Jakie właściwości mają homologie Lefschetza dla przestrzeni topologicznych?

Dowód warunku (3.7) zapewnia, że ∂κ jest homomorfizmem modułowym stopnia −1, a warunek (3.8) implikuje, że (∂κ)² = 0. Należy zauważyć, że każdy skończenie generowany swobodny kompleks łańcuchów jest kompleksami łańcuchów Lefschetza, uzyskanymi przez wybór bazy. Mówiąc dokładniej, niech (C, ∂) będzie skończenie generowanym swobodnym kompleksem łańcuchów nad pierścieniem R, a U ⊂ C będzie stałą bazą tego kompleksu. Przy założeniu, że Ck = 0 dla wszystkich k < 0, dla każdego v ∈ U istnieją unikalnie wyznaczone współczynniki avu ∈ R, takie że ∑∂v = avu u ∈ U. Niech κ∂ : U × U → R będzie zdefiniowane przez κ∂(v, u) = avu. Wówczas następujące twierdzenie jest oczywiste:

Twierdzenie 3.5.3 Para (U, κ∂) jest kompleksem Lefschetza.

Rodzina komórek kompleksu symplicjalnego [23, Definicja 11.8] oraz rodzina elementarnych sześcianów w zbiorze sześcianów [23, Definicja 2.9] stanowią proste, ale istotne przykłady kompleksów Lefschetza. W tych dwóch przypadkach odpowiednie wzory na współczynniki incydencji są explicite i elementarne, patrz np. [36]. Ogólny regularny kompleks komórkowy, czy też skończony regularny kompleks CW, jak rozważano w [32, Sekcja IX.3], stanowi przykład kompleksu Lefschetza. W tym przypadku współczynniki incydencji mogą być uzyskane z układu równań, jak opisano w [32, Sekcja IX.5], a homologie Lefschetza mogą być obliczane efektywnie, jak przedstawiono w [14]. Należy zauważyć, że kompleks Lefschetza nad ciałem jest zawsze regularny.

Dana jest para komórek x, y ∈ X. Mówimy, że y jest facetem x, i zapisujemy y ≺κ x, jeśli zachodzi nierówność κ(x, y) ≠ 0. Można łatwo zauważyć, że zwrotna przejściowa relacja ≺κ jest częściowym porządkiem. Oznaczamy ten częściowy porządek przez ≤κ, nazywamy go relacją twarzy, a odpowiadający mu porządek ścisły przez <κ. W wyniku bezpośrednim z (3.7) mamy następujące twierdzenie:

Twierdzenie 3.5.4 Mapa dim : (X, ≤κ) → (Z, ≤), przypisująca komórce x ∈ X jej wymiar dim x ∈ Z, zachowuje porządek. Ponadto, jeśli nierówność x ≺κ y zachodzi, to mamy dim y = dim x + 1.

Mówimy, że y jest twarzą x, jeśli y ≤κ x. Topologia T0 zdefiniowana za pomocą twierdzenia Aleksandrowa [1] przez częściowy porządek ≤κ nazywana jest topologią Lefschetza kompleksu Lefschetza (X, κ). Topologia Lefschetza sprawia, że kompleks Lefschetza jest przestrzenią topologiczną skończoną. Zauważmy, że w tej topologii domknięcie dowolnego zbioru A ⊂ X składa się ze wszystkich twarzy wszystkich komórek w A. Mówimy, że podzbiór A ⊂ X jest podkompleksem κ-Lefschetza lub Lefschetza, jeśli para (A, κ|A×A) z gradacją Z indukowaną z X jest sama w sobie kompleksem Lefschetza.

Jeśli A ⊂ X jest lokalnie zamknięta w topologii Lefschetza, to A jest podkompleksem Lefschetza kompleksu (X, κ). W szczególności, każdy otwarty i każdy zamknięty podzbiór kompleksu Lefschetza X jest ponownie podkompleksem Lefschetza.

Twierdzenie 3.5.5 Jeśli A ⊂ X jest lokalnie zamknięta w topologii Lefschetza, to A jest podkompleksem Lefschetza kompleksu (X, κ).

Podobnie, łatwo zwizualizować kompleks Lefschetza, przedstawiając go jako podkompleks κ-Lefschetza kompleksu symplicjalnego. Przykładem jest kompleks Lefschetza pokazany na rysunku 3.1, który jest lokalnie zamkniętym (wklęsłym) podzbiorem zbioru wszystkich symplicji. Jednak nie wszystkie kompleksy Lefschetza mogą być przedstawione w tej formie.

