Jakie równania rządzą zachowaniem układu w rozszerzonej termodynamice? Przykład gazów i helu II.

W rozważaniach dotyczących dynamiki układu, szczególnie w kontekście termodynamiki niena równowagi, istotnym zagadnieniem jest pytanie, czy mała objętość, nad którą dokonywana jest średnia, znajduje się w lokalnej równowadze termodynamicznej. Kwestia ta staje się szczególnie ważna w przypadku układów, w których procesy zachodzą poza lokalną równowagą, jak ma to miejsce w rozszerzonej termodynamice.

W ramach rozszerzonego modelu jednopłynowego, podstawowe równania ewolucji tych zmiennych to równania bilansu masy, pędu i energii wewnętrznej, które mają postać:

Gdzie $p$ to ciśnienie termodynamiczne, a nie-równowagowe naprężenie $\mathbf{P_v}$ może zostać rozdzielone na jego ślad $p_V$ (ciśnienie niena równowagowe) oraz dewiator, czyli:

Notacja $\langle \mathbf{P_v} \rangle$ oznacza część deviacyjną odpowiadającego tensora, co pozwala na dokładniejsze rozróżnienie pomiędzy składowymi związanymi z oddziaływaniami mechanicznymi a tymi, które wynikają z oddziaływań termicznych. Aby zamknąć układ, konieczne jest podanie trzech dodatkowych równań, które precyzyjnie opisują zależności między przepływami ciepła $\mathbf{q}$, naprężeniami objętościowymi $p_V$ oraz naprężeniami ścinającymi $\langle \mathbf{P_v} \rangle$. W klasycznej termodynamice nieodwracalnej, te zależności są definiowane przez tzw. równania konstytutywne, które łączą przepływy z gradientami temperatury i prędkości. W rozszerzonej termodynamice natomiast przepływy te traktowane są jako niezależne pola, a równania ewolucji pisane są oddzielnie dla każdego z nich.

Ewolucję tych przepływów opisują następujące równania:

W powyższych równaniach $\tau_0$, $\tau_1$ i $\tau_2$ to czasy relaksacji dla przepływów ciepła, naprężeń objętościowych i naprężeń ścinających, odpowiednio, a $\lambda_0$, $\eta$ i $\lambda_1$ to współczynniki, które w normalnym płynie można zidentyfikować z odpowiednio lepkością objętościową, lepkością ścinającą i przewodnictwem cieplnym.

W rozszerzonej termodynamice istotnym elementem jest również włączenie nie-równowagowych wkładów do entropii i strumienia entropii, które są wyższych rzędów względem przepływów. Entropia właściwa na jednostkę masy oraz strumień entropii wprowadzone w rozszerzonej termodynamice to klasyczne wyrażenia wzbogacone o dodatkowe składniki, które opisują nie-równowagowe odchylenia w systemie. Wyrażenia te mogą przyjąć formę:

Terminy te odpowiadają za opis zmian w systemie, które są nieobecne w klasycznej równowadze termodynamicznej i które zostały potwierdzone przez różne teorie mikroskalowe, takie jak teoria kinetyczna gazów czy podejścia informacyjne.

Entropia, jak również strumień entropii, mogą być również zapisane w formie uogólnionego równania Gibbsa, uwzględniającego wyższe rzędy w przepływach:

Na podstawie tych równań można wyciągnąć istotne wnioski na temat stabilności termodynamicznej systemu i wymagań dotyczących pozytywności produkcji entropii.

Układy takie jak hel II, który posiada zdolność przepływu wąskimi kanałami w stanie laminarnego przepływu ciepła, stanowią przykład na to, jak rozszerzona termodynamika może zostać zastosowana do

Jak wpływają ściany na dynamikę turbulencji w cieczy nadciekłej?

