Hvordan utledes stivhetsmatrisen for plan- og romrammeelementer i lineær elastisitetsanalyse?

Bæreelementer i plan og rom kan beskrives gjennom differensiallikningene som følger fra Euler–Lagrange-formuleringen av et elastisitetsfunksjonale. For planrammeelementer uten distribuerte laster framkommer likevektslikningene som $E A u'' = 0$ og $E I_z v'''' = 0$, hvor $u$ representerer aksial forflytning og $v$ tverrforflytning. Til dette følger to sett av randbetingelser: geometriske (for eksempel at forskyvning eller rotasjon er null) og naturlige betingelser (krefter og moment). Disse betingelsene sikrer at løsningene er konsistente med både deformasjon og krefter i elementet.

I denne sammenhengen kan aksial- og tverrforflytningene interpoleres ved bruk av henholdsvis lineære og kubiske polynomfunksjoner, hvor interpolasjonsfunksjonene er valgt slik at de nøyaktig tilfredsstiller differensiallikningene for planrammeelementet uten distribuerte laster. Denne eksakte tilnærmingen muliggjør en nøyaktig formulering av elementets stivhetsmatrise. Stivhetsmatrisen knytter elementets nodale forflytninger til tilsvarende krefter, og for planrammeelementet er denne matriseblokker slik at aksiale og bøyningsrelaterte bevegelser ikke er koblet.

Energiuttrykket for romrammeelementet inkluderer nå bidrag fra både aksialt tøyningsarbeid, bøyningsarbeid i to plan, og torsjonelt arbeid. Integrasjonen over elementets lengde resulterer i en utvidet virtuell arbeidsligning som igjen danner grunnlaget for å utlede stivhetsmatrisen i rom. Bruken av ortogonalitetsbetingelser for tverrsnittets koordinater sikrer at integralene for tverrsnittsegenskapene (treghetsmomenter og torsjonskonstant) er korrekt definert.

Denne analytiske framstillingen danner grunnlaget for en presis numerisk behandling i finite element-analyser, hvor elementets stivhetsmatrise benyttes til å sette opp det globale systemet av likninger for strukturanalyse. Det er avgjørende at interpolasjonsfunksjonene tilfredsstiller de styrende differensiallikningene for å unngå feil i den numeriske løsningen. For planrammeelementer er derfor valg av lineære og kubiske polynom for henholdsvis aksial og tverr bevegelse ikke tilfeldig, men en direkte konsekvens av eksakte løsninger for elementet uten ytre last.

Betydningen av å forstå koblingen og adskillelsen mellom ulike typer deformasjoner i elementene kan ikke undervurderes. For planrammeelementet finnes det ingen direkte kobling mellom aksial og bøyningskomponentene i stivhetsmatrisen, men i romrammeelementet må torsjon, bøyning i to retninger og aksial deformasjon behandles simultant for å ivareta korrekt lastfordeling og respons.

For leseren er det essensielt å ikke bare forstå de matematiske uttrykkene og formuleringene, men også det fysiske grunnlaget for de ulike komponentene i stivhetsmatrisen. Dette innebærer en dyp forståelse av hvordan forflytninger, rotasjoner og spenninger henger sammen i et elastisk rammeelement, samt hvilke forutsetninger og begrensninger som ligger til grunn for disse modellene. Innsikt i denne sammenhengen legger fundamentet for videre studier innen strukturanalyse, spesielt når man går over til ikke-lineær analyse og komplekse belastningsscenarioer.

Hva innebærer geometrisk ikke-lineær analyse av slanke bærende konstruksjoner?

Den geometrisk ikke-lineære analysen av rammestrukturer representerer en fundamental utvidelse av den klassiske lineære strukturanalysen. I slike konstruksjoner er deformerbarheten til elementene så uttalt at forskjellen mellom den opprinnelige og den nåværende konfigurasjonen ikke lenger kan neglisjeres. Elementene, som oftest er slanke staver med lengde langt større enn tverrsnittsdimensjonene, utsettes for betydelige forskyvninger og rotasjoner som krever en formulering der både likevektsbetingelser og deformasjoner må vurderes i den oppdaterte geometrien.

En rammestruktur består typisk av elementer koblet sammen i stive knutepunkter, i motsetning til fagverk der forbindelsene tillates å rotere fritt og kun aksekrefter tas i betraktning. For rammer må man hensynta aksialkrefter, skjærkrefter, bøyemomenter og torsjon i hvert enkelt element, noe som nødvendigvis kompliserer analysen.

I denne sammenhengen er den oppdaterte Lagrange-formuleringen (UL) et effektivt rammeverk. I motsetning til den totale Lagrange-formuleringen, som refererer alle størrelser til den opprinnelige konfigurasjonen, opererer UL med en løpende referanse – det vil si at spenninger, deformasjoner og stivheter defineres i forhold til den nåværende konfigurasjonen ved hvert lastetrinn. Denne tilnærmingen gjør det mulig å bedre håndtere store forskyvninger og rotasjoner.

Den nødvendige overgangen fra lineær til ikke-lineær analyse krever en trinnvis lastpåføring. Strukturen belastes i små inkrementer, der hver enkelt lastetrinn behandles som en linearisert likevektsproblem, men med initiale knutepunktslaster som hensyntar akkumulert deformasjon fra forrige trinn. En iterativ prosedyre implementeres for å oppnå konvergens mot likevekt innen hvert lastetrinn, og ujevnheter i likevekten (ubalanserte krefter) reduseres progressivt gjennom for eksempel Newton-Raphson-iterasjoner.

Analysen forutsetter en rekke parametere og matriser for korrekt beskrivelse av elementenes oppførsel: stivhetsmatriser ([k]