Et system av lineære ligninger sies å være konsistent hvis det har en løsning. Før vi kan bevise teoremet om konsistens, er det nødvendig å introdusere noen begreper, hvorav det første er ekvivalente systemer. To systemer med ligninger, som involverer de samme variablene, er ekvivalente dersom de har de samme løsningene. Dette er en viktig definisjon, ettersom hovedformålet med å introdusere ekvivalente systemer er muligheten for å transformere et system til et annet, som er enklere å løse.

Men hvilke operasjoner er tillatt for å transformere ett system til et annet? Og hva er det endelige målet med disse transformasjonene? Etter en grundig studie av mulige operasjoner, viser det seg at det finnes tre grunnleggende radoperasjoner som kan benyttes for å omforme et lineært system til et annet:

  1. Bytte plass på to rader.

  2. Multiplisere en rad med et ikke-null skalar.

  3. Legge et vilkårlig multiplum av én rad til en annen rad.

Med disse grunnleggende radoperasjonene kan vi løse et system av lineære ligninger, som eksempelet nedenfor:

x1−3x2+7x3=22x1+4x2−3x3=−1−x1+13x2−21x3=2x_1 - 3x_2 + 7x_3 = 2 \\ 2x_1 + 4x_2 - 3x_3 = -1 \\
-x_1 + 13x_2 - 21x_3 = 2

Vi begynner med å skrive systemet i matriseform:

(1−3724−3−113−21)(x1x2x3)=(2−12)\begin{pmatrix} 1 & -3 & 7 \\ 2 & 4 & -3 \\ -1 & 13 & -21 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2
\end{pmatrix}

Matrisa som representerer systemet kalles koeffisientmatrisen. For å løse systemet ved hjelp av radoperasjoner, introduserer vi begrepet forstørret matrise. En forstørret matrise består av koeffisientmatrisen pluss kolonnevektoren på høyre side av ligningene.

Ved å bruke radoperasjoner på den forstørrede matrisen, kan vi gradvis omforme systemet til en form som er lettere å løse. Den første raden brukes for å eliminere elementene i den første kolonnen i de andre radene. Denne raden kalles den pivoterende raden, og elementet a11a_{11} kalles pivoten.

Etter å ha brukt den tredje radoperasjonen to ganger, for å eliminere verdiene 2 og -1 i den første kolonnen, får vi det ekvivalente systemet:

(1−37∣2010−17∣−5010−14∣4)\begin{pmatrix}
1 & -3 & 7 & \vert & 2 \\ 0 & 10 & -17 & \vert & -5 \\ 0 & 10 & -14 & \vert & 4 \end{pmatrix}

Videre kan vi velge den andre raden som ny pivoterende rad, og igjen bruke radoperasjoner for å eliminere verdiene i den andre kolonnen, som gir:

(1−37∣2010−17∣−5003∣9)\begin{pmatrix}
1 & -3 & 7 & \vert & 2 \\ 0 & 10 & -17 & \vert & -5 \\ 0 & 0 & 3 & \vert & 9 \end{pmatrix}

Dette resulterer i et system i trekantform, som er ekvivalent med det originale systemet. Deretter løser vi systemet ved baksubstitusjon, der vi begynner med den siste ligningen og går bakover mot den første.

Hvis alle pivotelementene er forskjellige fra null, har systemet en unik løsning som kan finnes ved baksubstitusjon. Imidlertid kan det oppstå tilfeller der vi får nuller på steder der vi forventer pivotelementer. I slike tilfeller er systemet enten underbestemt eller inkonsistent.

For eksempel, hvis vi har systemet:

x1+2x2+x3=−12x1+4x2+2x3=−2x1+4x2+2x3=2x_1 + 2x_2 + x_3 = -1 \\ 2x_1 + 4x_2 + 2x_3 = -2 \\
x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 2

Dens forstørrede matrise ser slik ut:

(121∣−1242∣−2142∣2)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & \vert & -1 \\ 2 & 4 & 2 & \vert & -2 \\ 1 & 4 & 2 & \vert & 2
\end{pmatrix}

Etter å ha brukt radoperasjonene får vi:

(121∣−1000∣0021∣3)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & \vert & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \vert & 0 \\ 0 & 2 & 1 & \vert & 3
\end{pmatrix}

Dette viser at systemet er underbestemt, og vi har uendelig mange løsninger.

