Matematikk spiller en avgjørende rolle i forklaringen av fysiske fenomener, men ikke nødvendigvis på den måten man skulle tro. Den fungerer ikke alltid som en direkte forklaring på det fysiske fenomenet, men heller som et representasjonsverktøy som hjelper oss å forstå de underliggende strukturene og prosessene. Batterman hevder at mangelen på en fysisk motpart til visse matematiske strukturer faktisk understreker matematikken sin eksplanatoriske kraft i naturvitenskapen. Hvis matematikkens rolle i en forklaring ikke kan reduseres til noe fysisk, blir den et uunnværlig verktøy for å forstå det aktuelle fenomenet.

Et slående eksempel på dette er interferensmønstre, der matematikken representerer et fenomen uten nødvendigvis å ha en fysisk motpart i tradisjonell forstand. Batterman peker på at visse matematiske operasjoner, som grensetilfeller eller singulariteter, ikke nødvendigvis har noen fysisk analog, men at de er nødvendige for å forklare fenomenene. Det er viktig å merke seg at disse matematiske strukturene ofte er ikke-fysiske objekter, men de er fortsatt avgjørende for vår forståelse.

For eksempel, i fysikken rundt gravitasjonskollapsen i en hvit dvergstjerne, gir Pauli-utestengelsesprinsippet en mekanisme som hindrer stjernesammenbrudd. Dette prinsippet kan representeres matematiske som en antisymmetrisk bølgefunksjon, som reflekterer de kvantemekaniske kravene for partiklenes plassering. Spørsmålet om matematikken i dette tilfellet er en "forklaring" på fenomenet, er kompleks. Matematikk her fungerer mer som en beskrivelse av de fysiske egenskapene ved systemet, snarere enn en forklaring i seg selv.

I den mer filosofiske diskusjonen mellom Bueno, French og Batterman, introduseres et alternativt perspektiv: Inferential Conception (IC). Ifølge IC er det ikke nødvendig å ha en fysisk struktur som svarer til hver matematisk struktur. I stedet tillater IC en mer dynamisk forståelse hvor enkelte matematiske strukturer kan være til stede for å knytte sammen fysikk og matematikk, uten nødvendigvis å ha en konkret fysisk motpart. Dette perspektivet understreker det åpne og tilpasningsdyktige ved teorier i vitenskapen, hvor nye matematiske strukturer kan tilføres etter hvert som forståelsen utvikles.

Et viktig punkt som kommer fram i disse diskusjonene er at matematikken ikke alltid trenger å ha en fysisk representasjon for å spille en rolle i vitenskapelige forklaringer. Selv om det er situasjoner hvor matematiske strukturer er essensielle for å beskrive fysiske fenomener, er det ikke nødvendigvis de matematiske strukturene i seg selv som forklarer. Det er heller de fysiske lovene og prinsippene, som Pauli-utestengelsesprinsippet, som utgjør selve forklaringen, mens matematikken bare tjener som et verktøy for å beskrive og analysere disse lovene.

Denne diskusjonen mellom ulike forståelser av matematikken i vitenskapen minner oss om at vitenskap ikke alltid følger en enkel lineær vei. Teorier utvikler seg ofte gjennom et samspill mellom matematiske representasjoner og fysiske observasjoner, og det er ofte et behov for å justere den matematiske modellen for å matche de fysiske realitetene som observeres. Denne dynamikken mellom matematikk og fysikk er en av de mest fascinerende og utfordrende aspektene ved vitenskapelig tenkning.

I tillegg er det viktig å forstå at selv om matematikken i noen tilfeller ikke gir en direkte forklaring på et fenomen, kan den fortsatt spille en uerstattelig rolle i å utvikle nye hypoteser, forutsi eksperimentelle utfall og tilpasse eksisterende teorier til nye data. Matematikkens evne til å formulere og manipulere ideer i et abstrakt rom gir et unikt perspektiv på verden, og selv om den ikke alltid har en eksplanatorisk funksjon, er dens rolle i vitenskapen både representasjonell og heuristisk.

Er matematikk virkelig uunnværlig for å forklare fysiske fenomener?

Matematikk kan fortsatt forbli låst i verktøykassen, til tross for dens relevans i å presentere det som skal forklares og utforme et riktig (vanligvis kvantitativt) svar. Denne diskusjonen fremhever matematikkens uunngåelighet og nødvendigheten av dette trekket for å bekrefte dens forklarende rolle. Batterman forstår tydelig at utledningen av utsagn og resultater fra en uunngåelig matematikk er tilstrekkelig for å attestere dens forklarende rolle i fysiske teorier. Men dette forholdet kan motsettes på to måter. Først kan man avvise ideen om at matematikken Batterman diskuterer faktisk er uunngåelig. For det andre, selv om den er uunngåelig, kan det fortsatt være mulig å bestride et direkte forhold mellom dens uunngåelighet og dens påståtte forklarende kraft (Bueno & French, 2018, s. 203–204).

