Jak rozumieć rolę rozpraszania i czasu relaksacji w przewodnictwie kwantowym?

Własności transportu kwantowego zależą głównie od elektronów, które znajdują się blisko poziomu Fermiego. Elektrony o energii mniejszej niż energia Fermiego nie mają wpływu na przewodnictwo, co wskazuje na istotną rolę długości fal Fermiego w kontekście efektów kwantowych. Elektrony poruszające się w półprzewodniku podlegają rozpraszaniu przez zanieczyszczenia, wady strukturalne lub fonony, a czas ich relaksacji pędu, oznaczany jako τm, oraz czas rozpraszania τs, są powiązane równaniem:

1 = αm * (τm / τs), gdzie αm to stała, której wartość mieści się pomiędzy 0 a 1, a jej zadaniem jest określenie skuteczności rozpraszania w procesie relaksacji pędu.

Średnia droga swobodna Lm, która definiuje przeciętną odległość, jaką elektron przebywa, zanim utraci swój pęd, wyraża się wzorem:

Lm = vF * τm, gdzie vF to prędkość Fermiego, a vF = √(2π * ns / m*) = 3 × 10⁷ cm/s, przy czym ns to gęstość elektronów, a m* to efektywna masa elektronu. Przy założeniu, że m* = 0,067 * m0 i τm ≈ 100 ps, możemy uzyskać wartość Lm = 30 μm.

Kolejnym interesującym pojęciem jest długość relaksacji fazy, która opisuje przeciętną drogę, jaką pokonuje elektron przed utratą fazy swojej fali. Podobnie jak w przypadku τm, czas relaksacji fazy τϕ wiąże się z czasem rozpraszania τs równaniem:

1 = αϕ * (τϕ / τs), gdzie αϕ to stała zależna od efektywności rozpraszania na etapie niszczenia fazy.

Ważne jest jednak, że obecność stałych zanieczyszczeń (np. defektów) nie wpływa znacząco na czas relaksacji fazy. To właśnie zmienne rozpraszacze, jak fonony, mają kluczowe znaczenie. Fonony, będące kwantami drgań sieci, są losowe i prowadzą do rozpraszania inelastycznego, które zmienia energię elektronów. Czas relaksacji fazy w wyniku tego rozpraszania można wyrazić równaniem:

(Δε)² = (Δω)² * τϕ / τs, gdzie Δω to energia fononu, a τϕ to czas relaksacji fazy.

W wyniku takich rozpraszających interakcji, kiedy dwa strumienie elektronów spotykają się po rozproszeniu, ich fazy są już losowe, co zmniejsza średnią amplitudę fali elektronowej.

W wysokiej jakości półprzewodnikach, gdzie mobilność elektronów jest wysoka, czas relaksacji fazy τϕ jest mniejszy od czasu rozpraszania τs. W półprzewodnikach o niskiej mobilności, czas relaksacji fazy zmienia się w mniejszym stopniu, podczas gdy czas rozpraszania znacznie spada. W takim przypadku, τϕ może być znacznie większy od τs.

W ramach tego stanu nie równowagi, prędkość dryfu elektronów staje się nieliniowa w zależności od natężenia pola elektrycznego, co prowadzi do odchyleń od prawa Ohma. Ponadto, współczynnik dyfuzji również przestaje zależeć od temperatury w sposób przewidywany przez klasyczne zależności, takie jak zależność Einsteina. Wszystkie te efekty są obecne, gdy elektronów jest wystarczająco dużo, a pole elektryczne osiąga wartości prowadzące do stanu, w którym „gorące elektrony” dominują nad standardowym transportem.

Jak funkcjonują urządzenia kwantowe oparte na interferencji?

Zjawisko interferencji kwantowej stanowi jedną z kluczowych cech współczesnych technologii opartych na nanostrukturach, zwłaszcza w kontekście tranzystorów kwantowych. W tym rozdziale omówimy różne aspekty tych urządzeń oraz ich właściwości, oparte na analizie funkcji falowych i zależności od różnych parametrów, takich jak długość fal czy potencjał bramki. Badanie tych właściwości w kontekście jedno- i dwuwymiarowych struktur falowodów kwantowych pozwala lepiej zrozumieć mechanizmy oddziaływań elektronicznych, które wpływają na przewodnictwo w takich systemach.

Funkcja falowa w urządzeniu kwantowym, takim jak tranzystor kwantowy (patrz Rys. 10.1b), różni się od tej w tradycyjnym tranzystorze polowym (FET). W klasycznym FET bramka znajduje się w obrębie trajektorii elektronów, podczas gdy w tranzystorze kwantowym bramka znajduje się poza tą trajektorią. Tego typu układy wykazują oscylacje przewodności w funkcji potencjału bramki. Interferencja, wynikająca z różnicy faz między falami odbitymi i przechodzącymi przez układ, prowadzi do zmian w amplitudzie fali wyjściowej, co może być odczytane jako oscylacje przewodności. Zjawisko to jest odpowiedzialne za zmiany przewodności w zależności od parametrów takich jak długość fal i potencjał bramki.

