Hvordan håndtere grensebetingelser og belastninger i systemer med Bernoulli-bjelker

For å analysere strukturer som benytter Bernoulli-bjelker, er det viktig å forstå hvordan ulike belastninger og grensebetingelser påvirker systemets oppførsel. Når vi bygger det globale systemet av ligninger for et strukturproblem, må vi være presise i hvordan vi fyller inn de eksterne belastningene og momentene som virker på nodene i matrisen.

Spesielt bør vi være forsiktige når distribuerte laster omgjøres til ekvivalente nodale laster. For slike tilfeller må komponentene fra de ulike elementene summeres sammen ved de indre nodene, slik at vi får en korrekt representasjon av kreftene som virker på strukturen. Det er essensielt å legge merke til rekkefølgen i hvordan elementene i matrisen fylles ut, og hvordan forskjellige krefter er distribuert over strukturen.

Når de eksterne belastningene er på plass, kan systemet av ligninger for problemet som er beskrevet, formuleres. Dette systemet representerer det globale stivhetsmatrisen, som i utgangspunktet er singulært og kan ikke inverteres før nødvendige grensebetingelser er introdusert. Disse grensebetingelsene er avgjørende for å gjøre matrisen regulær og dermed inverterbar. Uten dem kan vi ikke finne løsningen på systemet.

Grensebetingelsene kan deles inn i to hovedtyper: Dirichlet-betingelser og Neumann-betingelser. Dirichlet-betingelsen spesifiserer forskyvningen (uY) eller rotasjonen (ϕZ) ved en node, mens Neumann-betingelsen tilordner en kraft (FY) eller et moment (MZ) til en node. For å forklare hvordan disse betingelsene påvirker systemet, la oss se på et eksempel med en inntilstøtt beamstruktur som har forskjellige betingelser på sin høyre endenode.

Når vi introduserer Dirichlet-betingelsen for et fast støttepunkt, det vil si når u1Y = u(X = 0) = 0 og ϕ1Z = ϕ(X = 0) = 0, kan de første to radene og kolonnene i systemet elimineres, noe som resulterer i et redusert system av ligninger. Dette er den enkleste formen for å håndtere en Dirichlet-betingelse.

Hvis den høyre endenoden derimot er utsatt for en ekstern kraft eller moment, som vist i figuren, kan denne kraften eller momentet legges direkte inn i høyre side av systemet. Dette gjør at systemet kan løses ved å inverte stivhetsmatrisen og finne de ukjente nodale forskyvningene og rotasjonene.

I tilfelle av en ikke-homogen Dirichlet-betingelse, hvor for eksempel en bestemt forskyvning u0 eller rotasjon ϕ0 er kjent, kan grensebetingelsen innføres ved å modifisere systemet. For en gitt forskyvning u0 vil vi modifisere den (2n − 1)-te linjen i matrisen, slik at det på plass av (2n − 1)-te kolonne blir en ‘1’, og alle andre elementer i denne linjen settes til null. På høyre side av systemet introduseres den gitte forskyvningen u0 i den (2n − 1)-te posisjonen i kolonnematrisen. Tilsvarende kan en rotasjon ϕ0 håndteres ved å endre den (2n)-te linjen.

En spesiell type grensebetingelse kan også oppnås ved å feste en fjær til et bjelkeelement. Fjæren kan påvirke to grader av frihet ved hver node: den translaterende frihetsgraden kan moduleres av en trekke/komprimeringsfjær, mens den roterende frihetsgraden kan moduleres av en torsjonsfjær. Når en fjær er festet til en node, påvirker den stivheten til bjelken, og den totale stivhetsmatrisen for bjelken endres.

For å beregne den endelige løsningen etter at nodale forskyvninger og rotasjoner er funnet, må vi bruke de relevante formlene for å bestemme belastninger, spenninger og andre relevante kvantiteter. Dette inkluderer beregning av bøyningsspenninger, skjærspenninger og andre mekaniske egenskaper som er avgjørende for å vurdere strukturenes ytelse under belastning.

Når vi har løst for de primære ukjente variablene, kan vi bruke elementformlene til å beregne de nødvendige deformasjons- og spenningsfordelingene. Dette gir oss innsikt i hvordan strukturen oppfører seg under belastning, og hvilke områder som kan være utsatt for skade eller feil.

Det er viktig å merke seg at selv om analysen av de noder og elementer som er involvert, kan virke kompleks, er det avgjørende å forstå hvordan grensebetingelser og laster blir håndtert i systemet. Dette danner grunnlaget for å utvikle nøyaktige beregninger og sikre at strukturen er designet for å tåle de forventede belastningene uten å miste styrke eller stabilitet.

