Hvordan løse eksakte differensiallikninger?

Når man står overfor en differensiallikning, er det ofte nyttig å undersøke om den kan løses ved metoder som anerkjenner spesifikke strukturer i ligningen. En av disse metodene innebærer identifikasjonen av eksakte differensiallikninger, som kan forenkle løsningen betraktelig. I denne sammenhengen vil vi undersøke hvordan vi kan løse første ordens differensiallikninger ved å bruke kriteriene for eksakte differensiallikninger.

En differensiallikning på formen $M(x, y) \, dx + N(x, y) \, dy = 0$ er en eksakt differensiallikning hvis den kan skrives som et differensial av en funksjon $f(x, y)$, det vil si $d(f(x, y)) = M(x, y) \, dx + N(x, y) \, dy$. Dette innebærer at det eksisterer en funksjon $f(x, y)$ slik at $\frac{\partial f}{\partial x} = M(x, y)$ og $\frac{\partial f}{\partial y} = N(x, y)$. Et viktig kjennetegn ved en eksakt differensiallikning er at de første partielle derivatene til $M(x, y)$ med hensyn på $y$ og til $N(x, y)$ med hensyn på $x$ er like.

Ifølge teorem 2.4.1 er betingelsen for at en differensiallikning skal være eksakt at de partielle derivatene av $M$ med hensyn til $y$ og $N$ med hensyn til $x$ må være like, det vil si at:

Dette er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at likningen skal være eksakt. Når denne betingelsen er oppfylt, kan vi finne en løsning ved å integrere $M(x, y)$ med hensyn til $x$, og deretter bruke det resulterende uttrykket til å finne $f(x, y)$.

La oss gjennomgå løsningsprosessen trinnvis. Anta at vi har en eksakt differensiallikning. Vi starter med å integrere $M(x, y)$ med hensyn til $x$, mens vi holder $y$ konstant. Dette gir et uttrykk for $f(x, y)$ som kan inneholde en integrasjonsfunksjon $g(y)$, som representerer den «konstanten» som er et resultat av integrasjonen. Deretter, ved å derivere uttrykket for $f(x, y)$ med hensyn til $y$, får vi et nytt uttrykk som skal være lik $N(x, y)$. Ved å integrere dette uttrykket med hensyn til $y$, kan vi erstatte resultatet tilbake i det første integrerte uttrykket. Den implisitte løsningen av differensiallikningen vil da være $f(x, y) = c$, hvor $c$ er en konstant.

Eksempel på en eksakt differensiallikning: Anta at vi har likningen

For å teste om denne er eksakt, ser vi på de partielle derivatene:

Beregning av de nødvendige partielle derivatene gir:

Siden de to derivatene er like, er differensiallikningen eksakt, og vi kan finne løsningen ved å følge prosessen beskrevet tidligere.

Det er viktig å merke seg at når en differensiallikning er eksakt, er løsningen alltid entydig, gitt de nødvendige initialbetingelsene. Dette gir en kraftig metode for å løse problemer hvor ligningen kan settes i eksakt form. I tillegg må man være oppmerksom på at ikke alle differensiallikninger er eksakte, og derfor må vi ofte bruke andre teknikker, som integrerende faktorer, for å forvandle en ikke-eksakt likning til en eksakt.

For å utdype forståelsen er det også nyttig å kjenne til andre matematiske begreper som er relatert til eksakte differensiallikninger, som for eksempel de totale differensialene og deres rolle i å etablere relasjoner mellom variablene. Det er også viktig å være klar over hvordan eksakte differensiallikninger brukes i praktiske anvendelser, som for eksempel i modellering av fysikalske prosesser eller i økonomi og biologi, hvor man ofte møter systemer som kan beskrives ved slike likninger.

Endtext

Hvordan løse differensialligninger i forskjellige praktiske scenarier?

Differensialligninger er kraftige verktøy som brukes til å modellere mange fenomener i naturen og samfunnet, fra befolkningsvekst og radioaktiv nedbrytning til varmetransport og diffusjon i celler. Denne delen tar for seg hvordan man kan bruke differensialligninger til å modellere forskjellige praktiske scenarier, med vekt på løsningen og tolkning av resultatene. La oss se på noen forskjellige problemer og deres løsninger.

I oppgave 35 er vi gitt et familie av løsninger for en førsteordens differensiallikning $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$, hvor grafene for noen av disse løsningene er vist i figur 2.R.5. For å løse slike problemer, kan vi bruke grafiske metoder som viser implisitte løsninger, som i dette tilfellet er representert ved $G(x, y) = 0$. Den implisitte løsningen som går gjennom punktene $(1, -1)$ og $(-1, 3)$, er vist i rødt. Ved å bruke fargede blyanter kan man spore ut løsninger som oppfyller initialbetingelsene, for eksempel $y_1(1) = -1$ og $y_2(-1) = 3$, og deretter estimere intervallet på hvilket hver løsning er definert.

