Jak pole magnetyczne wpływa na rezonansowe tunelowanie dziur w strukturach z barierami podwójnymi?

W badaniach nad rezonansowym tunelowaniem dziur w strukturach z podwójnymi barierami, istotnym elementem jest wpływ silnego pola magnetycznego na pozycje szczytów rezonansowych prądów. W takich strukturach, gdy pole magnetyczne jest skierowane wzdłuż kierunku prądu, następuje rozszczepienie poziomów energetycznych dziur na skutek wprowadzenia tego pola. W przypadku prostych pasm energetycznych dla dziur, które są paraboliczne, problem staje się stosunkowo łatwiejszy do analizy. Jednakże, w rzeczywistości, energia dziur w płaszczyźnie prostopadłej do pola magnetycznego ulega podziałowi na serię poziomów energetycznych Landaua.

Do rozwiązania tego problemu, Xia zaproponował teorię rezonansowego tunelowania dziur (hole RT theory), uwzględniając różne właściwości masy efektywnej i potencjału strukturalnego. W strukturach podwójnych barier, efektywna funkcja Hamiltronianu jest opisana równaniem $H = H_L + V(z)$, gdzie $V(z)$ to potencjał efektywny struktury, a $H_L$ opisuje masę efektywną w tej strukturze. W przypadku układów takich jak superkratki czy struktury podwójnych barier, operatory pz są stosowane, podczas gdy Px i Py mogą zostać zastąpione ich wartościami własnymi $k_x$ oraz $k_y$.

Podstawowym wyzwaniem w tym modelu jest połączenie między lekkimi a ciężkimi dziurami, co sprawia, że rozwiązanie równań nie jest trywialne. Obliczenia numeryczne są więc niezbędne, aby uzyskać dokładne rozwiązania dla funkcji falowych i amplitud przejścia. Zastosowanie metody całkowania numerycznego (np. metody Adamsa) pozwala na dokładne obliczenie funkcji falowych i ich pochodnych w różnych regionach bariery potencjału.

Kiedy rozważamy funkcje falowe po lewej i prawej stronie bariery, należy zauważyć, że na obu stronach bariery, gdzie $V(z) = V_0$, funkcje falowe przyjmują postać opisującą stan energetyczny układu. W szczególności dla stanów ciężkiej dziury $\psi_h$ i lekkiej dziury $\psi_l$, współczynniki $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ w funkcjach falowych muszą być obliczane zgodnie z równaniami charakteryzującymi stan układu. W przypadku tunelowania przez barierę, współczynniki te są ze sobą powiązane przez macierz transferową, której elementy umożliwiają obliczenie amplitud przejścia i odbicia.

Równocześnie, w miarę zmiany $k_{\parallel}$, zjawisko tunelowania staje się bardziej złożone, ponieważ pojawia się sprzężenie pomiędzy stanami lekkich i ciężkich dziur. Wykresy pokazujące zależności prawdopodobieństw transmisji i odbicia, takie jak $(T * T)_{hh}$ oraz $(T * T)_{hl}$, wskazują na istotne zmiany w zachowaniu układu przy różnych energiach i wartościach wektora falowego $k_{\parallel}$.

Ważne jest, by zwrócić uwagę na fakt, że w przypadku rezonansowego tunelowania dziur, kluczowym elementem jest uwzględnienie nie tylko samego pola magnetycznego, ale także właściwości pasm energetycznych, które mogą być nieliniowe. Ponadto, podczas rozwiązywania układu należy pamiętać o sprzężeniu między różnymi rodzajami dziur (ciężkimi i lekkimi), co może wprowadzać złożoność do analizy, a także o konieczności zastosowania obliczeń numerycznych w przypadkach, w których analityczne rozwiązania są trudne do uzyskania.

Jakie są przyczyny oporu kontaktowego w układach o małej skali?

W takim przypadku opór, który występuje w układzie, nie wynika z różnicy między materiałami samego przewodnika a kontaktami, ale z właściwości samego układu kontaktowego. Kontakt stanowi barierę, która powoduje opór, ponieważ tylko nieliczne tryby (mody) mogą przenosić prąd w obrębie przewodnika, podczas gdy w kontaktach może istnieć ogromna liczba trybów. Efekt ten nazywany jest oporem kontaktowym i zależy od sposobu, w jaki prąd przekracza granicę między wąskim przewodnikiem a szerszym kontaktem.