Hvordan beregne stivhetsmatriser for Timoshenko-bjelkeelementer i finite elementanalyse

For Timoshenko-bjelkeelementene blir de ukjente parametrene for forskyvning $u_y(x)$ og tverrrotasjon $\varphi_z(x)$ tilnærmet ved hjelp av nodelinjer. Disse ukjente parametrene er funksjoner som beskriver hvordan bjelken deformeres i både transversale og rotasjonsretninger. Forskyvning og rotasjon tilnærmes på følgende måte:

u_y(x) = N_1(x)u_{1y} + N_2(x)u_{2y}, \quad \varphi_z(x) = N_1(x)\varphi_{1z} + N_2(x)\varphi_{2z}

Disse tilnærmingene benytter seg av nodale verdier for forskyvning og rotasjon, der $N_1(x)$ og $N_2(x)$ representerer formfunksjonene for bjelken. Den matriseligningen som beskriver dette er:

\begin{bmatrix}

u_{1y} \\ \varphi_z(x) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} N_1(x) & 0 \\ 0 & N_1(x) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1y} \\ \varphi_{1z} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} N_2(x) & 0 \\ 0 & N_2(x) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{2y} \\ \varphi_{2z} \end{bmatrix}

[u_{1 y} φ_{z} (x)] = [N_{1} (x) 0 0 N_{1} (x)] [u_{1 y} φ_{1 z}] + [N_{2} (x) 0 0 N_{2} (x)] [u_{2 y} φ_{2 z}]

Når man setter opp de relevante differensialligningene som beskriver skjærdeformasjonen og bøyning, kan disse skrives om til indre produkter som beskriver hvordan skjærdeformasjonen og bøyningen bidrar til bjelkens totale respons på påkjenningene.

\int_0^L \left( \frac{d^2u_y}{dx^2} \frac{d\varphi_z}{dx} \right) W_u(x) \, dx = 0

Her vil $W_u(x)$ representere vektorfunksjonen som relaterer de virtuelle forskyvningene til den fysiske deformasjonsresponsen til bjelken.

Videre kan disse uttrykkene integreres ved å bruke delvis integrasjon, noe som gir:

\int_0^L \left( \frac{d^2u_y}{dx^2} W_u(x) - \frac{dW_u}{dx} \right) dx = 0

Dette gir en svak formulering som kan brukes til å sette opp stivhetsmatrisene for elementet. Timoshenko-bjelkene har både bøyningsstivhet og skjærstivhet, og disse representeres i stivhetsmatrisen som:

\int_0^L \left( E_I z \frac{d\varphi_z}{dx} W_\varphi(x) + G_A \frac{du_y}{dx} W_u(x) \right) dx = 0

Når de integreres, gir dette en sammensatt stivhetsmatrise som tar hensyn til både bøyning og skjær, hvor $E_I$ er den bøyningsstivheten og $G_A$ er den skjærstivheten som inngår i de strukturelle beregningene.

Stivhetsmatrisene for både skjær og bøyning kan deretter skrives som en kombinasjon av de relevante derivatene til formfunksjonene:

K_e = K_b + K_s

hvor $K_b$ og $K_s$ er stivhetsmatrisene for henholdsvis bøyning og skjær. Disse matrisene kan uttrykkes som integraler av produktene av formfunksjonene og deres respektive deriverte over lengden av bjelken.

Det er viktig å merke seg at for å oppnå konsistente elementer i finitte elementanalyse, må de virtuelle forskyvningene $\delta u$ og rotasjonene $\delta \varphi$ kobles sammen med de relevante internkreftene, og på den måten oppnås en robust matriseformulering.

Når det gjelder beregning av skjærkraft og indre moment, blir de eksterne kreftene og momentene på høyre side av de svake ligningene representert av skjær- og momentvektorer:

\int_0^L \left( q_y(x) N_u(x) + M_z(x) N_\varphi(x) \right) dx

Disse representerer hvordan de eksterne lastene på bjelken påvirker dens respons i både transversale og rotasjonsretninger.

Det er også avgjørende å forstå at valget av formfunksjoner for forskyvning og rotasjon har stor betydning for nøyaktigheten til simuleringen. For Timoshenko-bjelker blir lineære formfunksjoner for forskyvning og rotasjon vanligvis benyttet, ettersom dette gir tilstrekkelig nøyaktighet i elementene som brukes i en finitt elementanalyse.

Ved å bruke de lineære formfunksjonene $N_u(x)$ og $N_\varphi(x)$ , kan man sette opp stivhetsmatrisene for hvert element, som deretter blir brukt til å bygge den globale stivhetsmatrisen for hele strukturen.

Det er også viktig å huske på at Timoshenko-bjelketeorien er mer nøyaktig enn Euler-Bernoulli-bjelketeorien når det gjelder å ta hensyn til skjærdeformasjon, spesielt for korte bjelker eller de med høy skjærmodul. Dette gjør den ideell for mange tekniske applikasjoner der skjærkraftene er betydelige.

Hvordan Russlands Intervensjon i USA Endret Geopolitikk og Trusselen mot nasjonal Sikkerhet
Hvordan Australias tilnærming til våpenvold og politikk har utviklet seg: Læringene fra Christchurch og Port Arthur
Hvordan forstå og bruke forretningsspråk i spansk kultur