzędnych.

Warto również zwrócić uwagę na istotne kwestie związane z symetrią problemu. W przypadku wielu zadań dotyczących momentów bezwładności, symetria obiektu względem osi może znacznie uprościć obliczenia. Na przykład, jeżeli obiekt jest symetryczny względem osi, wtedy momenty bezwładności względem różnych osi mogą być równe, co wynika z faktu, że wszystkie elementy masy są rozmieszczone w równych odległościach od tych osi.

Jakie są podstawowe właściwości liczb zespolonych i jak je wykorzystać w obliczeniach?

Zgodnie z przedstawionym w rysunku 17.1.2, suma wektorów $z_1$ i $z_2$ jest wektorem $z_1 + z_2$. W przypadku trójkąta, którego boki odpowiadają wektorom $z_1$ oraz $z_2$, długość boku odpowiadającego wektorowi $z_1 + z_2$ nie może być większa niż suma długości dwóch pozostałych boków. W zapisie matematycznym jest to wyrażone jako nierówność trójkąta:

Ta nierówność, znana jako nierówność trójkąta, rozciąga się na sumę dowolnej liczby wektorów:

Podobnie, stosując powyższą nierówność na wektory $z_1 + z_2 + (-z_2)$, uzyskujemy kolejną istotną nierówność.

Warto zauważyć, że wiele właściwości układów rzeczywistych znajduje również swoje odpowiedniki w układach zespolonych, jednakże pojawiają się także istotne różnice. Na przykład, nie możemy porównywać dwóch liczb zespolonych $z_1 = x_1 + i y_1$, gdzie $y_1 \neq 0$, i $z_2 = x_2 + i y_2$, gdzie $y_2 \neq 0$, za pomocą nierówności takich jak $z_1 < z_2$ lub $z_2 \geq z_1$. Takie porównania mają sens jedynie w przypadku, gdy obie liczby zespolone są liczbami rzeczywistymi. Możemy jednak porównywać wartości bezwzględne dwóch liczb zespolonych. Na przykład, dla $z_1 = 3 + 4i$ i $z_2 = 5 - i$, obliczając wartości bezwzględne:

Stwierdzamy, że $|z_1| < |z_2|$, co oznacza, że punkt $(3, 4)$ jest bliższy początku układu współrzędnych niż punkt $(5, -1)$.

Ponadto, w rozważaniach związanych z liczbami zespolonymi i ich własnościami, nie możemy zapominać, że liczby zespolone można przedstawić na płaszczyźnie zespolonej, co daje możliwość geometrii i intuicyjnego rozumienia ich relacji. Moduł liczby zespolonej jest miarą jej odległości od początku układu współrzędnych, a argument to kąt, który liczba zespolona tworzy z dodatnią osią rzeczywistą.

Kiedy przechodzimy do bardziej zaawansowanych obliczeń, takich jak mnożenie, dzielenie, potęgowanie czy wyciąganie pierwiastków z liczb zespolonych, forma biegunowa okazuje się niezwykle pomocna. Jeśli liczba zespolona $z$ wyrażona jest w postaci biegunowej:

gdzie $r$ to moduł liczby, a $\theta$ to jej argument, to operacje takie jak mnożenie i dzielenie stają się prostsze. W przypadku mnożenia dwóch liczb zespolonych $z_1 = r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$ i $z_2 = r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$, wynik można obliczyć jako:

Analogicznie, dla dzielenia:

Takie operacje są niezwykle wygodne i pozwalają na szybkie obliczenia, zwłaszcza w przypadkach, gdy liczby zespolone są w postaci biegunowej. Warto zwrócić uwagę, że wyniki operacji takich jak mnożenie czy dzielenie liczb zespolonych są bezpośrednio związane z ich argumentami oraz modułami, co pozwala na ich efektywniejsze przetwarzanie.

