Jakie są kluczowe zależności w formułacjach Lagrange'a i aktualizowanej Lagrange'a dla analizy naprężeń i odkształceń w materiałach nieliniowych?

W formulacji TL wszystkie zmienne w wyrażeniach pracy wirtualnej odnoszą się do początkowej konfiguracji C0. Kluczowym krokiem w tej formulacji jest uzyskanie następującego równania:

$$2\tau_{ij} \delta^2 e_{ij} dV = 2 S_{ij} \delta^2 \varepsilon_{ij}^0 dV$$

gdzie $S_{ij}^0$ oznacza drugie naprężenia Piola-Kirchhoffa, a $\varepsilon_{ij}^0$ są odpowiadającymi im odkształceniami Green'a-Lagrange'a. Aby przejść do tego, musimy najpierw ustalić zależność między $\tau_{ij}$ a $S_{ij}^0$, oraz między $\delta^2 e_{ij}$ a $\delta^2 \varepsilon_{ij}^0$. Ponieważ zależność między $\tau_{ij}$ i $S_{ij}^0$ została już omówiona w równaniach (1.42) i (1.43), skoncentrujemy się na zależności między wirtualnymi odkształceniami $\delta^2 e_{ij}$ a $\delta^2 \varepsilon_{ij}^0$.

Zauważając, że $\delta d x_i^0 = 0$, z równań (1.4) i (1.6) możemy uzyskać następujące wyrażenie:

$$2 \delta^2 \varepsilon_{ij}^0 d x_i^0 d x_j^0 = 2 (\delta d x_i^2) d x_i^2$$

gdzie $\delta d x_i^2 = d \delta x_i^2 = d \delta u_i$, możemy zapisać:

$$\frac{\partial \delta d x_i^2}{\partial x_i} = d x_i^0$$

To wyrażenie możemy podstawić do wcześniejszego równania, co prowadzi do:

$$\delta^2 \varepsilon_{ij}^0 d x_i^0 d x_j^0 = \delta^2 e_{pq} d x_p^2 d x_q^2$$

Zasada łańcucha pozwala następnie uzyskać:

$$\frac{\partial^2 x_p}{\partial x_i^0} \frac{\partial^2 x_q}{\partial x_j^0} \delta^2 \varepsilon_{ij} = \delta^2 e_{pq}$$

lub inaczej:

$$\frac{\partial^2 x_p}{\partial x_i^0} \frac{\partial^2 x_q}{\partial x_j^0} \delta^2 e_{ij} = \delta^2 \varepsilon_{pq}$$

Korzystając z powyższych zależności, możemy wyprowadzić stosunki dla naprężeń Piola-Kirchhoffa i odkształceń Green'a-Lagrange'a w kontekście wirtualnej pracy, które stanowią kluczowy element w obliczeniach nieliniowych. Zdefiniowanie sił powierzchniowych i ciałowych w odniesieniu do konfiguracji C0 daje nam dodatkową możliwość wyrażenia tych relacji w następującej formie:

$$2 t_i \delta u_i dS = 0 t_i \delta u_i dS$$

$$2 f_i \delta u_i dV = 0 f_i \delta u_i dV$$

Dzięki tym zależnościom możemy transformować równania wirtualnej pracy (1.87) z konfiguracji C2 do C0, uzyskując:

$$2 S_{ij}^0 \delta \varepsilon_{ij}^0 dV = 2 t_i^0 \delta u_i^0 dS + 2 f_i^0 \delta u_i^0 dV$$

W ten sposób mamy do czynienia z równaniem równowagi nieliniowej, które, mimo zmiany konfiguracji odniesienia z C2 na C0, pozostaje dokładnym wyrażeniem równowagi struktury. Możemy więc używać go jako podstawy do wyprowadzenia równań przyrostowych w formulacji TL.

Zdefiniowanie komponentów liniowych i nieliniowych w równaniach naprężeń i odkształceń pozwala przejść do formułowania równania przyrostowego. Ponieważ wszystkie zmienne są wyrażone względem konfiguracji początkowej C0, takie podejście daje dokładne rozwiązania dla odkształceń i naprężeń w analizie nieliniowej.