Przykład 3.5.6 (Niejednoznaczność przez podział) Najprostszym sposobem wizualizacji kompleksu Lefschetza jest przedstawienie go jako podkompleksu κ-Lefschetza kompleksu symplicjalnego. Na rysunku 3.1 przedstawiono przykładowy kompleks Lefschetza, który jest lokalnie zamkniętym (wklęsłym) podzbiorem zbioru wszystkich symplicji.

Podkompleks Lefschetza A ⊂ X ma swoją własną topologię Lefschetza, a także związany z nią kompleks łańcuchów C(A). Jako przestrzeń topologiczną A jest zawsze podprzestrzenią X, ale C(A) zazwyczaj nie jest podkompleksem łańcuchów kompleksu X, chyba że A jest zamknięte w X, jak pokazuje poniższy wynik:

Twierdzenie 3.5.7 Jeśli A jest zamknięte w X w topologii Lefschetza, to ∂κ|A×A = ∂κ|C(A) i ∂κ(C(A)) ⊂ C(A). W szczególności, kompleks łańcuchów (C(A), ∂κ|A×A) jest podkompleksem łańcuchów kompleksu łańcuchów (C(X), ∂κ).

Zamykamy kilka uwag dotyczących homologii kompleksów Lefschetza. Dla zamkniętego podzbioru A ⊂ X w topologii Lefschetza definiujemy względną homologię Lefschetza H(X, A) jako homologię kompleksu łańcuchów ilorazowego (C(X, A), ∂̃), gdzie C(X, A) := C(X) / C(A), a ∂̃ oznacza indukowaną mapę brzegową. Następujące twierdzenie wynika bezpośrednio z [35, Twierdzenie 5.4] i używa względnej homologii Lefschetza do charakteryzowania homologii Lefschetza lokalnie zamkniętego podzbioru A ⊂ X.

Twierdzenie 3.5.8 Jeśli A ⊂ X jest lokalnie zamknięte w topologii Lefschetza kompleksu Lefschetza X, to homologia Lefschetza H(A) jest izomorficzna do względnej homologii H(clA, moA) pary (clA, moA) zamkniętych podzbiorów X.

Zauważmy, że teoretyczne aspekty homologii Lefschetza odgrywają kluczową rolę w badaniu topologicznych struktur przestrzeni. Zrozumienie tych zależności pomaga w zastosowaniach do różnych klasycznych problemów w geometrii i topologii, w tym w analizie właściwości przestrzeni topologicznych złożonych z prostszych komponentów.

Czym różni się homomorfizm filtrowany od stopniowanego w kontekście uporządkowanych zbiorów częściowych?

Zagadnienie homomorfizmów stopniowanych i filtrowanych w kontekście modułów uporządkowanych częściowo wymaga precyzyjnego rozróżnienia warunków, jakie muszą spełniać poszczególne komponenty odwzorowań pomiędzy gradacjami. Kluczową rolę odgrywa tutaj częściowo określona, monotoniczna funkcja $\alpha$ między zbiorami uporządkowanymi $K'$ i $K$, której natura decyduje o dopuszczalnych przekształceniach pomiędzy składnikami odpowiednich modułów stopniowanych.

W przypadku, gdy homomorfizm $h$ jest $\alpha$-stopniowany, obowiązuje silne ograniczenie: każda jego niezerowa składowa $h_{ij}$ musi spełniać warunek $\alpha(i) = j$, co oznacza, że tylko jednoznacznie dopasowane pary indeksów są dopuszczalne. Innymi słowy, istnieje ścisła zgodność między pozycjami w module źródłowym i docelowym, wyznaczana bezpośrednio przez odwzorowanie $\alpha$. W rezultacie, zbiór niezerowych składników $h_{ij}$ jest bardzo ograniczony.

Z kolei dla homomorfizmów $\alpha$-filtrowanych wystarczy spełnienie słabszego warunku: $\alpha(i) \leq j$. To oznacza, że obraz danego składnika może być umieszczony "wyżej" w porządku częściowym niż wartość odwzorowania $\alpha(i)$. W praktyce przekłada się to na możliwość istnienia niezerowych składowych nawet w sytuacjach, gdy $i \notin \mathrm{dom}(\alpha)$ lub $j \notin \mathrm{im}(\alpha)$, co nie jest możliwe w przypadku homomorfizmów stopniowanych.

