Hvordan den stasjonære fase-tilnærmingen fører til kvantemekanisk ekspansjon og løkkeekspansjon

I kvantemekanisens studier av tunellering og barrierepenetrasjon, hvor den klassisk forbudte regionen ikke støtter passende klassiske løsninger, gir den stasjonære løsningen i et invertert potensial et utgangspunkt for en kvantemekanisk ekspansjon. I denne sammenhengen kan den stasjonære fase-tilnærmingen være et nyttig verktøy for å utlede kvantemekaniske resultater selv i områder hvor klassiske metoder mislykkes.

Når vi ser på et system med flere partikler, er den koherente tilstands-funksjonelle integralen for evolusjonsoperatoren et sentralt element. I stedet for den vanlige tilnærmingen med en Riemann-integral som i tidligere sekjoner, inkluderer integranden en eksplisitt faktor som multipliserer integralet, som i sin tur kan påvirke ekvivalentene i den stasjonære fase-tilnærmingen. Dette gir oss en måte å utvikle en semi-klasisk ekspansjon i h, men uten nødvendigvis å ha en strengt liten parameter i utgangspunktet.

I feltteori, som for eksempel når man ser på et aksjonsuttrykk for en skalar felt, vil det være nyttig å introdusere et parameter som multipliserer aksjonen. Dette parameteret antas å være stort, på samme måte som et formelt parameter som ofte introduseres i potensialet i perturbasjonsteori, som antas å være lite. Dette gjør det lettere å utvikle den stasjonære fase-tilnærmingen og koble den til perturbasjonsteori. Ved å anvende dette rammeverket på spesifikke eksempler vil man kunne identifisere de fysiske forholdene som gjør at denne tilnærmingen er mer passende enn vanlige perturbasjonsteorier.

Når vi ser på partisjonfunksjonen og relaterte uttrykk, kan vi skrive om den med parametere som er spesifikke for den stasjonære fase-tilnærmingen. Variasjonen av eksponenten i integralene gir oss en ligning for stasjonære løsninger, som kan utvides for å analysere både fermioner og bosoner, selv om tilnærmingen for fermioner krever en ekstra behandling av Grassmann-variabler, som vi først vil komme tilbake til i kapittel 7. For bosoner kan vi i stedet bruke metoder som er nærmere det klassiske tilfellet.

I tilfelle av bosoner, når den stasjonære fase-tilnærmingen anvendes på en dobbelt reell integral, kan man oppnå en løsning som representerer en Bose-kondensat i nullmomentum. Denne løsningen minimerer aksjonen og gir et kvantemekanisk bilde på det fysiske systemet, som i tilfelle av et kondensat blir en planbølge. Den spesifikke formen på løsningen vil avhenge av ulike fysiske forhold, som for eksempel den positive verdien til aksjonen som en funksjon av volumet i systemet. For et translationalt invariante system vil løsningen være en plane bølge, og det er denne løsningen som representerer det mest stabile fysiske bildet.

Den stasjonære fase-tilnærmingen kan dermed anses som et kraftig verktøy i kvantemekanikk for å håndtere systemer der klassiske metoder mislykkes, og gir en systematisk måte å utvikle kvantemekaniske løsninger ved hjelp av ekspansjoner i små eller store parametere.

Hvordan Fermi-Væsker Oppfører Seg Nær Likevekt

Når vi ser på dynamikken til en Fermi-væske i nær likevekt, er det flere viktige faktorer å vurdere. En Fermi-væske er et system som består av fermioner – partikler som følger Fermi-Dirac-statistikk – og oppfører seg på en spesiell måte i forhold til både termodynamiske og kvantemekaniske prinsipper. Det finnes ulike egenskaper og kollektive moduser som beskriver dens atferd. Disse kan knyttes til teorier som for eksempel Boltzmann-likningen og Landau-teorien.

En fundamental antagelse som ligger til grunn for beskrivelsen av Fermi-væsker er at vi ser på små avvik fra termodynamisk likevekt. Boltzmann-likningen brukes for å beskrive distribusjonen av quasipartikler i systemet, der det er gjort to hovedantagelser. Den første antagelsen er at vi kun betrakter langbølge, lavenergi eksitasjoner. Dette gjør det mulig å erstatte den kvantemekaniske Wigner-distribusjonsfunksjonen med en klassisk distribusjonsfunksjon, som gir en forenklet modell for systemets dynamikk. Den andre antagelsen er at den lokale quaspartikkelenergien på en posisjon spiller rollen som quaspartikkelhambiltonianen, noe som gir mulighet til å bruke en linearisert versjon av Boltzmann-likningen for å beskrive systemets utvikling over tid.

Fra Boltzmann-likningen kan vi dedusere flere viktige forhold, for eksempel bevaringslover for energi og bevegelsesmengde. Den totale tidderiverte av distribusjonsfunksjonen gir oss innsikt i hvordan quasipartiklene samhandler med hverandre. Ved å summere over alle impulser og spinn, kan vi få uttrykk for bevaring av både energi og bevegelsesmengde i systemet, der kollisjonsintegralet forsvinner på grunn av konservasjon av disse størrelsene.

For at nulllyd skal kunne propageres, må visse forhold være oppfylt. Blant annet må bølgehastigheten være liten nok i forhold til den gjennomsnittlige kollisjonstiden. Dette betyr at systemet må være i en tilstand hvor quasipartiklene har en levetid som er langt større enn den karakteristiske tiden for lydbølgene, noe som kan skje ved lave temperaturer.

Denne teorien gir oss også innsikt i stabiliteten til systemet. Ved å bruke Landau-teorien kan vi beskrive hvordan forskjellige interaksjoner mellom quasipartikler, som avhenger av deres spinn og impuls, påvirker systemets stabilitet. Spesielt er det viktig å merke seg hvordan spin-avhengige interaksjoner kan føre til en nesten ustabil tilstand i forhold til ferromagnetisk orden, noe som kan ha stor betydning for forståelsen av magnetiske egenskaper i Fermi-væsker.

Fermi-væskens oppførsel er kompleks og dypt avhengig av både kvantemekaniske effekter og termodynamiske prinsipper. Ved å bruke modeller som Boltzmann-likningen og Landau-teorien kan vi få en mer presis forståelse av hvordan disse systemene oppfører seg i nær likevekt, og hvordan de reagerer på små avvik fra denne tilstanden. Dette er avgjørende for å kunne forstå mange fysikalske fenomener som er relatert til kvantevæsker, som superledere og kvantegasser.