I vitenskapelig forskning fungerer matematikk ikke bare som et verktøy, men som en integrert del av prosessen som forbinder den empiriske og teoretiske virkeligheten med abstrakte matematiske modeller. Denne sammenhengen kan forstås gjennom en tredelt prosess: først en innsmuglingsfase (immersion), der fysiske fenomener og deres relasjoner blir identifisert og «dykket ned i» som strukturer, deretter en utledning (derivation) av konsekvenser basert på matematiske regler, og til slutt en tolkning (interpretation) hvor resultatene fra matematikken knyttes tilbake til den fysiske virkeligheten.

I denne filosofiske tilnærmingen defineres både den fysiske konfigurasjonen og den matematiske strukturen som systemer bestående av elementer og relasjoner. Overføringen mellom dem skjer gjennom funksjoner som enten er partielle homomorfismer eller partielle isomorfismer. Den partielle isomorfismen er en bijektiv funksjon som sikrer en toveis entydig kobling mellom elementene og relasjonene i begge strukturer, mens den partielle homomorfismen ikke nødvendigvis er bijektiv og derfor kan representere situasjoner der flere matematiske elementer ikke har direkte fysiske motstykker. Dette siste illustrerer fenomenet med «surplus structures», altså matematiske strukturer som oppstår i den matematiske modellen uten direkte fysisk korrespondanse, et velkjent fenomen innen fysikken, som når en matematisk ligning gir løsninger som ikke har fysisk mening.

Denne mapping-prosessen er alltid kontekstuell, avhengig av forskningsmål, tilgjengelig matematikk og andre faktorer. Ingen mapping er universell eller entydig riktig; valget av mapping er et pragmatisk spørsmål. Innsmuglings- og tolkningsfasene overlapper ofte og flyter inn i hverandre, siden den matematiske formalismen sjelden er isolert fra de fysiske tolkningene. Ofte ser vi blandede proposisjoner, der fysiske objekter og matematiske variabler blandes, som i setninger som «masssen til satellitten er 100 kg» eller i ligninger som beskriver objekters bevegelser i tid og rom. Disse uttrykkene gir en pekepinn på hvordan matematikk og fysisk virkelighet veves sammen i en enhetlig beskrivelse via mapping.

Det er viktig å forstå at denne matematiseringen ikke bare er en teknisk prosess, men en epistemologisk konstruksjon hvor valget av matematisk struktur og funksjon reflekterer den vitenskapelige forståelsen og forklaringen av fenomenet. Matematikk er mer enn et verktøy; den er en aktiv komponent i vitenskapens forklaringsapparat, spesielt når det gjelder idealiseringer og teoretiske konstruksjoner som går utover det empirisk observerbare.

Å følge denne filosofiske rammen gir innsikt i hvordan matematikk ikke bare representerer virkeligheten, men også former den vitenskapelige forståelsen gjennom systematiske, men likevel kontekstuelle mapping-relasjoner. For leseren er det essensielt å innse at matematisk modellering alltid innebærer en balanse mellom presis matematisk formalitet og de pragmatiske kravene i empirisk vitenskap, samt at oversettelsen fra fysisk fenomen til matematisk språk og tilbake aldri er en enkel, entydig prosess, men en kompleks samhandling mellom strukturene.

Hva er den virkelige rollen til matematikk i naturvitenskapelige forklaringer?

Matematikkens rolle i vitenskapelige forklaringer er et tema som har vært gjenstand for omfattende diskusjon. For mange er matematikk et uunnværlig verktøy som brukes til å modellere, analysere og forklare naturfenomener. Imidlertid har nyere tilnærminger innen fysikk, spesielt i forbindelse med fenomener som universelle kritiske punkter, ført til at man ser på matematikken som en mer instrumentell enhet, snarere enn som en direkte forklaringsmekanisme.

Renormaliseringsteorien gir et klart eksempel på hvordan matematikk kan bli sett på som et verktøy for å håndtere fysiske problemer som ellers er umulige å løse direkte. Batterman, for eksempel, forklarer hvordan når et system nærmer seg det kritiske temperaturpunktet, blir korrelasjonslengden enormt stor, noe som fører til at de fleste fysiske systemer er umulige å beskrive med de vanlige matematiske teknikkene. I slike tilfeller anvendes renormalisering for å «komprimere» systemets kompleksitet, og på den måten forenkle det matematiske problemet.