Aby zrozumieć mechanizm tego oporu, należy rozważyć, jak prąd przepływa przez układ. Jeżeli na przykład napięcie między dwoma kontaktami wprowadzamy do układu, wówczas elektrony w przewodniku zajmują różne stany kwazi-Fermiego zależnie od kierunku przepływu prądu. W wyniku działania napięcia, niektóre stany w przewodniku, które wcześniej były puste, zostaną zapełnione elektronami z jednego z kontaktów, podczas gdy inne stany pozostaną puste. Zjawisko to prowadzi do przepływu prądu, który jest ograniczony do tych stanów, które mieszczą się w obrębie rozpiętości energetycznej wyznaczonej przez poziomy Fermi’ego obu kontaktów.

Na poziomie mikroskalowym prąd przekazywany jest przez dyskretne tryby energetyczne, które są ze sobą powiązane przez zależności między energią a falą de Broglie’a. Każdy taki tryb posiada pewną energię graniczną, poniżej której nie dochodzi do przepływu prądu, a nad którą możliwe jest przemieszczanie się elektronów. Liczba tych trybów (mód) w jednostkowej energii jest funkcją szerokości przewodnika oraz energii elektronów, a ich ilość wyznacza zdolność przewodzenia.

Zgodnie z teorią, liczba trybów zależy od parametrów układu i można ją obliczyć, biorąc pod uwagę różne właściwości przewodnika, takie jak jego szerokość oraz energię Fermi’ego elektronów w tym przewodniku. Jeśli szerokość przewodnika jest na przykład rzędu kilku nanometrów, liczba trybów może wynosić tylko kilka. Dopiero gdy próbka osiągnie wielkości makroskalowe, liczba trybów staje się wystarczająco duża, by opór kontaktowy stał się znikomy.

Opór kontaktowy w układach o małych rozmiarach jest istotnym efektem kwantowym, który jest bezpośrednio związany z właściwościami transmisji elektronów przez granice między różnymi obszarami materiałów. W eksperymentach przeprowadzonych na układach o strukturze GaAs/AlGaAs wykazano, że przewodność w układach o wysokiej mobilności jest skwantowana i może wynosić całkowite wartości 2e²/h, gdzie e to ładunek elementarny, a h to stała Plancka. Jest to fundamentalny efekt, który pojawia się w układach o bardzo małych rozmiarach, a który nie ma odpowiednika w klasycznej teorii przewodnictwa.

Zjawisko to jest szczególnie istotne w kontekście przyszłości urządzeń nanoelektronowych, które działają w oparciu o zjawiska kwantowe. Z tego powodu, zrozumienie mechanizmów oporu kontaktowego i związanych z nim efektów, takich jak kwantowanie przewodności, ma kluczowe znaczenie dla dalszego rozwoju technologii na poziomie nanoskali.

Jak działa efekt pojedynczego elektronu i tranzystor pojedynczego elektronu?

Początkowo, podobne badania napotkały szereg trudności, głównie związanych z technologią wytwarzania odpowiednio małych struktur. Jednakże, po rozwoju technik produkcji elementów półprzewodnikowych o szerokości kanału mniejszej niż 100 nm, możliwe stało się kontrolowanie przepływu pojedynczych elektronów przez takie mikroskalowe urządzenia. Jednym z przełomowych momentów w tej dziedzinie był rok 1989, kiedy to zespół Scott-Thomas stworzył urządzenie z podwójną bramką o szerokości 70 nm, które pozwalało na manipulowanie ruchem elektronów w wąskim kanale półprzewodnikowym. Efektem tego było uzyskanie cyklicznych oscylacji przewodności w zależności od napięcia na bramkach, co wskazywało na zjawisko przejścia pojedynczych elektronów przez strukturę.

Eksperymenty te zostały rozszerzone na struktury wykorzystywane w heterozłączach GaAs/AlGaAs, gdzie wprowadzono elementy strukturalne takie jak zwężenia bramek, które mogły precyzyjnie kontrolować oscylacje w przewodności. Takie podejście umożliwiło osiągnięcie wyników charakteryzujących się większą regularnością i przewidywalnością, w przeciwieństwie do wcześniejszych doświadczeń, w których efekty były bardziej chaotyczne, a okresowość oscylacji zmieniała się w zależności od zanieczyszczeń w materiale. W przypadku czystszych materiałów, jak GaAs, oscylacje były bardziej stabilne, co dawało możliwość kontroli nad ich okresem przez modyfikację geometrii urządzenia.