W przypadku potęgowania liczb zespolonych, również forma biegunowa jest bardzo użyteczna. Jeśli liczba zespolona $z$ jest zapisana w postaci $z = r (\cos \theta + i \sin \theta)$, to jej n-ta potęga jest obliczana według wzoru:

Z kolei dla wyciągania pierwiastków z liczb zespolonych, także stosujemy formułę:

gdzie $k = 0, 1, 2, ..., n-1$, co daje nam $n$ różnych pierwiastków zespolonych o tej samej wartości bezwzględnej, ale różnych argumentach.

Istotną rzeczą, którą należy zapamiętać, jest to, że liczby zespolone, mimo iż mogą być reprezentowane graficznie i operacje na nich są intuicyjnie zrozumiałe, nadal wymagają precyzyjnych obliczeń matematycznych. Oczywiście, wszystkie te operacje i ich zastosowanie wymagają solidnej znajomości teorii liczb zespolonych oraz ich reprezentacji w różnych postaciach.

Jakie warunki muszą zostać spełnione, aby istniało jednoznaczne rozwiązanie problemu początkowego i jak radzić sobie z problemami brzegowymi?

W sekcji 1.2 przedstawiliśmy twierdzenie, które podaje warunki, pod którymi gwarantowana jest istnienie i jednoznaczność rozwiązania problemu początkowego pierwszego rzędu. Twierdzenie, które następuje, daje wystarczające warunki do istnienia i jednoznaczności rozwiązania problemu (1).

Twierdzenie 3.1.1. Istnienie jednoznacznego rozwiązania
Niech funkcje an(x), an−1(x), …, a1(x), a0(x) oraz g(x) będą ciągłe na pewnym przedziale I, a an(x) ≠ 0 dla każdego x z tego przedziału. Jeśli x = x0 jest dowolnym punktem na tym przedziale, to rozwiązanie y(x) problemu początkowego (1) istnieje na tym przedziale i jest jednoznaczne.

Przykład 1. Jednoznaczne rozwiązanie problemu początkowego
Problem początkowy:
3y‴ + 5y″ − y′ + 7y = 0, y(1) = 0, y′(1) = 0, y″(1) = 0
posiada rozwiązanie trywialne y = 0. Ponieważ równanie trzeciego rzędu jest liniowe z stałymi współczynnikami, spełnione są wszystkie warunki Twierdzenia 3.1.1. Stąd y = 0 jest jedynym rozwiązaniem na każdym przedziale zawierającym x = 1.

Przykład 2. Jednoznaczne rozwiązanie problemu początkowego
Należy zweryfikować, że funkcja y = 3e2x + e−2x − 3x jest rozwiązaniem problemu początkowego:
y″ − 4y = 12x, y(0) = 4, y′(0) = 1.
Równanie różniczkowe jest liniowe, współczynniki oraz funkcja g(x) = 12x są ciągłe, a a2(x) = 1 ≠ 0 na każdym przedziale I zawierającym x = 0. Z Twierdzenia 3.1.1 wnioskujemy, że podana funkcja jest jedynym rozwiązaniem na I.

Warunki Twierdzenia 3.1.1, które mówią, że funkcje ai(x), i = 0, 1, 2, …, n muszą być ciągłe, a an(x) ≠ 0 dla każdego x w I, są istotne. Konkretnie, jeśli an(x) = 0 dla pewnego x w przedziale, to rozwiązanie problemu początkowego może nie być jednoznaczne, a nawet może nie istnieć. Na przykład, należy zweryfikować, że funkcja y = cx² + x + 3 jest rozwiązaniem problemu początkowego:
x²y″ − 2xy′ + 2y = 6, y(0) = 3, y′(0) = 1
na przedziale (−∞, ∞) dla dowolnego wyboru parametru c. Innymi słowy, nie ma jednoznacznego rozwiązania tego problemu. Mimo że większość warunków Twierdzenia 3.1.1 jest spełniona, oczywistymi trudnościami są fakt, że a₂(x) = x² jest zerowe w x = 0 oraz że warunki początkowe są również nakładane w x = 0.

