W kontekście omawiania równań pola w modelu dwóch cieczy, warto zwrócić uwagę na fundamentalne zależności, które wynikają z analizy układu zawierającego zarówno komponenty normalne, jak i nadciekłe. Zgodnie z wcześniejszymi badaniami, określonymi przez Khalatnikova, współczynniki kinetyczne dla tych dwóch składników są ze sobą powiązane w sposób, który prowadzi do uproszczenia całego układu. Równość ζ2ζ3=ζ12\zeta_2 \zeta_3 = \zeta_1^2 oznacza, że w tym rozważanym modelu dissipacyjnym, zawierającym dwie ciecze, mamy tylko cztery niezależne współczynniki kinetyczne: η,ζ3,ζ4,λ\eta, \zeta_3, \zeta_4, \lambda.

Aby ustalić równania pola, należy zauważyć, że lewa strona równań (2.3.39) jest funkcją gęstości ρ\rho, entropii nadciekłej ρs\rho_s, temperatury TT i prędkości przepływu normalnej cieczy VnsV_{ns}. Z ich zaniku wynika algebriczne powiązanie między tymi wielkościami, co umożliwia wyrażenie jednej z nich za pomocą pozostałych. W rezultacie następuje redukcja liczby niezależnych pól, a do wyznaczenia równań pola używamy równań bilansu masy i pędu, które uzyskujemy bezpośrednio z (2.3.16)-(2.3.17):

∂ρ∂t+∇⋅(ρv)=0\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho v) = 0
∂ρv∂t+∇⋅(ρvv+P)=0\frac{\partial \rho v}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho v v + P) = 0
∂ρs∂t+∇⋅(ρsvs+Ps)=ms\frac{\partial \rho s}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho s v_s + P_s) = m_s

Te równania są podstawą opisu dynamiki układu dwóch cieczy. Równanie bilansu energii układu (2.3.18) i równość bilansu pędu dla komponentu nadciekłego (2.3.54) umożliwiają dalszą analityczną obróbkę układu.

Podobnie, przyrosty prędkości dla komponentów normalnego i nadciekłego można opisać równaniami ewolucji prędkości, które uwzględniają różnice w zachowaniu dwóch cieczy w różnych warunkach. Równania te są następujące:

∂vs∂t+(vs⋅∇)vs+∇ps+∇⋅Ps=0\frac{\partial v_s}{\partial t} + (v_s \cdot \nabla) v_s + \nabla p_s + \nabla \cdot P_s = 0
∂vn∂t+(vn⋅∇)vn+∇pn+∇⋅Pn=−τnVns\frac{\partial v_n}{\partial t} + (v_n \cdot \nabla) v_n + \nabla p_n + \nabla \cdot P_n = - \tau_n V_{ns}

Warto zwrócić uwagę, że prawa stron tych równań zależą od masowego źródła τn\tau_n, które jest często pomijane w literaturze. Jednak należy pamiętać, że komponenty normalne i nadciekłe mogą łatwo przekształcać się w siebie wzajemnie w zależności od temperatury. Oznacza to, że masowy bilans dla komponentu normalnego jest istotny, a τn\tau_n, jak i jego zmiana w układzie, nie powinna być ignorowana.

W tych równaniach występują również istotne różnice w zachowaniu gradientów temperatury, które pełnią rolę mechanizmów transferu ruchu między obiema cieczami. Terminy nieliniowe w równaniach przypominają wkład Bernoulliego do ciśnienia, ale z prędkościami względnymi zamiast barycentrycznych. Ważne jest również, aby zrozumieć, że oba składniki mają swoje unikalne entropie, i że entropia nadciekła jest kluczowa dla opisania zachowań cieczy w szczególnych warunkach.