Również eksperymenty prowadzone przez Kouwenhovena i współpracowników w układach typu "split-gate", czyli z podzieloną bramką, pozwoliły na dalsze zgłębienie tych efektów. Stworzenie urządzeń w oparciu o dwuwymiarowy gaz elektronowy w heterostrukturach GaAs/AlGaAs umożliwiło precyzyjne manipulowanie jednym elektronem w układzie, dzięki czemu uzyskano bardzo regularne oscylacje przewodności w zależności od napięcia bramki. Obserwacje te pokazują, jak dużą rolę w takich systemach odgrywa nie tylko geometria, ale także jakość materiału, w którym dochodzi do transportu elektronów.

Rozważania nad transportem elektronów w kwantowych kropkach i urządzeniach na poziomie pojedynczych elektronów wyznaczają nowe horyzonty dla przyszłych technologii. To, co jeszcze przed dekadą wydawało się abstrakcyjną koncepcją, dzisiaj staje się rzeczywistością, a miniaturyzacja urządzeń umożliwia stworzenie nowych typów tranzystorów i układów logicznych, które mogą zostać zastosowane w elektronice kwantowej, a także w badaniach nad kwantowymi komputerami.

Jak obliczyć macierze rozpraszania dla struktury falowodu z wieloma portami?

Obliczanie macierzy rozpraszania dla falowodów jest niezbędnym narzędziem w analizie urządzeń kwantowych, takich jak kierunkowe sprzężenie falowe. Na podstawie wcześniej wspomnianych wzorów i metod obliczeniowych, proces ten może być przeprowadzony w sposób prosty, ale wymaga zrozumienia, jak macierze transferu oraz macierze rozpraszania współdziałają w różnych konfiguracjach strukturalnych. W tym kontekście, przyjrzymy się bardziej szczegółowo, jak obliczyć te macierze dla falowodów z wieloma terminalami, analizując zarówno struktury prostsze, jak i bardziej złożone.

Podstawowym narzędziem w obliczeniach macierzy rozpraszania jest definicja macierzy transferu dla jednego odcinka falowodu. Dla falowodu o długości $L$, propagacja swobodna może być opisana przez macierz rozpraszania $S_f$, którą można zapisać jako:

gdzie $P$ jest macierzą diagonalną, której elementy to $P_{nn} = e^{ik_nL}$, opisujące propagację fali wzdłuż falowodu. Warto zauważyć, że ogólna macierz rozpraszania dla bardziej złożonej struktury falowodowej może być uzyskana przez kombinację macierzy rozpraszania poszczególnych sekcji. W przypadku dwóch sekcji A i B, łącząc je w jeden układ A+B, całkowitą macierz transferu można wyrazić jako iloczyn macierzy transferu poszczególnych sekcji:

Jednak, co istotne, całkowita macierz rozpraszania $S_{A+B}$ nie może być zapisana jako prostą funkcja macierzy $S_A$ i $S_B$. Aby uzyskać pełną macierz rozpraszania dla układu A+B, należy uwzględnić dodatkowe operacje matematyczne, jak pokazano w poniższym wzorze:

gdzie poszczególne elementy są wyrażone jako:

Rozważając bardziej złożoną strukturę, jak falowód z wieloma terminalami, należy uwzględnić wpływ różnych sekcji falowodu na całą strukturę. W przykładzie przedstawionym na rysunku 11.7, struktura falowodu jest podzielona na trzy sekcje: dwie sekcje przy terminalach $L_1$ i $L_2$, sekcję łączącą $W$, oraz sekcję przy terminalach $R_1$ i $R_2$. Ogólna macierz rozpraszania dla tej struktury jest wyrażona jako:

W tej formule $S_{L1,L2;W}$ jest macierzą rozpraszania dla interfejsu między sekcjami $L1, L2$ a $W$, a $S_{W;R1,R2}$ opisuje interakcję między sekcją łączącą $W$ a terminalami $R1$ i $R2$.

Podobnie, dla bardziej złożonych struktur, jak krzyżowy falowód z czterema portami (np. przedstawiony na rysunku 11.9), macierz rozpraszania nie może być uzyskana poprzez zwykłe łączenie macierzy dla poszczególnych sekcji. W takim przypadku, w celu uzyskania pełnej macierzy rozpraszania, należy przeprowadzić szereg obliczeń związanych z funkcjami falowymi w obrębie całej struktury.

W przypadku struktur takich jak cztery-portowe urządzenie, gdzie różne sekcje falowodów są połączone w sposób nieliniowy, konieczne jest uwzględnienie różnych typów fal i ich wzajemnych interakcji w obrębie falowodu. Z tego powodu wyprowadzenie ogólnej macierzy rozpraszania wymaga nie tylko znajomości metod matematycznych, ale także ścisłego związku między geometrycznymi właściwościami urządzenia a jego właściwościami kwantowymi.