W przypadku nadciekłych cieczy, szczególnie helowych, jedną z kluczowych cech jest ich zdolność do tworzenia zawirowań kwantowych, które w wyniku turbulencji rozwijają się w skomplikowane struktury. Jednym z najistotniejszych parametrów charakteryzujących te zjawiska jest gęstość linii wierteł, oznaczana jako .L. Ta wartość jest wynikiem równowagi między produkcją nowych wierteł a ich destrukcją, co jest kluczowe dla zrozumienia procesów turbulencyjnych w nadciekłych cieczach.

Rozważając zmiany gęstości wierteł, kluczowe staje się uwzględnienie dwóch czynników: rotacji oraz przeciwprądu. Te elementy mają fundamentalne znaczenie, gdyż wprowadzenie ścianek do układu może znacząco wpłynąć na zachowanie wierteł. Na przykład w przypadku eksperymentów przeprowadzonych w wąskich kanałach, zależność między gęstością linii wierteł a różnicą prędkości normalnej składowej względem komponentu nadciekłego może przyjąć formę:

Kiedy system staje się bardziej jednorodny, jak ma to miejsce w szerokich kanałach, wpływ ścianek na rozwój turbulencji może zostać zminimalizowany. Natomiast w węższych kanałach, gdzie średnia odległość między sąsiednimi wiertłami staje się porównywalna z ich średnicą, wpływ ścianek staje się dominujący, a dynamika wierteł może zostać zaburzona przez interakcje ze ścianami. Takie zjawisko ma istotne znaczenie w późniejszych fazach zaniku turbulencji oraz w momencie przejścia z laminarnego przepływu do turbulentnego.

Szczególną rolę odgrywa również wielkość kanału. Dla szerokich kanałów wpływ rozmiaru może być zaniedbywalny, jednak w przypadku wąskich przestrzeni, gdzie odległość między wiertłami staje się istotna, efekty ścianek mają głęboki wpływ na zachowanie układu. Z tego względu badania prowadzone w różnorodnych geometrycznie układach pozwalają na dokładniejsze zrozumienie, jak różne czynniki, takie jak rozmiar kanału czy obecność ścianek, wpływają na dynamikę turbulencji w nadciekłej cieczy.

Warto również zwrócić uwagę na szczególną rolę wartości liczb Re, które w przypadku nadciekłych cieczy przyjmują różne wartości krytyczne w zależności od temperatury. Dla temperatury 1,5 K, wartość ta wynosi 127, a dla 1,7 K – już tylko 96. Zmiany te wskazują, że temperatury mają istotny wpływ na dynamikę wierteł oraz rozwój turbulencji, zwłaszcza w układach o różnych rozmiarach.

Wykorzystując podejście makroskalowe, kluczowe staje się uwzględnienie zarówno produkcji, jak i zniszczenia wierteł, a także ich transportu w różnych warunkach. Każdy z tych elementów wpływa na równowagę w układzie oraz na to, jak zachowują się wiertła w kontekście turbulentnym. Szczególne znaczenie ma tutaj zrozumienie zależności między wielkością kanału, temperaturą, oraz prędkościami przepływu. Kiedy system przechodzi w bardziej turbulentne stany, jak w przypadku przejścia do stanu TII, dynamika wierteł staje się bardziej złożona, a wpływ ścianek i innych czynników zaczyna odgrywać kluczową rolę w dalszym rozwoju turbulencji.

Zrozumienie tych mechanizmów jest istotne nie tylko z punktu widzenia teoretycznego, ale także praktycznego. Wiele zastosowań technologicznych, jak chłodzenie kwantowe czy badania nadciekłych mediów, wymaga precyzyjnego modelowania turbulencji kwantowych oraz efektywnego zarządzania tymi zjawiskami. Dlatego badania nad wpływem geometrii kanałów, temperatury i innych zmiennych stają się niezbędne do pełnego zrozumienia dynamiki nadciekłych cieczy w stanach turbulentnych.

Jak przepływ ciepła i wiry współdziałają w kanale z przeszkodą?