Wnioski wynikające z analizy modelu dwóch cieczy stają się szczególnie istotne, gdy rozważymy przypadki, w których entropia nadciekła nie jest równa zeru, co prowadzi do modyfikacji standardowych równań Landaua. W takich przypadkach należy uwzględnić dodatkowe terminy związane z entropią sss_s oraz ich wpływ na dynamikę obu składników cieczy. Przykładem może być równanie ewolucji dla komponentu nadciekłego, które po wprowadzeniu entropii nadciekłej zmienia się do formy:

∂vs∂t+(vs⋅∇)vs+∇μI+T∇ss+∇⋅Ps=0\frac{\partial v_s}{\partial t} + (v_s \cdot \nabla) v_s + \nabla \mu_I + T \nabla s_s + \nabla \cdot P_s = 0

Aby w pełni zrozumieć zastosowanie tego modelu, istotne jest uwzględnienie zmian w entropii oraz reakcji obu komponentów na różnice temperatury. To podejście pozwala na dokładniejsze zrozumienie mechanizmów transportu energii, masy i pędu w systemach niskotemperaturowych, a także w kontekście fizyki nadciekłości, co jest kluczowe przy rozważaniu takich substancji jak Helium II.

W modelu dwóch cieczy szczególną uwagę należy zwrócić na prędkości względne między komponentami oraz ich interakcje termiczne i kinetyczne. Model ten w sposób precyzyjny przewiduje zachowanie cieczy w bardzo wąskich kanałach, czyli tzw. "superwodach" – przypadkach, w których płynność nadciekła daje unikalne właściwości, jak zdolność do przepływu przez wąskie szczeliny bez oporu.

Jak kwantyzowane warkocze w płynach superciekłych mogą pomóc w zrozumieniu gwiazd neutronowych?

Zjawisko kwantyzacji warkoczy w płynach superciekłych stało się przedmiotem wielu badań, zwłaszcza po odkryciu rotujących warkoczy w helu II. W 1964 roku Ginzburg i Kirzhnits zaproponowali, że w szybko rotujących gwiazdach neutronowych mogą powstawać kwantyzowane linie warkoczy, z ilością cyrkulacji równą h/2m_n, gdzie m_n to masa neutronu. To przypuszczenie wywołało dalsze badania, które rozwinęły się na przykład w eksperymentach przeprowadzonych przez Tsakadzego i Tsakadzego w 1980 roku, które pozwoliły na głębsze zrozumienie dynamiki warkoczy w płynach superciekłych. Ich badania obejmowały badanie procesu relaksacyjnego prędkości kątowej w obracających się kulach szklanych napełnionych hellem II, przyspieszanych elektromagnetycznie.

Eksperymenty te ujawniły kilka istotnych zjawisk związanych z warkoczami kwantowymi. Zauważono, że superciecz może wykonywać rotacje metastabilne, nie będące w równowadze z liczbą warkoczy. Wraz z malejącą liczbą warkoczy, moment pędu może być przekazywany do kuli, powodując jej przyspieszenie. Proces ten trwa przez dłuższy czas, aż do osiągnięcia równowagi, podczas którego następuje redystrybucja momentu pędu między naczyniem a supercieczą. Ponadto, zauważono zależność czasu zaniku momentu pędu od temperatury, promienia naczynia, początkowej prędkości kątowej i początkowego skoku prędkości kątowej.

Jednym z najważniejszych wyników eksperymentów było odkrycie, że w temperaturze lambda (2,17 K) występuje skok w czasie zaniku momentu pędu, co wskazuje na zmniejszenie interakcji między naczyniem a cieczą. Ten spadek interakcji jest związany z malejącym składnikiem normalnym cieczy. Model matematyczny opisujący czas zaniku momentu pędu, uwzględniający zależności od temperatury, promienia naczynia oraz innych zmiennych, mógłby być zastosowany do zrozumienia zjawisk zachodzących w gwiazdach neutronowych. Obliczenia wskazują, że czas ten w przypadku pulsarów może wynosić około 10^7 s, co jest zgodne z obserwacjami tzw. "glitchy" w gwiazdach neutronowych.

