Jak obliczać współczynniki a1 i b1 w rezonansowym tunelowaniu podwójnych barier potencjału?

Współczynniki $a_1$ i $b_1$ mogą zostać obliczone na podstawie równania 3.53. Zgodnie z definicją macierzy transferowej (Eq. 3.13), $a_1 = 1 \, (\text{M})$. Wówczas mamy:

$$a_1 = M_{11} \quad \text{oraz} \quad b_1 = M_{21}.$$

Jest to prosty sposób na uzyskanie tych współczynników, który sprawdza się w przypadku dowolnej formy bariery potencjału czy tunelowania dziur (ciężkie i lekkie dziury, z ich wzajemnym sprzężeniem) [9].

Symetria macierzy transferowej

Podobnie jak dla macierzy rozpraszania $S$ (Eq. 3.47), istnieje również symetria dla macierzy transferowej. W przypadku braku pola magnetycznego i sprzężenia spinowo-orbitalnego funkcje falowe $\varphi(z)$ i $\varphi^*(z)$ są rozwiązaniami równania Schrödingera. Stąd:

$$\varphi^*(z) = a^* e^{ -ikz} + b^* e^{ikz}.$$

Z definicji macierzy transferowej (Eq. 3.13), otrzymujemy zależność:

$$a^* = M_{11}^* M_{12}^* \quad \text{oraz} \quad b^* = M_{21}^* M_{22}^*.$$

Te wzory pozwalają na określenie odpowiednich współczynników i prowadzą do następującej zależności:

$$M_{11}^* = M_{22} \quad \text{oraz} \quad M_{12}^* = M_{21}.$$

Rezonansowe tunelowanie podwójnych barier potencjału

Dla struktury z pojedynczą barierą potencjału macierz transferowa pochodzi z równania 3.15 i przyjmuje postać:

$$\left| \frac{1}{t} \, \frac{r^*}{t^*} \right| = \left| 1 \, \frac{r_1}{t_1} \right|.$$

W przypadku struktury z podwójną barierą, zakładając, że szerokość środkowego studni potencjału wynosi $w$, całkowita macierz transferowa przyjmuje postać:

$$M = \begin{pmatrix}$$

e^{ -ikw} & 0 & 1 \\ r_1/t_1 & 1/t^* & r_1/t_1 \\ 0 & e^{ikw} & 1 \end{pmatrix}.

Wzór ten umożliwia obliczenie elementów macierzy transferowej oraz związanych z nimi prawdopodobieństw odbicia i transmisji.

Obliczenia prawdopodobieństwa transmisji

Prawdopodobieństwo transmisji $T$ dla struktury z podwójną barierą może zostać obliczone na podstawie wzoru:

Z równania tego wynika, że mimo małego prawdopodobieństwa transmisji $T_1$ dla pojedynczej bariery, w przypadku podwójnej bariery, gdy $kw + \theta = (n + 1/2)\pi$, prawdopodobieństwo transmisji $T$ osiąga wartość 1.

Przykład obliczeniowy dla struktury AlAs/GaAs/AlAs

Obliczone prawdopodobieństwa transmisji dla struktury podwójnej bariery potencjału AlAs/GaAs/AlAs, zależne od energii elektronu, zostały zaprezentowane na rysunku 3.3. Wartość bariery $V_0 = 1.355 \, \text{eV}$, a szerokość bariery $L_B = 2.3 \, \text{nm}$. Dla różnych szerokości studni kwantowej $L_W$ (5 nm, 7 nm, 9 nm) wyliczono odpowiednie krzywe.

Szerokość szczytu rezonansowego

Jeśli rozwinąć wzór prawdopodobieństwa RT w pobliżu energii rezonansowej $E_n$, otrzymujemy charakterystyczny kształt linii Lorentza:

Gdzie $\Delta E_n$ jest szerokością szczytu rezonansowego, a $E_n$ to energia rezonansowa. Wartość $\Delta E_n$ oblicza się ze wzoru:

Warto zauważyć, że stan uwięziony w studni kwantowej struktury z podwójną barierą to stan quasi-uwięziony. Oznacza to, że jeśli elektron pozostaje w tym stanie, w końcu ucieknie ze studni, a energia tego stanu quasi-uwięzionego jest liczbą zespoloną:

$$E = E_0 - i \frac{\Delta E_n}{2}.$$

Funkcja falowa elektronu w tym stanie przyjmuje postać:

Zatem gęstość elektronów w studni decyduje się na czas:

$$|\varphi(t)|^2 = e^{ -\Delta E_n t}.$$

Czas życia elektronu

Na podstawie powyższego obliczenia możemy zdefiniować czas życia elektronu w tym stanie jako:

Dalsze analizy uwzględniają, że elektrony wchodzące do struktury mają moment pędu $k$ w przestrzeni trójwymiarowej i rozkład Fermiego $f(k)$. Całkowity prąd tunelowy zależy od wszystkich stanów elektronowych, a równanie prądu jest wyrażone jako:

Całkowita energia elektronu może być zapisana jako $E = E_z + E_t$, gdzie $k_z$ to komponent momentu pędu w kierunku $z$, a $k_t$ to moment pędu w pozostałych kierunkach. Po obliczeniu całki z równań prądu i rozkładu Fermiego, otrzymujemy wyrażenie na prąd tunelowy w zależności od napięcia:

Kluczowe uwagi

Przy omawianiu struktury podwójnej bariery potencjału warto uwzględnić, że zastosowanie tej technologii w elektronice kwantowej umożliwia efektywne manipulowanie przepływem elektronów przy minimalnym zużyciu energii. Istotne jest również uwzględnienie wpływu szerokości studni kwantowej na właściwości struktury, gdyż zmienia to liczba stanów uwięzionych i wysokość energii rezonansowych.

end

Jak manipulować polaryzacją spinu elektronów Rashby w strukturach kwadratowych i okrągłych?