Renormaliseringen kan forklare universelle fenomener i kritiske systemer ved å vise at til tross for ulike initiale forhold, kan forskjellige systemer til slutt oppføre seg på samme måte. Dette skjer når de matematiske operasjonene fører til et «fast punkt», et konsept som ligger til grunn for teorien om universelle klasser. Når forskjellige systemers Hamiltonianer «flyter» mot et og samme fast punkt, viser de samme oppførselen og kan derfor klassifiseres som en universell klasse.

Men det er viktig å merke seg at denne matematiske prosessen i seg selv ikke gir en fullstendig forklaring på det fysiske fenomenet. Selv om matematikken brukes til å fremstille og forenkle problemene, er det den fysiske tolkningen som virkelig gir innsikt i fenomenene. Den matematiske strukturen fungerer mer som et verktøy som hjelper oss å strukturere og reformulere problemer som ellers ville vært uoverkommelige.

I tillegg til det fundamentale poenget om at matematikken er et uunnværlig redskap i fysikken, påpekes det også at når det gjelder universelle fenomener, er det de eksperimentelle resultatene som gir den virkelige forklaringen. Den matematiske modellens verdi kommer først til uttrykk når den kan kobles til de fysiske observasjonene. Dette er tydelig i hvordan renormalisering fungerer i praksis – den gir et rammeverk som gjør det mulig å forstå og kvantifisere fenomener som ellers ville vært utilgjengelige.

I renormaliseringens tilfelle, for eksempel, blir fastpunktene i den matematiske strukturen sett på som «instrumentelt uunnværlige» for å uttrykke de fysiske realitetene som er relevante for kritiske fenomener. På denne måten er matematikkens rolle i forklaringen av universelle fenomen ikke som en direkte årsak, men som et nødvendig redskap for å håndtere og uttrykke de relevante fysiske egenskapene ved systemene.

Derfor er det viktig å forstå at mens matematiske modeller kan være avgjørende for å beskrive fysiske fenomener, er de ikke i seg selv forklaringer. Matematikkens sanne kraft ligger i dens evne til å strukturere problemer og hjelpe til med å formulere fysiske teorier som kan testes og valideres eksperimentelt. I denne sammenhengen er det ikke nødvendigvis konflikten mellom matematikk og fysikk som er sentral, men heller hvordan de to feltene samhandler for å gi oss en dypere forståelse av naturen.

Det er også avgjørende å erkjenne at den eksperimentelle validiteten av teorier er en uadskillelig del av den vitenskapelige prosessen. I tilfelle kritiske fenomener som ferromagnetisme, for eksempel, kan den matematiske modellen som benytter seg av renormalisering ikke alene forklare hvordan systemet oppfører seg. Det er koblingen mellom matematisk formalitet og de eksperimentelle dataene som virkelig gir oss innsikt i fenomenenes universelle natur.

Endelig er det viktig å merke seg at det kan finnes flere alternative tolkninger og tilnærminger når man anvender matematikk i naturvitenskapen. For eksempel kan fysikeren velge å beskrive spin-systemer ved å dele dem opp i blokker av påvirkning som er proporsjonale med korrelasjonslengden. Denne tilnærmingen tillater en annen måte å forstå hvordan matematiske transformasjoner kan gjøre komplekse systemer håndterbare, og bidra til å avdekke universelle egenskaper i tilsynelatende forskjellige systemer.

Endtext

Hvordan Johann Euler Mathematizerte sin Elektrisitetsteori: En Dyptgående Utforskning

Johann Albrecht Euler, sønn av den berømte matematikeren Leonhard Euler, er kjent for sitt arbeid innenfor elektrisitet og fysikk på slutten av 1700-tallet. Spesielt i hans to verker om elektrisitet fra 1750-årene, la han grunnlaget for en teori som koblet hydrodynamikkens prinsipper med ideen om et eter, som skulle forklare elektriske fenomener. Dette kapitlet fokuserer på hans andre arbeid, Recherches Sur la Cause Physique de l'Electricité (1759), der han først begynte å bruke matematikk til å forstå de dynamiske egenskapene til eteren og dens påvirkning på elektriske fenomener.

Johann Euler utviklet en elektrisitets-teori som var sterkt inspirert av hans fars ideer, særlig synet på eteren som den mekaniske årsaken til både gravitasjon og lys. Ifølge Johann Euler hadde eteren to fundamentale egenskaper: en sjeldenhet og en høy grad av elastisitet, som han mente kunne forklare elektrisitetens fenomener. Ifølge hans teori var elektrifisering prosessen hvor et visst volum eter ble utvist fra porene i et stoff, noe som skapte en elektrisk tilstand som kunne være positiv eller negativ, avhengig av forholdet mellom eterens elastisitet i kroppen og i omgivelsene.