Porównanie z obrotowymi kondensatami Bosego-Einsteina, będącymi podobnymi układami do helu II, dostarcza interesujących wniosków. W kondensatach Bosego-Einsteina, ze względu na większą masę cząsteczek (np. rubid, który jest 20 razy cięższy od helu-4), kwant cyrkulacji jest znacznie mniejszy, co powoduje, że rdzeń warkoczy kwantowych jest większy. Zauważono również, że w przeciwieństwie do helu II, gdzie liczba warkoczy rośnie wraz z szybkością rotacji, w kondensatach Bosego-Einsteina liczba warkoczy osiąga pewien maksimum, a następnie zaczyna maleć, co może być wynikiem wzrostu odpychania między warkoczami oraz większych sił odśrodkowych.

Mimo różnic w zachowaniu warkoczy w tych dwóch układach, istnieje wiele analogii, które mogą pomóc w zrozumieniu zjawisk kwantyzacji cyrkulacji w płynach superciekłych, w tym w gwiazdach neutronowych. Zjawiska te są niezwykle ważne dla dalszego zrozumienia dynamiki pulsarów oraz innych ciał niebieskich, gdzie podobne mechanizmy mogą występować, choć w zupełnie innych warunkach.

Ważnym aspektem, który warto uwzględnić, jest fakt, że procesy kwantowe zachodzące w gwiazdach neutronowych, mimo pewnych analogii z eksperymentami na Ziemi, są znacznie bardziej skomplikowane. Na przykład, przyspieszenie gwiazd neutronowych, tzw. "glitchy", mogą być wynikiem rozprzestrzeniania się warkoczy w kwantowym stanie supercieczy, gdzie istnieje interakcja pomiędzy chaotycznym splątaniem warkoczy a uporządkowanymi strukturami w tych ekstremalnych warunkach. Kluczowym wyzwaniem jest także uwzględnienie wpływu silnych pól magnetycznych, które mogą znacząco wpływać na dynamikę tych warkoczy, a tym samym na procesy fizyczne w pulsarze.

Jak analiza wymiarowa pomaga zrozumieć kaskadę energii w turbulencji?

W klasycznej teorii turbulencji, proces przekazywania energii wśród różnych skal wody jest opisany za pomocą modelu kaskady Kolmogorowa. Jednakże, w przypadku turbulencji w superpłynach, jak w hełium-4, zachowanie to przybiera bardziej złożoną formę, obejmującą kwantowe efekty. Energia w systemach takich jak te rozprzestrzenia się nie tylko na podstawie klasycznych założeń, ale także w sposób specyficzny dla układów kwantowych.

Zgodnie z równaniem ewolucji prędkości w teorii jednorodnej cieczy (równość 10.3.36), energia w turbulencji jest głównie związana z średnią prędkością pola. W tej teorii, równanie prędkości przedstawia się jako klasyczne równanie Naviera-Stokesa, w którym kinematyczna lepkość i udział przepływu ciepła są uwzględnione w ostatnim członie. Tak więc, w przypadku klasycznej turbulencji, dominującą rolę w przenoszeniu energii od większych wirów do mniejszych odgrywa proces kaskady Kolmogorowa. Jest to proces, w którym energia przekazywana jest przez różne skale w sposób, który utrzymuje stałość całkowitej energii. Równanie (10.3.37) wyraża ten proces jako ciągłość energii w przestrzeni spektroskopowej, w której strumień energii między modami o różnych wektorach fali jest opisany przez funkcję ε(k, t).