Eksperymenty Zhang i Van Sciver, oparte na przepływie ciepła przez kanał, pokazują, że różne wartości przepływu ciepła prowadzą do tworzenia się dużych, spolaryzowanych wirów zarówno w górnej, jak i dolnej części cylindra. Istnieje wyraźna asymetria w ich rozmieszczeniu: wiry w górnej części są przeciwnie spolaryzowane względem tych w dolnej. W przypadku mniejszych wartości przepływu ciepła, wiry te są mniejsze, a ich rozmieszczenie jest bardziej symetryczne. Wzrost przepływu ciepła skutkuje powiększeniem wirów, które stają się wydłużone w kierunku przepływu, zbliżając się do ścian kanału.

Równocześnie zmniejszająca się lepkość powoduje, że pozostałe składniki równania (np. składnik związany z siłami bezwładności oraz tarciem wzajemnym) stają się stosunkowo silniejsze. W wyniku tego wiry przesuwają się dalej od siebie, co prowadzi do zaniku ich gęstości w środkowej części kanału i jej gwałtownego wzrostu w pobliżu ścianek. To zjawisko ma swoje konsekwencje w kształtowaniu profilu prędkości płynów normalnych. Warto zauważyć, że przy mniejszej lepkości wpływ sił bezwładności oraz tarcia wzajemnego staje się bardziej dominujący, co prowadzi do ostrzejszego profilu prędkości płynów normalnych.

W eksperymencie tym zauważono, że gdy składnik normalny nie jest zerowy na ścianie, tj. może przesuwać się wzdłuż niej, obserwuje się bardziej spłaszczony profil komponentów prędkości, w porównaniu do sytuacji, gdy składnik normalny jest ustawiony na zerowym poziomie w kontakcie z ścianą.

Doświadczenia te wskazują również na wpływ wprowadzenia przeszkody na zmianę układu wirów w stosunku do przepływu ciepła. W wyniku tych zmian wiry mogą się przemieszczać lub łączyć w bardziej złożony sposób, w zależności od kształtu i wielkości przeszkody. Wprowadzenie przeszkody centralnej w kanale wpływa również na wzajemne oddziaływania między składnikami superpłynów i normalnymi, co prowadzi do bardziej złożonych efektów w dynamice przepływu.

W kontekście eksperymentów Zhang i Van Sciver zauważono również zjawisko, w którym wiry przyjmują bardziej skomplikowaną geometrię w wyniku zakrzywienia linii przepływu wokół przeszkody. Choć można by oczekiwać, że wiry przy przeszkodach o większej średnicy będą bardziej rozciągnięte, eksperymenty wykazały, że ich rozmiar i forma zależą od konkretnej dynamiki przepływu, którą determinują zarówno lepkość, jak i inne czynniki, takie jak siły bezwładności.

Zjawisko to znajduje swoje odbicie również w obserwacjach w przypadku przepływu przez kanał, w którym dokonano analizy wpływu przeszkody na wiry. W szczególności obserwacje wykazały, że wiry generowane w takim układzie mogą tworzyć charakterystyczne układy o symetrycznym rozmieszczeniu wokół przeszkody, co jest związane z oddziaływaniem przepływającego ciepła na wiry. W kontekście tych badań pojawia się także kwestia rozprzestrzeniania się cząsteczek unoszących się w cieczy, co staje się techniką wizualizacji przepływu, a także metodyką badań dynamiki przepływów w kontekście różnych warunków eksperymentalnych.

Eksperymenty Zhang i Van Sciver wskazują na istotne różnice w zachowaniu wirów w zależności od zmieniających się warunków przepływu ciepła oraz geometrii przeszkód, co wymaga dalszego, bardziej szczegółowego rozważenia oddziaływań między różnymi składnikami cieczy. Dodatkowo warto zwrócić uwagę, że zmniejszająca się lepkość prowadzi do zwiększenia roli sił bezwładności i tarcia wzajemnego, co z kolei wpływa na dynamikę wirów, szczególnie w przypadku przepływu przez wąskie kanały z przeszkodami centralnymi.