W strukturach, w których wykorzystywane są dwa odprowadzenia (Rys. 10.1c), otrzymuje się bardziej złożoną zależność przewodności od odległości pomiędzy odprowadzeniami, co jest rezultatem wpływu na interferencję zarówno odległości między bramką a odprowadzeniem, jak i samej geometrii układu. Gdy kD przyjmuje wartość 0.5π, przewodność w drugim odprowadzeniu staje się maksymalna przy kL = π. Zjawisko to jest również obecne w strukturach z dwoma bramkami, choć szczegóły analizy tych układów wymagają sięgnięcia po bardziej zaawansowane modele (patrz Ref. [1]).

Analizując te struktury na przykładzie układu z tzw. "stubami" (Rys. 10.1d), zauważamy, że oscylacje przewodności w przypadku pojedynczego stubu są wąskie, a szerokość tej oscylacji zmienia się w przypadku dwóch identycznych stubów, gdzie pojawia się szersza bruzda w charakterystyce przenoszenia. Jeśli długość stubów jest różna, pojawia się dodatkowy szczyt w obrębie tej bruzdy, co jest efektem oddziaływań między różnymi długościami stubów. Interferencja między tymi stubami również powoduje zmiany w wysokości szczytu transmisji, w zależności od parametrów kD.

Teoretyczne obliczenia, w tym związane z parametrami masy efektywnej γ1, γ2, γ3, pozwalają wyznaczyć energie stanów dziur oraz przewidywać zmiany w strukturze przenoszenia w zależności od kąta polarnego i długości fal. Podobnie jak w przypadku elektronów, zjawisko interferencji kwantowej wpływa na amplitudę transmisji, a jej charakterystyka zależy od kątów oraz długości fal, co ma zasadnicze znaczenie w praktycznych zastosowaniach tych struktur.

W kontekście dalszych badań, ważne jest zrozumienie, jak zmieniają się właściwości przewodzenia w strukturach, gdzie zachodzą interferencje kwantowe między różnymi stanami falowymi. Zjawiska te mają fundamentalne znaczenie dla projektowania układów nanoelektroniki, takich jak tranzystory kwantowe, gdzie precyzyjne kontrolowanie interferencji może pozwolić na tworzenie bardziej wydajnych urządzeń elektronicznych o unikalnych właściwościach przewodzących.

Jakie są zasady działania metody macierzy transferu w dwuwymiarowych falowodach kwantowych?

W dwuwymiarowych falowodach kwantowych, jak przedstawiono na przykładzie rysunku 11.2, struktura posiada dwa terminale L i R oraz interfejs o charakterze schodkowym pomiędzy nimi. W terminalach L i R funkcje falowe elektronów można zapisać jako sumy takich równań:

oraz

gdzie $k_L^{n}$ i $k_R^{n}$ to liczby falowe wzdłuż kierunku podłużnego, $W_L$ i $W_R$ to szerokości terminali, a $a_L^{n}$ oraz $b_L^{n}$ to współczynniki amplitud fal w terminalu L. Ważnym elementem tego układu jest spełnienie warunku ciągłości funkcji falowej na interfejsie między terminalami L i R. Oznacza to, że suma funkcji falowych w jednym terminalu musi równać się sumie w drugim terminalu w tym samym punkcie, co zostało zapisane w równaniu 11.4.

Jeżeli szerokości terminali są zbliżone do siebie, tzn. $W_L \approx W_R$, to można przyjąć, że liczba trybów poprzecznych w obu terminalach jest równa, co pozwala uprościć wcześniejsze równania. Na tym etapie, po odpowiednich przekształceniach, uzyskujemy macierz transferu $T$, która umożliwia obliczenie amplitud transmisji i odbicia dla różnych trybów falowych.

Zastosowanie metody macierzy transferu

W przypadku, gdy falowód znajduje się w reżimie jedno-modalnym, amplitudy transmisji i odbicia są wyrażane odpowiednio jako $T = \left| t_{ij} \right|^2$ oraz $R = \left| r_{ij} \right|^2$, gdzie $t_{ij}$ oraz $r_{ij}$ to współczynniki transmisji i odbicia dla odpowiednich trybów falowych. Ważne jest, aby w obliczeniach uwzględniać jedynie tryby propagujące, ponieważ tryby wygasające o urojonych liczbach falowych nie mają znaczenia fizycznego w kontekście rzeczywistych transmisji elektronów.

W sytuacji, gdy szerokości terminali są zbliżone, metoda macierzy transferu może zostać zastosowana w wielu geometrii falowodów kwantowych. Przykładem może być obliczanie przewodności G w strukturach, jak np. trójkątny układ kawitacji, gdzie analizujemy przewodność w zależności od zmiennych parametrów geometrii. Jak pokazuje przykład z rysunku 11.4, przewodność jest zerowa, gdy elektron tworzy stan uwięziony w wnętrzu kawitacji, a transmisja następuje w przypadku, gdy elektron nie jest uwięziony.