W kontekście pierścieni kwantowych z RSOI, jednym z najważniejszych obiektów badań jest zjawisko interferencji spinowej, które jest wynikiem oddziaływania spinów z ruchem elektronów w takich strukturach. Pierścienie te, szczególnie w postaci kwadratowych czy okrągłych, stają się interesującymi obiektami badawczymi ze względu na możliwość precyzyjnego modelowania oddziaływań spinowych oraz transportu elektronów w układzie, który może wykazywać unikalne właściwości spinowe.

Badania nad transportem elektronów Rashby przez pierścienie kwantowe wykazały, że efektywne potencjały okresowe wytwarzane przez RSOI mogą prowadzić do osłabienia prądu spinowego i lokalizacji elektronów. Takie zjawiska są szczególnie wyraźne, gdy rozważamy transport elektronów w strukturach takich jak łańcuchy kwantowe czy pierścienie z dodatkowymi źródłami pola magnetycznego, jak to miało miejsce w badaniach Molnara i innych [9, 10]. Z kolei inne badania, na przykład na podwójnym pierścieniu kwantowym w obecności RSOI oraz strumienia magnetycznego, wykazały możliwość działania takich struktur jako przełączników spinowych [11].

Wspomniane efekty są szczególnie widoczne w okrągłych pierścieniach kwantowych, w których Hamiltonian układu można wyrazić za pomocą jednej zmiennej, co umożliwia łatwiejsze obliczenia i lepsze zrozumienie mechanizmów spinowych. Dla bardziej złożonych kształtów pierścieni, takich jak pierścienie kwadratowe, obliczenia stają się bardziej wymagające, gdyż brak jest prostej formy jednowymiarowego Hamiltonianu. Niemniej jednak, przy odpowiednim podziale na segmenty wzdłuż krawędzi pierścienia, możliwe jest uzyskanie wyników analitycznych, które pozwalają na przewidywanie zachowań spinowych także w tych bardziej skomplikowanych geometriach.

Przykładem takiej analizy jest badanie transportu elektronów Rashby w pierścieniu kwadratowym z polem magnetycznym. W takim układzie, podobnie jak w pierścieniach okrągłych, dla każdego segmentu pierścienia można wyznaczyć funkcje falowe, które są następnie analizowane w kontekście wpływu parametrów takich jak pole magnetyczne B czy współczynnik RSOI α na transport elektronów. Dodatkowo, analiza wpływu tych parametrów na polaryzację spinów pozwala na lepsze zrozumienie, jak manipulować kierunkiem i natężeniem spinowego prądu w takich strukturach.

Wprowadzenie do analizy transportu elektronów Rashby w pierścieniach o bardziej złożonych geometriach opiera się na podzieleniu krzywej na małe segmenty. Dzięki temu każdemu segmentowi przypisywane są odpowiednie funkcje falowe, które uwzględniają kątowy charakter geometrii pierścienia. Dla pierścienia kwadratowego, na przykład, uwzględnia się kąty polarne każdego z boków pierścienia, co pozwala na uwzględnienie wpływu RSOI na transport i polaryzację spinów w sposób zbliżony do tego, jakby pierścień był ciągłą strukturą jednowymiarową.

Takie podejście daje możliwość dokładniejszego modelowania zachowań spinów w strukturach, które nie mają formy klasycznych pierścieni okrągłych, a jednocześnie pozwala na przewidywanie właściwości transportowych dla bardziej złożonych układów. Dzięki temu, badania nad spinową polaryzacją w pierścieniach kwantowych z RSOI mogą stać się fundamentem dla rozwoju nowych technologii w dziedzinie spintroniki, gdzie precyzyjna kontrola nad spinem jest kluczowa.

Ważne jest, aby czytelnik zrozumiał, że manipulacja spinem w takich układach nie jest jedynie kwestią działania pola elektrycznego czy magnetycznego. W rzeczywistości, parametry takie jak współczynnik RSOI i pole magnetyczne B mają kluczowy wpływ na zachowanie elektronów w takich strukturach, co może prowadzić do efektywnych przełączników spinowych lub innych zaawansowanych urządzeń spintronicznych. Aby w pełni wykorzystać potencjał takich układów, konieczne jest także zrozumienie, w jaki sposób interakcje spinowe mogą wpływać na inne aspekty transportu elektronów, jak na przykład lokalizacja elektronów czy efekt tunelowania spinowego.