W przypadku, gdy odwzorowanie $\alpha$ jest funkcją (czyli $\mathrm{dom}(\alpha) = K'$), warunki upraszczają się. Homomorfizm $h$ jest wtedy $\alpha$-stopniowany, jeśli $\forall i \in K', \forall j \in K: h_{ij} \ne 0 \Rightarrow \alpha(i) = j$, natomiast $\alpha$-filtrowany, jeśli $h_{ij} \ne 0 \Rightarrow \alpha(i) \leq j$.

Warto zauważyć, że każdy $\alpha$-stopniowany homomorfizm jest automatycznie $\alpha$-filtrowany, ale odwrotność nie zachodzi. Przykłady graficzne ukazują wyraźnie, jak bardziej elastyczna jest struktura homomorfizmów filtrowanych w porównaniu do stopniowanych – liczba dopuszczalnych niezerowych składowych $h_{ij}$ w drugim przypadku jest znacznie większa.

Specjalną sytuacją jest przypadek, gdy $K = K'$, co pozwala mówić o homomorfizmach $K$-stopniowanych i $K$-filtrowanych, a gdy porządek $K$ jest z góry ustalony, skraca się notację po prostu do „stopniowany” i „filtrowany”. W tym kontekście zachodzi interesująca korelacja: endomorfizm $h : M \to M$ jest stopniowany wtedy i tylko wtedy, gdy $h_{ij} \ne 0 \Rightarrow i = j$, natomiast jest filtrowany, jeśli $h_{ij} \ne 0 \Rightarrow i \leq j$.

W przypadku posetów $P$ i $P'$ oraz odwzorowania porządkowego $\alpha : P' \to P$, można scharakteryzować homomorfizmy $\alpha$-filtrowane poprzez ich działanie na podmoduły związane z tzw. dolnymi zbiorami $L \in \mathrm{Down}(P)$. Warunek filtrowania przyjmuje wówczas postać: $h(M_L) \subseteq M'_{\alpha^{ -1}(L)^\leq}$. Jest to równoważne z warunkiem dotyczącym składowych $h_{pq}$, które muszą być zgodne z inkluzjami wynikającymi z odwzorowania $\alpha$. Gdy $P = P'$ i $\alpha = \mathrm{id}_P$, warunek ten upraszcza się do $h(M_L) \subseteq M_L$ – co prowadzi do definicji homomorfizmu filtrowanego w tradycyjnym sensie.

Pojęcie równoważności filtrowanej gradacji dwóch modułów umożliwia zachowanie własności filtrowanych homomorfizmów w kontekście różnych, ale zgodnych dekompozycji danego modułu. W efekcie, jeśli dwie gradacje są równoważne względem filtracji, każdy homomorfizm filtrowany pozostaje taki również przy przejściu do alternatywnej gradacji.

Wreszcie, kategoria GMOD obejmuje pary $(P, M)$, gdzie $P$ jest uporządkowanym zbiorem częściowym, a $M$ – $P$-stopniowanym modułem. Morfizmy tej kategorii to pary $(\alpha, h)$, gdzie $\alpha$ jest odwzorowaniem porządku, a $h$ – odpowiednim $\alpha$-stopniowanym homomorfizmem modułów. Analogicznie zdefiniowana jest kategoria FMOD dla homomorfizmów filtrowanych. Kluczową własnością obu kategorii jest zamknięcie na kompozycje: złożenie dwóch morfizmów stopniowanych (lub filtrowanych) daje znów morfizm tego samego rodzaju.

Ważnym aspektem dla czytelnika jest zrozumienie, że struktura porządku częściowego narzuca istotne ograniczenia i możliwości transformacji pomiędzy komponentami modułów. Filtracja i gradacja to narzędzia nie tylko techniczne, lecz także konceptualne, pozwalające uchwycić subtelne relacje pomiędzy warstwami struktury algebraicznej. Intuicyjne opanowanie tych pojęć pozwala z większą swobodą konstruować kategorie algebraiczne i analizować właściwości obiektów w ich obrębie, co ma fundamentalne znaczenie m.in. w teorii homologicznej, topologii algebraicznej oraz nowoczesnych zastosowaniach matematyki w naukach obliczeniowych.

Jak definiować globalną dekompozycję Morse’a i blokową dekompozycję w polu kombinatorycznym multiwektorowym?

