Hvordan stochastisk gjennomsnittlig metode kan anvendes på quasi-integrerbare Hamilton-systemer med støy

Quasi-integrerbare Hamilton-systemer, som de som involverer par av koplede oscillasjoner, er systemer der bevegelsen av hver komponent kan beskrives som nær integrerbar under visse forhold. Dette innebærer at systemet, til tross for at det inneholder støy eller andre uregelmessigheter, kan analyseres på en effektiv måte ved hjelp av metoder som tilnærmer dynamikken.

I tilfeller hvor to oscillasjoner ikke er i svak resonans med hverandre, kan systemet beskrives som quasi-integrerbart. Dette kan utledes fra et Hamilton-system som representeres ved en ikke-intern resonant Hamilton-funksjon. Når systemene i et slikt system utsettes for støy, kan man bruke en stochastisk gjennomsnittlig metode for å forenkle beskrivelsen av de dynamiske egenskapene. Denne metoden gjør det mulig å redusere det opprinnelige systemets kompleksitet ved å anta at systemets tilstand kan beskrives gjennom gjennomsnittlige verdier som er avhengige av støyparametrene.

En stochastisk tilnærming til slike systemer innebærer at man introduserer stokastiske differensialligninger (SDEs) som modellerer den gjennomsnittlige bevegelsen av systemets variabler, som kan være for eksempel posisjoner og moment. Disse differensialligningene kan skrives som:

\sum_2 dH_i = m_i(H_1, H_2)dt + \sigma_{il}(H_1, H_2)dB_{Hl}(t), \quad i = 1, 2

der $m_i(H_1, H_2)$ og $\sigma_{il}(H_1, H_2)$ er koeffisientene som beskriver dynamikken til de to oscillatorene i systemet.

Når man benytter slike tilnærminger, kan man utføre Monte Carlo-simuleringer for å undersøke stasjonære sannsynlighetsfordelinger (PDF-er) som beskriver systemets statistiske egenskaper. For eksempel kan man estimere den felles stasjonære PDF-en $p(q_1, q_2, p_1, p_2)$ , samt de marginale PDF-ene $p(q_1, q_2)$ . Slike simuleringer kan også brukes til å beregne statistiske øyeblikk, som for eksempel forventningsverdiene $E[Q_1^2]$ og $E[Q_2^2]$ .

Simuleringen av disse stokastiske ligningene gir også innsikt i forholdet mellom de forskjellige oscillatorenes bevegelser. Når Hurst-indeksen er nær 1/2, er resultatene fra den gjennomsnittlige ligningen og det originale systemet svært godt i samsvar. Men ettersom Hurst-indeksen øker, øker også tidskorrelasjonen til fraksjonell Gaussisk støy (fGn), som fører til en økt feil i den stochastiske gjennomsnittlige modellen. Dette skjer fordi korrelasjonstiden til fGn øker, mens systemets avslapningstid forblir konstant. Derfor reduseres nøyaktigheten av den stochastiske gjennomsnittlige metoden når Hurst-indeksen øker.

I praksis kan slike analyser brukes på komplekse systemer, som for eksempel sammenkoblede van der Pol- og Duffing-oscillatorer. Slike systemer beskriver ofte fysikalske fenomener hvor komponentene påvirker hverandre på en ikke-lineær måte, og der støy spiller en viktig rolle i systemets atferd. Ved å bruke den stochastiske gjennomsnittlige metoden kan man redusere kompleksiteten i slike systemer og oppnå pålitelige estimater for deres stasjonære tilstander.

For et system som det nevnte, som involverer støy fra fraksjonell Gaussisk støy (fGn), kan de opprinnelige ligningene omformes til kvasi-Hamilton-form, der dynamikken til systemet kan beskrives med nye stokastiske differensialligninger:

\dot{Q}_1 = P_1, \quad \dot{P}_1 = -\omega_1^2 Q_1 - (-\beta_1 + \alpha_1 Q_1^2 + \alpha_2 Q_2^4 + \alpha_3 P_2^2) P_1 + \sqrt{2D_1} dW_H(t)

Slike transformasjoner gjør det lettere å analysere systemet i et nytt, mer håndterbart format.

Den stasjonære PDF-en $p(q_1, q_2)$ som beskriver forflytningene i systemet kan deretter beregnes ved hjelp av den stokastiske differensialligningen og den resulterende Hamilton-funksjonen. De marginale distribusjonene og de gjennomsnittlige kvadratiske verdiene av forflytningene gir ytterligere innsikt i systemets atferd. Det er viktig å merke seg at selv om den gjennomsnittlige modellen gir god overensstemmelse med de originale systemene for moderate Hurst-indekser, blir dens nøyaktighet redusert når Hurst-indeksen blir høyere.

I simuleringer der støyintensiteten $D_1$ og $D_2$ varierer, er det også viktig å merke seg hvordan disse parameterne påvirker de stasjonære tilstandene til systemet. Ved å bruke Monte Carlo-metoder kan man oppnå nøyaktige estimater av disse distribusjonene og analysere hvordan støyen påvirker systemets stabilitet og dynamikk.