I hans første verk, som ble sendt inn til det russiske akademiet i 1754, beskrev Euler en mekanisme for elektrisitet hvor stoffets porer spilte en avgjørende rolle. Når et kropp med frie og uforstyrrede porer kom i kontakt med et elektrifisert objekt, kunne eteren som var fanget i kroppen unnslippe, og dermed eliminere den elektriske ladningen. Denne teorien, som var basert på en form for mekanisme som kunne observeres og forstås i fysisk forstand, gjorde at Johann Euler utviklet sine ideer videre i sin andre bok, Recherches, der han begynte å bruke matematikk til å formulere og forstå de mekaniske kreftene som lå bak elektrisitetens fenomener.

I sitt andre arbeid gikk Johann Euler bort fra å betrakte elektrisitet som en atmosfære som omgir objekter, slik Benjamin Franklin hadde gjort. Euler mente at fenomenene knyttet til elektrisitet, som elektriske gnister og tiltrekning, ikke kunne forklares ved et slikt atmosfærisk konsept. I stedet la han vekt på eteren som en elastisk væske som fylte hele universet og som kunne interagere med omgivelsene på en måte som påvirket elektriske krefter.

Selv om Johann Euler var influert av matematikken til sin far, Leonhard Euler, var hans eget forhold til matematikken i sin elektrisitetsteori langt mer instrumentelt. Han så på matematikken som et nyttig verktøy for å uttrykke og forstå de mekaniske fenomenene som han mente var de egentlige årsakene bak elektrisitet. I sin Recherches utviklet han et sett med matematiske ligninger som skulle beskrive eterens dynamikk og hvordan det kunne være i ubalanse med omkringliggende legemer for å produsere elektriske fenomener. Hans teori var dermed et forsøk på å koble de mekaniske aspektene ved fysikk med de matematiske formuleringene som kunne hjelpe til å forstå hvordan elektrisitet fungerte.

Det er interessant å merke seg at i Johann Eulers første arbeid, ble matematikken brukt minimalt. Faktisk var bruken av matematiske uttrykk i denne første teksten i stor grad en refleksjon av hans fars arbeid. Det var først i hans andre verk, Recherches, at han aktivt benyttet seg av matematikken for å formalisere sin teori og gjøre den mer presis. Her utviklet han matematiske modeller for eteren og de fysiske fenomenene han observerte, og i denne sammenhengen kan man si at Johann Euler etablerte et matematisk rammeverk som videreutviklet forståelsen av elektrisitetens fysiske natur.

Samtidig er det viktig å forstå at Johann Eulers bruk av matematikken var nært knyttet til hans syn på mekanisme. For ham var matematikken ikke et mål i seg selv, men et redskap for å uttrykke de mekaniske kreftene som han mente drev elektriske fenomener. Hans bruk av matematikk var ikke abstrakt eller ren, men knyttet direkte til de fysiske lovene han observerte i naturen. Dette kan ses som en form for "mekanisk matematikk", hvor matematikken fungerte som en hjelpende hånd for å støtte den mekanistiske forklaringen av elektrisitetens krefter.

Det er også verdt å merke seg at Johann Euler ofte distanserte seg fra Benjamin Franklin, en av de ledende tenkerne innen elektrisitet på den tiden, som hadde utviklet sin egen teori om elektrisitet som et fenomen som fylte et atmosfærisk rom rundt objektene. Euler kritiserte dette synet og hevdet at fenomenene knyttet til elektrisitet, som gnister og tiltrekning, ikke kunne forklares med et slikt atmosfærisk konsept. I stedet insisterte han på at eteren var et kontinuerlig, elastisk medium som kunne forklare de elektriske fenomenene mer presist.

Johann Euler var en tidlig eksponent for hvordan matematikk kan brukes som et verktøy for å utforske de fysiske prosessene som skjer i naturen. Hans verk var et viktig skritt mot en mer formalisert og matematisk forståelse av elektrisitet, som senere skulle bli videreutviklet av andre tenkere. Likevel er det viktig å merke seg at hans tilnærming ikke var et blindt forsøk på å anvende matematiske modeller på naturen, men heller en forsøk på å forstå og forklare naturfenomener gjennom mekanistiske og matematiske rammer som hang sammen med de fysiske observasjonene han gjorde.

Hvordan kontaminering og disgust påvirker magiske overbevisninger og intuisjonisme
Hvordan oppleves julen for dem som ikke har et hjem?