Hvordan beskrive elastiske egenskaper i orthotropiske materialer?

I et orthotropisk materiale beskrives forholdet mellom spenning og deformasjon ved hjelp av en elastisk matrise som kobler stress- og strain-komponentene. For et planorthotropisk materiale, som i tilfelle av et enkelt lamina, kreves fire uavhengige elastiske konstanter for å beskrive materialets elastiske oppførsel. Disse konstanter er relatert til Youngs modul (E1, E2), Poisson's forhold (ν12, ν21), og skjærmodul (G12). For å forstå hvordan materialet responderer på belastning, kan vi bruke compliance-matrisen D, som beskriver forholdet mellom strain og stress i form av:

$$\varepsilon = D \sigma$$

hvor $D$ er elastisk compliance-matrise og $\sigma$ er spenningen. Når stress-strain-relasjonen beskrives, er det viktig å merke seg at dette forholdet kan omformes ved å inverte compliance-matrisen for å få elastisitetsmatrisen $C$, som omvandler stress til strain:

$$\sigma = C \varepsilon$$

Der $C$ er den inverse matrisen av $D$, også kjent som elastisitetsmatrisen. Dette viser at et orthotropisk materiale kan beskrives med en matrise som involverer både de elastiske konstantene og orienteringen til materialet.

I tillegg til de grunnleggende elastiske konstantene, er det viktig å merke seg at relasjonen mellom stress og strain vil avhenge av orienteringen av materialet i forhold til et valgt koordinatsystem. Dette er spesielt relevant i tilfeller der man har flere lag med forskjellige orienteringer i et lamina. Når materialet roteres, endres både stress og strain-komponentene, og derfor må koordinatsystemet transformeres ved hjelp av en rotasjonsmatrise.

En transformasjon av stressene fra ett koordinatsystem til et annet kan beskrives ved:

$$\sigma_{x,y} = T^{ -1} \sigma_{1,2}$$

hvor $T$ er rotasjonsmatrisen som transformerer fra materialkoordinatene (1, 2) til et nytt koordinatsystem (x, y). På samme måte kan strain-transformasjonene uttrykkes som:

$$\varepsilon_{x,y} = T^{ -1} \varepsilon_{1,2}$$

Rotasjonsmatrisen $T$ for koordinatsystemet kan beskrives som:

$$T = \begin{bmatrix}$$

\cos^2 \alpha & \sin^2 \alpha & 2 \sin \alpha \cos \alpha \\ \sin^2 \alpha & \cos^2 \alpha & -2 \sin \alpha \cos \alpha \\ \sin \alpha \cos \alpha & -\sin \alpha \cos \alpha & \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \end{bmatrix}

Her beskriver $\alpha$ rotasjonsvinkelen fra det opprinnelige koordinatsystemet til det nye.

Videre er det mulig å uttrykke forholdene for stress og strain i det roterte systemet i matriseform, og elastisitetsmatrisen $C$ for det roterte systemet kan beregnes ved hjelp av en tredobbelt matriseprodukt:

$$C = T^{ -1} C_{original} T$$

Dette gir oss den nye elastisitetsmatrisen i det roterte koordinatsystemet, som er avgjørende for korrekt analyse av lamina-materialer med flere orienteringer.

$$\eta_x = \frac{\gamma_{xy}}{E_x}, \quad \eta_y = \frac{\gamma_{xy}}{E_y}$$

Disse koeffisientene beskriver koblingen mellom skjærdeformasjon og utvidelse i materialet, og er kritiske for å forstå hvordan de ulike orienteringene påvirker materialets elastiske respons.

Når det gjelder transformasjonene for spenning og strain i et rotert koordinatsystem, er det viktig å merke seg at både stress og strain kan transformeres på en lignende måte, og at resultatene fra de ulike transformasjonene kan brukes til å analysere hvordan materialet vil reagere under ulike lastforhold. Dette er spesielt relevant i anvendelser som laminater og kompositter, der flere lag av forskjellige materialer med ulike orienteringer kan ha svært ulike elastiske egenskaper.

Den forståelsen som oppnås gjennom disse transformasjonene er avgjørende for å analysere og konstruere strukturelle komponenter laget av orthotropiske materialer, som er vanlige i anvendelser som flykonstruksjon, bilindustri og andre høyteknologiske felt.

Hvordan beregnes spenninger og deformasjoner i et symmetrisk laminat under belastning?

Beregningen av spenninger og deformasjoner i et symmetrisk laminat baseres på den klassiske laminatteorien, der materialets sammensetning og lagets orientering spiller en avgjørende rolle. Et laminat består av flere lag (laminaer), hver med sine egne mekaniske egenskaper og orientering i forhold til global koordinatakse. For å forstå oppførselen til et laminat under belastning må vi først definere egenskapene til hvert enkelt lag, inkludert elastisitetskonstanter som E₁, E₂, Poisson-forholdet ν₁₂, og skjærmodulen G₁₂.

I et eksempel på et symmetrisk åttelag laminat med totalt tykkelse t=8 mm, hvor hvert lag har samme tykkelse t/8 og identiske materialegenskaper, men varierende orientering ([±45°/0°/90°]s), kan vi utføre en stegvis analyse. Den globale belastningen kan være ren strekk (Nₙₓ = 1000 N/mm) eller ren bøying (Mₙₓ = 1000 Nmm/mm), hvorpå målet er å bestemme både spenninger og deformasjoner i hvert lag, i både det globale (x–y) og lokale (1–2) koordinatsystemet til laminaene.

Først fastsettes materialegenskapene og geometrien til hvert lag. Deretter konstrueres en belastningsmatrise som beskriver de påførte krefter og momenter. For hvert lag beregnes elastisitetsmatrisen i laminaens lokale koordinatsystem ved hjelp av standardformler, og transformeres deretter til laminatets globale koordinatsystem. Denne transformasjonen tar hensyn til lagets orienteringsvinkel, noe som er avgjørende for riktig gjengivelse av anisotropien i materialet.

Videre summeres bidragene fra alle lag til laminatets stivhetsmatriser A, B og D, som beskriver henholdsvis membranstivhet, krysstivhet (sammenkopling mellom membran og bøying) og bøyningsstivhet. For et symmetrisk laminat forsvinner ofte krysstivhetsmatrisen B, noe som forenkler analysen. Den generelle stivhetsmatrisen C* bygges opp fra disse delmatrisene og brukes til å finne laminatets respons.

Forståelsen av hvordan lagets orientering og materialegenskaper påvirker de makroskopiske egenskapene til laminatet er essensiell for å kunne designe komposittstrukturer med ønsket styrke og stivhet. Det krever også en god innsikt i matriseoperasjoner og transformasjoner mellom koordinatsystemer, noe som gjør analysen matematisk kompleks, men samtidig presis og anvendbar for praktiske konstruksjoner.

Videre er det vesentlig å forstå at klassisk laminatteori bygger på antakelser som små deformasjoner og linear elastisk oppførsel. Ved store belastninger, plastiske deformasjoner, eller skader i materialet kan mer avanserte modeller, inkludert mikromekanikk og ikke-lineær analyse, være nødvendig for å beskrive laminatets oppførsel korrekt.