Hvordan simulere stasjonære sannsynlighetsfordelinger for stokastiske Hamilton-systemer

I følge ligning (5.3.36) kan den omtrentlige stasjonære sannsynlighetsfordelingen (PDF) for det originale systemet (7.1) uttrykkes som:

\left| p(q, p) = p(I, \psi', h_r) \left| \partial (I, \psi', \theta'') \right| \right| (2 \pi)^{r-\beta - \cdot} \right|

Denne formelen indikerer hvordan systemets tilstand, representert ved en sannsynlighetsfordeling $p(q, p)$ , kan estimeres ved hjelp av stokastiske metoder. Denne prosessen involverer en forenkling av det opprinnelige systemet for å redusere beregningskompleksiteten ved å anvende en gjennomsnittlig tilnærming som er lettere å simulere. Den gjennomsnittlige dimensjonen for systemet er $r + \beta$ , og dette er alltid lavere enn den opprinnelige dimensjonen på $2n$ , som betyr at simuleringen av det gjennomsnittede systemet krever mindre beregningstid enn simuleringen av det opprinnelige systemet.

Et praktisk eksempel på dette er vist i systemet med fire oscillatorer, hvor to er lineære og to er ikke-lineære, og de er koplet med ikke-lineære dempningskrefter. De styrende ligningene for dette systemet er:

\ddot{X}_1 + \dot{X}_1 \left( \alpha_{10} + \alpha_{11} \dot{X}_1^2 + \alpha_{12} \dot{X}_2^2 + \alpha_{13} \dot{X}_3^2 + \alpha_{14} \dot{X}_4^2 \right) + \omega_1^2 X_1 = 2D_1 W H_1(t)

Dette systemet kan omskrives som et quasi-Hamilton-system, der vi benytter oss av nye variabler $Q_i$ og $P_i$ , som er henholdsvis posisjonene og hastighetene til hver av de fire oscillatorene. Ved å introdusere disse variablene forenkles de opprinnelige dynamiske ligningene, og vi får et system som kan beskrives med stokastiske differensialligninger (SDE).

Den resulterende Hamilton-funksjonen for systemet blir som følger:

H = H_1 + H_2 + H_3

Hvor $H_1$ , $H_2$ , og $H_3$ er uavhengige og involutive første integraler. Dette betyr at systemet er delvis integrerbart: subsystemene $H_1$ og $H_2$ er fullt integrerbare, mens subsystemet $H_3$ er ikke-integrerbart.

Når vi benytter metoden for stokastisk gjennomsnitt for å forenkle simuleringen, får vi de følgende gjennomsnittede SDE-ene:

dI_1 = m_1(I_1, I_2, H_3, \psi) dt + \sigma_{11}(I_1, I_2, H_3, \psi) dB_{H_1}(t)

Ved å bruke disse ligningene kan vi simulere systemet i en betydelig redusert tidsramme, samtidig som vi opprettholder nøyaktigheten i resultatene. Resultatene fra simuleringen av det gjennomsnittede systemet viser seg å være svært like de som oppnås ved simuleringen av det opprinnelige systemet, hvilket understreker effektiviteten av denne metoden.

For eksempel, ved å simulere 10 000 prøver av systemet på en datamaskin med en i5-2400 CPU, tar det 85.3 sekunder å simulere det opprinnelige systemet, mens simuleringen av det gjennomsnittede systemet tar bare 48.7 sekunder.

Videre er det mulig å beregne den stasjonære sannsynlighetsfordelingen for systemet ved hjelp av Monte Carlo-simuleringer. Den stasjonære PDF-en for $I_1, I_2, \psi, h_3$ kan beregnes ved hjelp av formelen:

\left| p(I_1, I_2, \psi, h_3) \right| = \int \int E[Q_i^2] p(q, p) dq_1 \cdots dq_4 dp_1 \cdots dp_4

Resultatene fra simuleringen viser at når Hurst-indeksen $H$ nærmer seg 1/2, konvergerer resultatene for fGn-exitasjon til resultatene for Gaussian hvit støy, som bekrefter at når $H \rightarrow 1/2$ , degenererer fGn til Gaussian hvit støy.

De stasjonære PDF-ene for systemet under ulike eksitasjonsbetingelser viser interessante forskjeller, spesielt når fGn (fraktil Gaussisk støy) brukes som eksitasjon i stedet for standard Gaussian hvit støy.

Som et tillegg til den stokastiske gjennomsnittlige metoden, er det viktig å forstå at resultatene av simuleringen avhenger sterkt av valg av Hurst-indeks $H$ , som kan påvirke både nøyaktigheten og beregningstiden for simuleringen. I praksis kan justering av $H$ -verdien være avgjørende for å sikre at modellens oppførsel samsvarer med de faktiske fysiske systemene som modelleres. I tillegg bør man vurdere betydningen av støyens intensitet og type, som kan ha en betydelig innvirkning på systemets dynamikk og de resulterende sannsynlighetsfordelingene.

Hvordan Ramu og hans venner møtte livets utfordringer på gatene i Bombay
Hvordan en uskyldig ungdom kan bli et redskap for krigens ondskap
Hvordan fotonikk og optoelektronikk former fremtidens industri og teknologi
Hvordan løse komplekse integraler: Trinnvis gjennomgang
Hvordan påvirker vegger, gulv og tak funksjon og estetikk i kjøkkenet?