I denne konteksten er trykk ikke nøyaktig lik definisjonen av trykk i den klassiske kinetiske teorien om gasser, og er derfor ikke resultatet av elektrostatiske frastøtning mellom dem. Trykk, så vel som temperatur, er konsepter som er utledet og abstrahert fra de klassiske teoriene av andre (som statistisk mekanikk) (Skow, 2014, s. 457–460). Beskrivelsen i figur 2.1 er idealisert fordi «beskrivelsen av den fysiske oppsettet ofte allerede gjøres i matematiske termer» (Bueno & French, 2018, s. 53). Disse påvirker selvfølgelig utseendet på matematikken i det som skal forklares, men det viktige å merke seg her er at matematikken som til slutt kan dukke opp, ikke utgjør en ren matematisk struktur fordi den generelt allerede er tolket.

For å forstå dette, må man skille mellom forklaring og forståelse. For dette kan vi bruke et tankeeksperiment foreslått av Belot (2005). I dette eksperimentet forestiller forfatteren seg en usedvanlig god intuitiv analytiker som ikke kjenner matematisk fysikk, og som, når han blir bedt om å konstruere tilnærmede asymptotiske løsninger på lineære partielle differensiallikninger, eller til og med å undersøke asymptotiske egenskaper ved disse likningene, klarer å gjenoppfinne matematikken til en gitt fysisk teori, som optikk eller mekanikk. Selv om løsningen og resultatene til denne analytikeren er de samme som de som finnes i den fysiske teorien, kjenner han ikke den nevnte teorien. Derfor har analytikeren, i beste fall, en matematisk forståelse av det fysiske problemet. For at denne forståelsen skal bli en forklaring, må de fysiske begrepene og deres betydninger (eksperimentelle og/eller teoretiske begreper) introduseres, samt fysisk begrunne de initial- og randbetingelsene (Belot, 2005). Med andre ord, «en fysisk tolkning må gis, som avgjørende vil være i termer av den mer grunnleggende teorien». På denne måten fungerer «mindre fundamentale strukturer som det Belot kaller ‘matematiske krykker’» (Bueno & French, 2018, s. 204).

Selv om matematikken kan være uunngåelig i noen tilfeller, er det ikke klart hvorfor dette nødvendigvis innebærer en forklarende rolle for den. Hvis vi forstår at det fysiske fenomenet er knyttet til det som skal forklares, eller at det som skal forklares innebærer fenomenet på en eller annen måte, er det ikke nok «å appellere til en rett fram utledning av de relevante resultatene for å forklare denne forankringen eller ‘lede til’ eller ‘frembringe’» fordi forklaringen kan oppstå ved å identifisere «de passende fysiske tolkningene av de relevante matematiske resultatene» (Bueno & French, 2018, s. 205). Med andre ord, den forklarende kraften trenger ikke nødvendigvis å være sentrert i en uunngåelig matematikk, men på det tredje trinnet i IC—tolkningssteget, som støttes av kartlegginger fra matematikk til det fysiske riket. På en måte er det derfor de fysiske begrepene og enhetene (teoretiske eller ellers) som fortsatt gjør det tyngste arbeidet med å forklare.

Et viktig eksempel på dette er bruken av renormaliseringsteori i fysikk, spesielt relatert til universelle egenskaper av systemer nær faseoverganger. Her, ved hjelp av renormalisering, kan man forklare hvordan forskjellige fysiske systemer, til tross for ulikheter i deres mikroskopiske strukturer, viser liknende atferd nær kritiske punkter i en faseovergang. For eksempel kan overgangen fra væske til damp, som vi finner i vann, beskrives ved hjelp av matematiske ligninger som viser en ujevn endring i densitet (ψ) ved kritisk temperatur (TC). Takket være matematikken er det mulig å forstå universelle atferdsmønstre på tvers av systemer, selv om de mikroskopiske egenskapene kan være helt forskjellige. Denne matematiske modellen, som inkluderer kritiske eksponenter (β), spiller en sentral rolle i å forklare fenomenene som oppstår i nærheten av kritiske punkter. Imidlertid er det ikke den matematiske strukturen i seg selv som er den virkelige forklaringen, men tolkningen av disse resultatene i lys av fysiske konsepter.

Det er også viktig å merke seg at fysikkens kompleksitet går langt utover de enkle matematiske modellene som benyttes. I tillegg til renormalisering kan man også se på hvordan forskjellige fysiske egenskaper i et system kan endres samtidig, men på ulike måter, noe som gir flere nivåer av universelle egenskaper som kan sammenlignes på tvers av systemer. Dette åpner for en dypere forståelse av fysiske fenomeners mangfold, selv om det matematiske rammeverket kan være den samme på tvers av ulike systemer.