Warto zauważyć, że w kontekście analizy nieliniowej bardzo ważne jest, aby wszystkie zmienne i zależności były precyzyjnie zdefiniowane względem aktualnej konfiguracji, aby uniknąć błędów w obliczeniach przyrostów naprężeń i odkształceń. W szczególności, przy analizie przyrostów odkształceń należy uwzględnić zarówno składniki liniowe, jak i nieliniowe, które są obliczane na podstawie konkretnej formuły konstytutywnej.

Analiza ta pokazuje, jak kluczowe jest zrozumienie zależności między różnymi typami odkształceń i naprężeń w nieliniowych materiałach, a także jak te zależności wpływają na rozwiązania równań równowagi, co jest fundamentem wszelkich obliczeń w inżynierii materiałowej. Wymaga to uwagi na precyzyjne określenie konfiguracji początkowej i bieżącej oraz odpowiedniego traktowania równań przyrostowych.

Jak oblicza się macierze sztywności w kontekście analizy struktur przestrzennych?

Analiza struktur przestrzennych, szczególnie tych nieliniowych, wiąże się z użyciem zaawansowanych narzędzi matematycznych, takich jak macierze sztywności, które są kluczowe dla oceny zachowań mechanicznych takich konstrukcji. W tym kontekście, jednym z najczęściej wykorzystywanych elementów obliczeniowych są macierze całkowe, które służą do obliczeń macierzy sztywności w ramach układów elementów skończonych.

Macierze sztywności są integralną częścią procesów analitycznych, gdzie określa się odpowiedź struktury na zadane obciążenia. Przykładem takich macierzy mogą być te, które zależą od funkcji interpolacyjnych {n}, które wprowadza się w matematyczny zapis obliczeń. Zapis ogólny przedstawia się jako:

$$\int 1 K_{stv g} = iv\{ns g\}\{nt h\} T h \, di$$

W tym równaniu, indeksy „g” i „h” wskazują na stopnie funkcji interpolacyjnych, zaś „s” i „t” odnoszą się do rzędu różniczkowania. Z kolei „v” reprezentuje wykładnik czynnika mnożącego i.

Na podstawie tej definicji wykorzystywano szereg macierzy całkowych w obliczeniach macierzy sztywności, co zostało szeroko opisane w książce. Wśród nich znajdują się m.in. takie macierze jak:

$$K_{02133} = \begin{bmatrix}$$

-3 & -6 & 3 & 3 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 33 & 6 & -33 & 27 \end{bmatrix}

Takie macierze są kluczowe w kontekście analizy sił w ramach, gdzie oblicza się wpływ różnych równań różniczkowych na zachowanie struktury w stanie odkształcenia.

Obliczanie macierzy sztywności w przypadku struktur przestrzennych wiąże się również z koniecznością uwzględnienia różnych orientacji elementów. W przypadku przestrzennych ram, każdy element może wykazywać rotacje w trzech wymiarach. W klasycznych analizach zakłada się, że rotacje są małe, co upraszcza proces obliczeniowy poprzez użycie przybliżenia. Jednak w przypadku większych rotacji, metoda oparta na teorii rotacji skończonych staje się niezbędna.

Zmiana orientacji końców elementu jest istotnym zagadnieniem w kontekście analiz takich jak metoda elementów skończonych (MES), gdzie zmiany geometrii muszą być uwzględniane w iteracyjnych krokach obliczeniowych. W takim przypadku, rotacje końcowe dla każdego elementu są obliczane na podstawie zasad rotacji skończonych, które uwzględniają efekt niekomutatywności rotacji w trzech wymiarach.

Na przykład, w przypadku elementu przestrzennego, dla którego znamy zmiany przesunięcia Δu oraz zmiany rotacji Δθ, obliczamy jednostkowe wektory orientacji dla węzła A w nowej konfiguracji C2. Wartości te są określane na podstawie wzoru rotacji skończonych:

$$\mathbf{r'} = \cos(\phi)\mathbf{r} + \sin(\phi)(\mathbf{n} \times \mathbf{r}) + (1 - \cos(\phi))(\mathbf{n} \cdot \mathbf{r})\mathbf{n}$$

W przypadku bardziej zaawansowanych analiz, takich jak analiza nieliniowa, gdzie elementy ulegają dużym deformacjom, kluczowe staje się stosowanie metod, które uwzględniają te zmiany w geometrii i rotacjach na każdym etapie obliczeń. Dzięki temu możliwe jest uzyskanie dokładniejszych wyników, które są niezbędne w praktycznych zastosowaniach inżynierskich, takich jak projektowanie mostów, budynków czy innych konstrukcji przestrzennych.