Zgodnie z klasycznym rozumieniem, dla przypadku stacjonarnego, kiedy ε(k) = 0, otrzymujemy formę energii kaskady E(k) = CK41εk^(-5/3), gdzie C jest współczynnikiem numerycznym. Jest to klasyczna forma kaskady Kolmogorowa, która występuje w zakresie inercjalnym, gdzie w turbulentnym przepływie nie zachodzi dyssypacja lepkosći. Jednakże, w bardziej złożonych przypadkach, jak turbulentność intermittentna, ten proces może ulegać modyfikacjom. W takim przypadku kaskada zmienia się na E(k) ∼ ε^2/3k^(-5/3)(kL0)^β, gdzie L0 jest charakterystycznym rozmiarem procesu wzbudzającego energię w systemie, a wykładnik β jest związany z wymiarem fraktalnym tego typu turbulencji. Oznacza to, że proces wzbudzania energii ma wpływ na całą kaskadę, a nie tylko na przejściowe skale w reżimie inercjalnym.

W przypadku superpłynów, takich jak hel jest to jeszcze bardziej złożony proces, który budzi kontrowersje. Zauważono, że w przypadku, gdy energia jest dostarczana w sposób klasyczny, np. za pomocą widełek czy siatki, superpłyn wykazuje klasyczne zachowanie turbulencji, z przejściem energii w sposób zgodny z widmem Kolmogorowa. Z kolei, w regionie kwantowym, obserwuje się inne zachowanie, w którym energia jest przekazywana w sposób opisany przez E(k) ∼ κ^2 k^(-3) lub E(k) ∼ κ^2 k^(-1), w zależności od skali k. To zjawisko jest ściśle związane z wielkościami fizycznymi charakterystycznymi dla superpłynów, takimi jak kwant cyrkulacji κ, separacja wirów czy wektor fali k.

Równania (10.3.41) i (10.3.42) opisywały te różnice poprzez uwzględnienie różnych eksponentów kaskady w zależności od skali w przestrzeni falowej. W przypadku skali k -3 w reżimie hydrodynamicznym, gdzie liczba wirów w jednostkowej powierzchni rośnie zgodnie z k^(-3), oraz skali k -1 w reżimie kwantowym, gdzie w jednostkowej powierzchni może znajdować się pojedynczy wir, zachowanie to jest ściśle związane z fizycznymi cechami wirów w superpłynach.

W przypadku zjawisk takich jak przepływ przeciwbieżny i superprzepływ, kluczowe znaczenie ma względna prędkość między dwoma składnikami, co powoduje, że rozważanie ich dynamiki na poziomie kwantowym wymaga uwzględnienia tych szczególnych oddziaływań. W superprzepływie, gdzie jedynie składnik superpłynny może przepływać, a w przepływie przeciwbieżnym, gdzie zachodzi ruch przeciwnych komponentów, efekty te przyczyniają się do wyraźnych różnic w dynamice energetycznej systemu. Rozpatrując te przypadki w kontekście analizy wymiarowej, kluczowe staje się zrozumienie, jak struktura turbulencji wpływa na charakter rozprzestrzeniania energii w różnych skalach.

Zatem, poza typowymi założeniami klasycznej turbulencji, należy wziąć pod uwagę również efekt kwantowy w superpłynach, w którym na skalach mniejszych niż charakterystyczna długość wiru zachowanie systemu zmienia się w sposób, który nie może być wyjaśniony jedynie analizą wymiarową. Intermitencja, zmienność intensywności fluktuacji oraz skomplikowana dynamika przekazywania energii w takich układach wymagają dokładniejszego uwzględnienia tych zjawisk na poziomie kwantowym, co może znacząco wpłynąć na ogólny obraz turbulencji w superpłynach.

Jak opisane są równań ewolucji modelu dwóch cieczy w fizyce helu II?

Aby opisać ewolucję układu, niezbędne są dynamiczne równania dla zmiennych, a ich zgodność z drugą zasadą termodynamiki musi być dokładnie sprawdzona. Wyniki takich równań, w różnych fizycznych sytuacjach, powinny być następnie porównane z wynikami eksperymentalnymi w celu weryfikacji ich prawdziwości. W tej części przedstawiamy krótkie wprowadzenie bezpośrednio do podstawowych cech fizycznych zmiennych w modelu dwóch cieczy, pomijając efekty dyssypacyjne, które zostaną wprowadzone w kolejnej sekcji.