Hvordan forklarte Franz Aepinus elektrisitet gjennom krefter og elektrisk fluid?

Franz Aepinus tok en tydelig Newtonsk tilnærming til studiet av elektrisitet, hvor han i motsetning til mange av sine samtidige ikke var fornøyd med å bare beskrive fenomenene uten å forklare de underliggende årsakene. Han avviste ideen om at krefter som tiltrekning og frastøtning kunne være iboende egenskaper i legemer, og nektet å godta læren om “virkning på avstand” uten mellomledd. I stedet mente han at vitenskapelig fremgang kunne gjøres ved å redusere komplekse fenomener til mer grunnleggende krefter og årsaker, selv om disse dypere årsakene ennå ikke var fullt forstått.

Aepinus støttet Benjamin Franklins én-fluid-teori om elektrisitet, som innebar at det finnes en subtil, elastisk elektrisk fluid med partikler som frastøter hverandre, men samtidig tiltrekkes av vanlig materie. Han beskrev fire sentrale punkter i denne teorien: eksistensen av den elektriske fluide, partikkelens frastøtning og tiltrekning til materie, skillet mellom elektriske ledere (hvor fluiden flyter lett) og isolatorer (hvor flyten hindres), samt to typer elektriske fenomener—de som involverer strøm av elektrisk fluid, som gnister, og de som ikke gjør det, som elektrisk tiltrekning og frastøtning.

Aepinus bygde videre på Franklin ved å introdusere en forståelse av elektrisk impermeabilitet som gjaldt for alle elektriske legemer, ikke bare for glass slik Franklin hadde foreslått i forbindelse med Leydenskjæren. Denne egenskapen innebærer at den elektriske fluide ikke passerer gjennom slike isolatorer, noe som forklarer hvordan to motstridende elektriske ladninger kan eksistere på hver sin side av et isolerende lag.

Sentral i Aepinus’ teori var også begrepet om den naturlige mengden elektrisk fluid i et legeme. Han illustrerte med en partikkel B på overflaten av et legeme A hvordan to krefter virker i motsatt retning: den elektriske fluide inne i A frastøter partikkelen, mens materien i A tiltrekker den. Når disse kreftene er i balanse, skjer det ingen netto bevegelse av fluiden. Ved overskudd av elektrisk fluid i A vil frastøtningen dominere, og partikkelen B vil skyves bort, noe som tilsvarer et overskudd av elektrisk ladning. På samme måte, ved underskudd, vil fluidepartikler trekkes inn. Dette medførte at Aepinus definerte det naturlige nivået av elektrisk fluid som det punktet der tiltreknings- og frastøtningskrefter balanserer, og dermed ingen netto strøm av fluid oppstår.

Denne modifikasjonen av Franklins definisjon, som ikke involverte krefter, understreket Aepinus’ dypere forankring i Newtonsk fysikk. Franklin beskrev elektrisitet mer som en egenskap ved elektriske atmosfærer, uten å bruke begrepet krefter. Aepinus kritiserte denne tilnærmingen og fremhevet krefter som et mer adekvat rammeverk for å forstå fenomenene. Han tilskrev også betydning til omgivende materialer, slik som tørr luft, som isolatorer som kunne hindre flyten av elektrisk fluid og dermed opprettholde ladningstilstander.

Det er viktig å forstå at Aepinus’ teori representerer et tidlig forsøk på å beskrive elektriske fenomener med matematiske og mekaniske begreper, noe som bidro til å forme den vitenskapelige utviklingen mot mer presise teorier om elektrisitet og elektromagnetisme. Forståelsen av krefter, balansen mellom tiltrekning og frastøtning, og rollen til isolatorer var fundamentale ideer som la grunnlaget for senere vitenskapelige fremskritt.

Videre er det essensielt å anerkjenne at selv om Aepinus benyttet begrepet elektrisk fluid, var denne forestillingen en modell som skulle forklare observerte fenomener, ikke en direkte beskrivelse av materiens virkelige natur. Dette perspektivet gjør det mulig å forstå hvordan vitenskapelige teorier utvikler seg ved å bruke metaforer og modeller som senere kan bli erstattet eller raffinert etter hvert som ny kunnskap kommer til. For leseren er det også sentralt å se på Aepinus’ arbeid som et steg i overgangen fra filosofisk spekulasjon til matematisk og eksperimentell vitenskap, med vekt på forklaringer som kan testes og etterprøves.

Hvordan lager man bitters og shrubs: essensen av balansert smak og tradisjon
Hvordan vurdere lettvektspotensialet til materialer basert på spesifikk energiadopsjon
Hvordan beskrive elastiske egenskaper i orthotropiske materialer?
Hvordan hjernens funksjon kan forstås og behandles gjennom moderne neuroimagingsteknikker