Globalna dekompozycja Morse’a, w przeciwieństwie do tradycyjnej definicji odnoszącej się do izolowanego zbioru niezmiennego, dotyczy całej przestrzeni $X$. W definicji, która została przedstawiona w [30], zakłada się, że $X$ jest zbiorem niezmiennym, a przechodząc do izolowanego zbioru niezmiennego $S$, możemy uzyskać klasyczną dekompozycję Morse’a, zastępując $X$ przez $S$, a pole wektorowe $V$ przez pole $V_S$, które jest indukowane przez $V$ na $S$. W przypadku pola multiwektorowego kombinatorycznego, globalną dekompozycję Morse’a można łatwo określić za pomocą silnie spójnych komponentów grafu $V$-digrafu związanego z tym polem. W odróżnieniu od klasycznego przypadku, dla pola kombinatorycznego multiwektorowego zawsze istnieje najbardziej szczegółowa dekompozycja Morse’a.

Izolowane zbiory niezmienne mogą być przedstawione w sposób niejawny jako maksymalne zbiory niezmienne w pewnej okolicy. Takie sytuacje często występują w zastosowaniach obliczeniowych, gdzie może być niemożliwe określenie, czy w danej okolicy istnieje niepusty zbiór niezmienny, z powodu ograniczeń danych lub mocy obliczeniowej. W takich przypadkach pomocne może być wprowadzenie macierzy połączeń dla dekompozycji blokowych, które stanowią nieco bardziej ogólny koncept niż dekompozycje Morse’a.

Definicja 7.2.5 (Dekompozycja blokowa): Niech $V$ będzie kombinatorycznym polem multiwektorowym na złożonym Lefschetza $X$, a $S \subset X$ będzie izolowanym zbiorem niezmiennym. Wtedy blokiem w $S$ jest lokalnie zamknięty i kompatybilny z polem $V$ podzbiór $S$. Dekompozycja blokowa zbioru $S$ jest rodzinną bloków $M = (M_p)_{p \in P}$ w $S$, gdzie bloki są wzajemnie rozłączne, a $P$ jest indeksowaną rodziną z częściowym porządkiem $\leq$, spełniającą odpowiednie warunki.

Zauważmy, że każda izolowana, niezmienna część zbioru jest blokiem, ale blok nie musi być izolowanym zbiorem niezmiennym. Na przykład, jeśli $B$ jest blokiem, to zbiór $\text{InvB} := \{ x \in B \mid \exists \text{ rozwiązanie esencjalne przez } x \}$ jest zbiorem niezmiennym, lokalnie zamkniętym i kompatybilnym z $V$, a więc jest izolowanym zbiorem niezmiennym. Zatem nie każda dekompozycja blokowa musi być dekompozycją Morse’a.

Z kolei dekompozycja blokowa zachowuje pewną cechę charakterystyczną dekompozycji Morse’a, jak pokazuje następna propozycja. Jeśli $M = (M_p)_{p \in P}$ jest dekompozycją blokową, to dla każdego rozwiązania esencjalnego $\gamma$ w $S$ istnieją indeksy $p^-, p^+ \in P$, takie że $p^- \geq p^+$, oraz $\text{im} \, \gamma \subset M_{p^- }$ i $\text{im} \, \gamma \subset M_{p^+}$.

Warto zwrócić uwagę na ważną cechę dekompozycji blokowej, którą jest pełna regularność wektora multiwektorowego. Zauważmy, że w przypadku dekompozycji blokowej każdy multiwektor $V \in \cup M_p$ jest regularnym multiwektorem. Takie właściwości są niezwykle istotne w zastosowaniach, w których rozważane są dynamiki związane z przestrzenią $X$, zwłaszcza w kontekście obliczeń numerycznych, gdzie operacje związane z niejednoznacznością lub brakiem pełnych danych mogą wprowadzać istotne trudności w analizie stabilności układów dynamicznych.

Poza teoretycznymi aspektami, w praktyce rozróżnienie między dekompozycją Morse’a a dekompozycją blokową ma zasadnicze znaczenie w kontekście algorytmów obliczeniowych i teorii chaosu. W szczególności, podczas gdy dekompozycje Morse’a służą głównie do analizy układów dynamicznych w przestrzeni topologicznej, dekompozycje blokowe oferują bardziej ogólną ramę do rozwiązywania problemów, w których pewne dane są niekompletne lub niejednoznaczne.

Zrozumienie tych różnic ma znaczenie dla każdego, kto pracuje w obszarze teorii dynamiki i obliczeń związanych z systemami nieliniowymi. Rozważając dekompozycje blokowe, należy zwrócić szczególną uwagę na możliwości rozkładania przestrzeni i układów dynamicznych na bardziej przystępne, mniej skomplikowane części, które mogą być efektywnie analizowane.