Videre kan vi bruke Eulers metode til å tilnærme løsningen til differensiallikningen $y' = 1 + y$, med initialbetingelsen $y(1) = 9$, ved hjelp av et stegstørrelse $h = 0.1$. Denne numeriske metoden gir en tilnærmet løsning på differensiallikningen ved å bruke diskrete trinn, noe som er spesielt nyttig når en eksakt løsning er vanskelig å finne.

Et annet eksempel involverer befolkningsvekst. I mars 1976 nådde verdens befolkning 4 milliarder mennesker. En populær nyhetsmagasin forutså at med en gjennomsnittlig årlig vekstrate på 1,8 %, ville verdens befolkning være 8 milliarder om 45 år. Dette kan sammenlignes med en modell hvor vekstraten er proporsjonal med befolkningen til enhver tid $t$. Ved å bruke denne modellen kan vi få en bedre forståelse av hvordan befolkningsvekst kan utvikle seg over tid.

I et annet problem omhandler vi radioaktiv nedbrytning, nærmere bestemt jod-131, som brukes til behandling av skjoldbruskkjertelkreft. Etter én dag har en prøve av jod-131 tapt 8,3 % av sitt opprinnelige innhold. Ved hjelp av differensialligninger kan vi beregne mengden jod-131 som er igjen etter 8 dager og tolke resultatene. Denne modellen kan også brukes til å forstå fysikken bak radioaktivt henfall og hvordan legemidler metaboliseres over tid.

Et annet interessant problem involverer den berømte Iceman-Øtzi, som ble funnet i Alperne i 1991. Gjennom karbon-datering ble det bestemt at hans kropp inneholdt 53 % av C-14 i forhold til en levende person. Ved å bruke den kjente halveringstiden for C-14, kan vi estimere dødsdatoen hans. Dette er et klassisk eksempel på hvordan differensialligninger kan brukes til å modellere nedbrytning av isotoper og bestemme tidsforløp.

I et annet tilfelle, der luft med 0,06 % karbondioksid pumpes inn i et rom med volum 8000 ft³, og luft sirkuleres ut og inn med samme hastighet, kan vi bruke en differensiallikning til å modellere karbondioksidkonsentrasjonen i rommet over tid. Etter å ha løst differensiallikningen, kan vi bestemme konsentrasjonen av karbondioksid etter 10 minutter, samt steady-state konsentrasjonen. Dette er nyttig i miljøfysikk og luftkvalitetsmålinger.

I noen tilfeller brukes Newtons avkjølingslov, som beskriver hvordan et legemes temperatur endres over tid. I et scenario hvor en kropp mister varme til et medium som absorberer denne varmen, kan vi bruke Newtons lov for å forutsi temperaturforandringer. Differensialligningen $\frac{dT}{dt} = k(T - T_m)$, hvor $T_m$ er temperaturen i omgivelsene, kan løses for å forstå hvordan temperaturen til en kropp nærmer seg romtemperatur over tid. Ved å kombinere fysikkens lover og matematiske modeller kan vi forutsi denne utviklingen.

Stefans lov for stråling, som er mer generell enn Newtons lov, brukes til å beskrive temperaturforandringer ved høyere temperaturer, der varmeoverføring skjer gjennom elektromagnetisk stråling. Ved å bruke Stefan-Boltzmanns lov kan man løse differensialligningen for temperaturen til en kropp som avkjøles. Det kan også vises at Newtons lov er en tilnærming til Stefans lov under visse forhold.

Differensialligninger er også nyttige i elektriske kretser, som i et RC-krets med variabel motstand. Den resulterende differensiallikningen kan brukes til å modellere strøm, spenning og motstand over tid, noe som er sentralt for elektronikk og signalbehandling.

I et klassisk problem i kalkulus av variasjoner, søker vi etter en kurve som en kule vil gli nedover på kortest mulig tid under gravitasjonens innflytelse. Dette problemet kan løses med en ikke-lineær differensiallikning som resulterer i en løsning som er en sykloide, en kurve som oppstår fra et punkt på kanten av en rullende sirkel.

Vannklokker, eller clepsydra, ble brukt i antikken for å måle tid ved å observere hvor mye vann som rant ut av en beholder. Ved å bruke differensialligninger kan vi modellere vannstanden i en tank som en funksjon av tiden, noe som kan hjelpe oss med å forstå hvordan tid kan måles ved hjelp av væskeutslipp.

I alle disse tilfellene er det viktig å forstå at differensialligninger ikke bare gir numeriske løsninger, men også gir innsikt i hvordan fysiske fenomener utvikler seg over tid. For eksempel, i problemer om befolkningsvekst eller radioaktiv nedbrytning, kan vi ikke bare beregne verdier, men også tolke hva resultatene betyr i konteksten av de fysiske prosessene som skjer. Det er også viktig å merke seg at numeriske metoder som Eulers metode kan være nødvendige når eksakte løsninger ikke er tilgjengelige, og at fysikkens lover kan gi en matematisk ramme for å beskrive naturlige prosesser.