Potencjalne problemy związane z obliczeniami

Warto zwrócić uwagę na pewne trudności, które mogą wystąpić w wyniku zastosowania metody macierzy transferu w praktycznych obliczeniach. Problemem jest zwłaszcza obecność trybów wygasających, które mogą prowadzić do znacznych błędów numerycznych. Tryby wygasające charakteryzują się liczbami falowymi o charakterze urojonym, co powoduje, że składniki wyrażenia dla propagujących fal mogą szybko maleć lub rosnąć, co prowadzi do destabilizacji obliczeń i utraty zasady unitarności. W takich przypadkach, metoda ta może stać się niestabilna, co skutkuje niepoprawnymi wynikami.

Inne podejścia

Dla bardziej złożonych układów falowodów, w szczególności takich, które mają więcej niż dwa terminale, stosowanie jedynie metody macierzy transferu może być niewystarczające. Zamiast tego, można zastosować inne techniki, takie jak metoda macierzy rozpraszania, która pozwala na bezpośrednie obliczenia współczynników rozpraszania i ich analizę dla układów wieloterminalowych. Takie podejście jest bardziej elastyczne i pozwala na dokładniejsze modelowanie skomplikowanych struktur falowodowych.

Jak CNT-FET mogą zrewolucjonizować elektronikę opartą na węglowych nanorurkach?

Wykorzystanie nanorurek węglowych (CNT) w elektronice umożliwia stworzenie nowych rodzajów tranzystorów, które mają potencjał do znacznego poprawienia wydajności urządzeń półprzewodnikowych. W szczególności, CNT-FET (tranzystory na węglowych nanorurkach) oferują szereg korzyści w porównaniu do tradycyjnych tranzystorów opartych na krzemie, takich jak mniejsza pojemność bramki, niższe napięcie zasilania i mniejsze zużycie energii. Współczesne badania nad CNT-FET koncentrują się na różnych aspektach ich działania, w tym na kontakcie metalu z CNT oraz wpływie funkcji roboczej (work function) metalu na efektywność takich urządzeń.

Typowy CNT-FET działa na zasadzie transportu jednego typu nośników ładunku – elektronów lub dziur. Jeżeli elektrodą jest metal o wysokiej funkcji roboczej, jak np. pallad (Pd), a pasmo walencyjne CNT jest bliskie poziomu Fermiego metalu, wówczas kontakt dla dziur będzie prawie bezbarierowy. Z drugiej strony, w przypadku metalu o niskiej funkcji roboczej, jak aluminium (Al), transport elektronów jest możliwy, natomiast transport dziur jest zablokowany. Dzięki takim właściwościom CNT-FET-y mogą działać jako układy jednopolarne, w tym tranzystory typu p, w zależności od zastosowanego materiału elektrodowego.

W kontekście obliczeń logicznych, CNT-FET-y oferują znaczne przewagi nad tradycyjnymi tranzystorami MOSFET na bazie krzemu. Jednym z kluczowych atutów CNT-FET jest ich znacznie mniejsza pojemność bramki, która wynosi około 10 aF dla urządzenia o średnicy CNT równej 1 nm i długości 10 nm. Dodatkowo, niższe napięcie operacyjne tych tranzystorów sprawia, że przełączanie logiczne w takich urządzeniach wymaga mniejszej energii, co przyczynia się do oszczędności energetycznych w układach scalonych. Obliczanie energii przełączania dla urządzenia CNT-FET odbywa się przy pomocy wzoru: 0,5(Cdev + Cwire)V², gdzie Cdev to pojemność samego urządzenia, a Cwire to pojemność interkonekcji.

Jednym z wyzwań przy produkcji CNT-FET-ów jest kontrolowanie dopingu CNT, aby uzyskać zarówno tranzystory typu n, jak i p, co wymaga precyzyjnego doboru materiałów oraz właściwości chemicznych. Niemniej jednak, CNT, które są niedopowane, wykazują tzw. zachowanie ambipolarne, co oznacza, że mogą działać jako tranzystory typu p lub n w zależności od zastosowanej funkcji roboczej materiału bramki. Tuning funkcji roboczej bramki jest zatem kluczowym czynnikiem umożliwiającym uzyskanie zróżnicowanych stanów "włączonych" i "wyłączonych" w zależności od struktury układu.

Patrząc na przyszłość elektroniki opartej na węglowych nanomateriałach, nanorurki węglowe i grafen oferują ogromny potencjał do rozwoju nowych typów urządzeń – od tranzystorów o bardzo wysokiej częstotliwości (THz) po układy spintronowe, które mogą zrewolucjonizować przyszłe technologie komputerowe. Dzięki doskonałym właściwościom przewodzenia elektrycznego i długim długościom koherencji spinowej, CNT mogą być wykorzystywane nie tylko w elektronice, ale także w optoelektronice, gdzie możliwe jest zintegrowanie funkcji przewodzenia, detekcji i emisji światła w jednym materiale. Z kolei rozwój technologii manipulacji materiałami w skali nanometrycznej pozwala na dalszy postęp w tworzeniu układów opartego na samoorganizujących się strukturach węglowych.