Problem brzegowy
Innym rodzajem problemu jest rozwiązanie równania różniczkowego liniowego drugiego rzędu lub wyższego, w którym zmienna zależna y lub jej pochodne są określone w różnych punktach. Problem taki nazywamy problemem brzegowym dwóch punktów, lub po prostu problemem brzegowym (BVP). Określone wartości y(a) = y₀ i y(b) = y₁ są nazywane warunkami brzegowymi (BC). Rozwiązanie takiego problemu to funkcja, która spełnia równanie różniczkowe na pewnym przedziale I, zawierającym a i b, której wykres przechodzi przez dwa punkty (a, y₀) i (b, y₁).

Dla równania różniczkowego drugiego rzędu, inne pary warunków brzegowych mogą wyglądać następująco:
y′(a) = y₀, y(b) = y₁,
y(a) = y₀, y′(b) = y₁,
y′(a) = y₀, y′(b) = y₁,
gdzie y₀ i y₁ oznaczają dowolne stałe. Te trzy pary warunków to szczególne przypadki ogólnych warunków brzegowych:
A₁y(a) + B₁y′(a) = C₁
A₂y(b) + B₂y′(b) = C₂.

Przykład 3 pokazuje, że nawet gdy warunki Twierdzenia 3.1.1 są spełnione, problem brzegowy może mieć wiele rozwiązań, jedno rozwiązanie lub żadnego rozwiązania.

Przykład 3. Problem brzegowy może mieć wiele, jedno lub brak rozwiązań
W przykładzie 10 sekcji 1.1 widzieliśmy, że rodzina rozwiązań równania różniczkowego:
x″ + 16x = 0
to x = c₁ cos 4t + c₂ sin 4t. (2)
(a) Załóżmy, że teraz chcemy znaleźć rozwiązanie tego równania, które dodatkowo spełnia warunki brzegowe x(0) = 0, x(π/2) = 0. Zauważmy, że pierwszy warunek 0 = c₁ cos 0 + c₂ sin 0 implikuje c₁ = 0, więc x = c₂ sin 4t. Jednak dla t = π/2, 0 = c₂ sin 2π jest spełnione dla dowolnego c₂, ponieważ sin 2π = 0. Stąd problem brzegowy (3) ma nieskończenie wiele rozwiązań.

(b) Jeśli problem brzegowy w (3) zmienimy na
x″ + 16x = 0, x(0) = 0, x(π/8) = 0,
wówczas x(0) = 0 nadal wymaga c₁ = 0 w rozwiązaniu (2). Ale zastosowanie x(π/8) = 0 do x = c₂ sin 4t wymaga, by 0 = c₂ sin(π/2) = c₂ · 1. Zatem x = 0 jest rozwiązaniem tego nowego problemu brzegowego. Okazuje się, że x = 0 jest jedynym rozwiązaniem (4).

(c) Jeśli zmienimy problem na:
x″ + 16x = 0, x(0) = 0, x(π/2) = 1,
wówczas ponownie c₁ = 0 z x(0) = 0, ale zastosowanie x(π/2) = 1 do x = c₂ sin 4t prowadzi do sprzeczności 1 = c₂ sin 2π = c₂ · 0 = 0. Stąd problem brzegowy (5) nie ma rozwiązania.

Równania jednorodne
Liniowe równanie różniczkowe n-tego rzędu w postaci:
y = 0 jest zawsze rozwiązaniem jednorodnego równania liniowego. Równanie (6) nazywamy jednorodnym, podczas gdy równanie (7) z g(x) różnym od zera nazywamy równaniem niejednorodnym. Na przykład:
2y″ + 3y′ − 5y = 0
jest jednorodnym równaniem różniczkowym drugiego rzędu, podczas gdy
x²y‴ + 6y′ + 10y = ex
jest niejednorodnym równaniem różniczkowym trzeciego rzędu.

Słowo „jednorodny” w tym kontekście nie odnosi się do współczynników, które są funkcjami jednorodnymi, jak w sekcji 2.5, lecz ma dokładnie takie samo znaczenie jak w sekcji 2.3.

Aby rozwiązać niejednorodne równanie różniczkowe, należy najpierw rozwiązać powiązane równanie jednorodne.

Operatory różniczkowe
W rachunku różniczkowym, różniczkowanie często oznacza