Przy obliczeniach macierzy sztywności i rotacji przestrzennych, należy również zwrócić uwagę na charakterystykę elementów skończonych, takie jak kształt przekroju, który w dużym stopniu wpływa na sposób, w jaki przekazywana jest siła między elementami struktury. Właściwe uwzględnienie geometrii elementu, w tym osi przekroju, pozwala na uzyskanie bardziej precyzyjnych wyników analizy.

Jak obliczyć współrzędne elementu ramy przestrzennej w kontekście obrotów i deformacji?

W analizach inżynierskich dotyczących struktur przestrzennych, szczególnie przy uwzględnianiu obrotów i deformacji, istotnym zagadnieniem jest sposób, w jaki zmieniają się osie sekcji elementów w wyniku tych przekształceń. Początkowa konfiguracja układu, oznaczona jako C0, jest najczęściej układem referencyjnym, w którym wszystkie osie sekcji są wzajemnie prostopadłe i równoległe do osi globalnych. W trakcie przemieszczenia elementu z konfiguracji C0 do C1, osie sekcji obu końców elementu zmieniają swoje orientacje, co jest wynikiem rotacji głównych i normalnych kierunków sekcji końcowych.

Zgodnie z teorią układów współrzędnych, koncepcja "przemieszczonych" współrzędnych (Belytschko i Hsieh, 1974) pozwala na opisanie tej zmiany. Po przejściu do konfiguracji C1, osie elementu 1x, 1y i 1z są określane na podstawie średnich rzutów głównych kierunków sekcji na odpowiednie płaszczyzny. Ważnym aspektem jest to, że w wyniku deformacji elementu, osie sekcji dwóch końców mogą już nie być wzajemnie równoległe.

Skomplikowanie tych obliczeń zwiększa się, gdy element przechodzi deformacje nieliniowe, zmieniając swoje geometryczne właściwości. W kontekście wyznaczania nowych osi sekcji elementu, konieczne jest uwzględnienie średnich rzutów na płaszczyzny normalne do osi głównych. Zwykle, rzutując osie 1β i 1γ na płaszczyznę normalną do 1x, a następnie dokonując ich średniej, otrzymuje się nowe osie 1y i 1z. Należy pamiętać, że te osie mogą nie być wzajemnie prostopadłe, co wymaga dodatkowej modyfikacji układu do uzyskania układu ortogonalnego.

W celu uzyskania układu ortogonalnego, wykonuje się odpowiednie rotacje, gdzie wykorzystywana jest własność przekątnych rombu, którymi stają się osie 1y i 1z. Przemieszczenie tych wektorów o 45 stopni daje ostateczne osie elementu, które mogą zostać zapisane jako {1y} i {1z} w formie znormalizowanej.

Równania przedstawiające zależności między osiami w różnych konfiguracjach pozwalają na dokładne obliczenia przemieszczeń i deformacji elementu ramy. W tym kontekście, istotnym jest, by pamiętać, że zmiana osi nie wynika wyłącznie z obrotów, ale także z ugięć, które prowadzą do zmiany kształtu elementu. Dlatego przy dalszej analizie takich układów należy uwzględniać zmiany w geometrii elementu, jak również interakcje między poszczególnymi stopniami swobody węzłów.

Warto zauważyć, że obliczanie deformacji elementów w ramach analiz numerycznych, zwłaszcza w odniesieniu do rzeczywistych konstrukcji przestrzennych, wiąże się z wieloma założeniami i upraszczającymi przyjęciami. Przy dokładnych obliczeniach konieczne może być uwzględnienie nieliniowych efektów związanych z deformacjami, a także sposobem, w jaki różne elementy struktury wpływają na siebie w trakcie obciążenia.