Równania ewolucji w modelu dwóch cieczy opisujące zachowanie helu II w granicy zerowej temperatury, gdzie zjawiska dyssypacyjne są nieobecne, zostały opracowane przez Landaua.

Zgodnie z tym modelem, gęstość ρ\rho oraz przepływ masy ρv\rho v muszą spełniać równanie ciągłości:

∂ρ∂t+∇⋅(ρv)=0,\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho v) = 0,

a także równanie bilansu całkowitego pędu:

∂(ρv)∂t+∇⋅(ρvv+pU)=0,\frac{\partial (\rho v)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho v v + pU) = 0,

gdzie pp oznacza ciśnienie termodynamiczne, a UU to tensor tożsamości. Oprócz ogólnych równań bilansu, konieczne jest jeszcze dodatkowe równanie, które opisuje ewolucję vsv_s, prędkości nadciekłej części helu II. Aby zapewnić, że ∇×vs=0\nabla \times v_s = 0, czasowa pochodna vsv_s musi być gradientem jakiejś funkcji skalarnej. W modelu Landaua przyjęto, że będzie to wyglądać następująco:

∂vs∂t+∇⋅(vs22)+μ=0,\frac{\partial v_s}{\partial t} + \nabla \cdot \left( \frac{v_s^2}{2} \right) + \mu = 0,

gdzie μ\mu to skalarne pole, które identyfikuje się z potencjałem chemicznym. Z ogólnych zasad termodynamiki można wyprowadzić dla potencjału chemicznego μ\mu zależność:

∇μ=1ρ∇p−s∇T.\nabla \mu = \frac{1}{\rho} \nabla p - s \nabla T.

W związku z tym równanie ewolucji prędkości nadciekłej przyjmuje formę:

∂vs∂t+vs⋅∇vs=−∇pρs+ρsρ∇T.\frac{\partial v_s}{\partial t} + v_s \cdot \nabla v_s = -\frac{\nabla p}{\rho_s} + \frac{\rho_s}{\rho} \nabla T.

To równanie ma postać równań Eulera dla idealnych cieczy, z dodatkowym składnikiem zależnym od gradientu temperatury TT. W obecności nieliniowych składników, to równanie będzie zawierało jeszcze dodatkowy termin, co zostanie omówione w następnej części.

Poza równaniami ewolucji dla wielkości mechanicznych, takich jak gęstość ρ\rho, prędkość vv i prędkość nadciekłej części vsv_s, konieczne są również równania ewolucji dla wielkości termodynamicznych, takich jak energia wewnętrzna na jednostkę masy ee oraz entropia na jednostkę masy ss. Landau uzupełnił powyższe równania, zakładając, że entropia helu II jest zachowana w przypadku braku efektów dyssypacyjnych, i zapisał równanie dla gęstości entropii ss w postaci:

∂(ρs)∂t+∇⋅(ρvsn)=0.\frac{\partial (\rho s)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho v_s n) = 0.

Równania (2.2.4)–(2.2.6) oraz (2.2.8) opisują całą ewolucję układu w braku dyssypacji; w tych równaniach ρ\rho, μ\mu i ss są funkcjami nie tylko klasycznych zmiennych termodynamicznych pp i TT, ale także Vns2V_{ns}^2, kwadratu względnej prędkości składników normalnego i nadciekłego.

Energia wewnętrzna i entropia nie są niezależnymi wielkościami, lecz są związane przez fundamentalne równanie stanu. Dla energii wewnętrznej na jednostkę masy w układzie, w którym prędkość nadciekłej części wynosi zero, Landau zapisał:

d(ρe0)=μdρ+Td(ρs)+Vns⋅dj0,d(\rho e_0) = \mu d\rho + T d(\rho s) + V_{ns} \cdot dj_0,

gdzie j0j_0 oznacza pęd w takim układzie, j0=ρnVnsj_0 = \rho_n V_{ns}. Równanie to implikuje dla ciśnienia zależność:

p=−ρe0+ρsT+ρμ+ρnVns2.p = -\rho e_0 + \rho_s T + \rho \mu + \rho_n V_{ns}^2.

Po różniczkowaniu tej zależności i uwzględnieniu powyższego równania, otrzymujemy wyrażenie dla różniczki potencjału chemicznego μ\mu:

dμ=−sρdT+ρnρdp−Vns⋅dV.d\mu = -\frac{s}{\rho} dT + \frac{\rho_n}{\rho} dp - V_{ns} \cdot dV.

Równanie to, po uwzględnieniu nieliniowych składników, przyjmuje formę:

∂vs∂t+vs⋅∇vs=−ρs∇pρ+ρsρ∇T+ρ∇Vns2.\frac{\partial v_s}{\partial t} + v_s \cdot \nabla v_s = -\frac{\rho_s \nabla p}{\rho} + \frac{\rho_s}{\rho} \nabla T + \rho \nabla V_{ns}^2.

Nowy, dodatkowy nieliniowy składnik przypomina wkład Bernoulliego do ciśnienia, ale z prędkością względną zamiast barycentryczną.

Energia wewnętrzna na jednostkę masy w układzie, w którym vs≠0v_s \neq 0, musi uwzględniać odpowiednie wkłady kinetyczne związane z prędkością nadciekłej części vsv_s. Wzór na tę energię jest następujący:

ρe=ρv2+j0s⋅vs+ρe0.\rho e = \rho v^2 + j_0 s \cdot v_s + \rho e_0.

W przypadku braku dyssypacji, równanie bilansu energii ma postać:

∂ρe∂t+∇⋅Q=p∇⋅v,\frac{\partial \rho e}{\partial t} + \nabla \cdot Q = p \nabla \cdot v,

gdzie QQ to gęstość strumienia energii. W książce Landaua-Lifshitza przyjęto następujące wyrażenie dla QQ:

Q=(ρe+p)v+[ρsTvn+ρn(Vns⋅vn)vn]−Vns2v.Q = (\rho e + p) v + \left[ \rho_s T v_n + \rho_n (V_{ns} \cdot v_n) v_n \right] - V_{ns}^2 v.

Pierwszy składnik w QQ odpowiada za przewodnictwo ciepła, a pozostałe dwa mają charakter konwekcyjny.

Rozważany model dwóch cieczy ma swoje odniesienie w szerszym kontekście teorii mieszanin cieczy. Uwzględniając efekty dyssypacyjne, przyjmuje się, że niewielka ilość entropii jest przenoszona także przez składnik nadciekły, co jest zgodne z obserwacjami eksperymentalnymi. W szczególności, eksperymentalne wyniki wskazują, że entropia przenoszona przez składnik nadciekły jest mniejsza niż 2% w porównaniu z entropią przenoszoną przez składnik normalny. W takim modelu uwzględnia się również dysypacyjne efekty w formie ogólnych równań równowagi masy, pędu i energii, które są wyrazem ogólnych zasad termodynamiki i zasad obiektywności materiału.

Jak działają języki programowania drabinkowego i blokowego w automatyce przemysłowej?
Jakie są kluczowe właściwości materiałów piezoelektrycznych i ich zastosowanie w nanokompozytach?
Jak struktura celulozy wpływa na jej przewodność cieplną i zastosowania w nowoczesnych materiałach
Jak rozumieć mechanizmy immunologiczne w sarkoidozie i ich znaczenie w diagnostyce?
Jak zmiany polityki imigracyjnej i administracyjne rozporządzenia wpływają na orzecznictwo sądów federalnych?