Videre, hvis vi har en inkonsistent matrise som denne:

(121∣−1242∣3142∣2)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & \vert & -1 \\ 2 & 4 & 2 & \vert & 3 \\ 1 & 4 & 2 & \vert & 2
\end{pmatrix}

Derfor får vi en umulig ligning:

0x1+0x2+0x3=50x_1 + 0x_2 + 0x_3 = 5

Som viser at systemet er inkonsistent, og det har ingen løsning.

Generelt, for å kunne bruke Gauss-eliminasjon på en hvilken som helst matrise, er det viktig å forstå at systemet kan ha tre mulige utfall: en unik løsning, uendelig mange løsninger eller ingen løsning. For å oppsummere, for å redusere et system av ligninger til en enklere form, er det nødvendig å bruke radoperasjoner som gir en trappeform, også kjent som radekchelonform. Denne formen har noen viktige egenskaper, blant annet at den første ikke-null inngangen i hver rad er 1, og at radene med bare nuller er plassert nederst.

Endtext

Hvordan beregne linjeintegraler i vektorregning: Eksempler og forståelse

I vektorregning er linjeintegraler en grunnleggende metode for å evaluere integralet av et vektorfelt langs en kurve. Dette kan være nyttig i mange ingeniør- og fysikkapplikasjoner, spesielt når man jobber med bevegelse i felt, strømninger, og potensialer. Her skal vi se på flere eksempler og eksemplifisere hvordan vi kan beregne linjeintegraler for forskjellige kurver og vektorfelt.

La oss begynne med et vektorfelt F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)kF = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k. Linjeintegralet over en kurve CC kan skrives som:

∫CF⋅dr=∫CP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz\int_C F \cdot dr = \int_C P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz

Når start- og sluttpunktet til kurven er det samme, slik at konturen er lukket, vil dette lukkede konturintegralet betegnes som ∮CF⋅dr\oint_C F \cdot dr.

I de følgende eksemplene skal vi evaluere linjeintegraler langs forskjellige typer kurver. Dette gir oss innsikt i hvordan integralt beregnes for kurver som er parametrisert på ulike måter.

Eksempel 1:

Anta at vektorfeltet er gitt ved F=(3x2+6y)i−14yzj+20xz2kF = (3x^2 + 6y)i - 14yzj + 20xz^2k, og vi ønsker å evaluere linjeintegralet langs kurven parameterisert som x(t)=tx(t) = t, y(t)=t2y(t) = t^2, og z(t)=t3z(t) = t^3 fra punktet (0,0,0)(0, 0, 0) til (1,1,1)(1, 1, 1). Etter å ha beregnet integralet, finner vi:

∫01F⋅dr=5\int_0^1 F \cdot dr = 5

Eksempel 2:

I et annet eksempel vurderer vi en kurve som består av tre rette linjer, fra (0,0,0)(0, 0, 0) til (1,0,0)(1, 0, 0), deretter fra (1,0,0)(1, 0, 0) til (1,1,0)(1, 1, 0), og til slutt fra (1,1,0)(1, 1, 0) til (1,1,1)(1, 1, 1). Dette kan brytes ned i flere integraler langs hver del av kurven. Ved å evaluere disse integrasjonene finner vi at:

∫CF⋅dr=233\int_C F \cdot dr = \frac{23}{3}

Eksempel 3:

For den tredje beregningen ser vi på en rett linje fra (0,0,0)(0, 0, 0) til (1,1,1)(1, 1, 1), med parameterisering x=y=z=tx = y = z = t der 0≤t≤10 \leq t \leq 1. Ved å evaluere integralet får vi:

∫01F⋅dr=133\int_0^1 F \cdot dr = \frac{13}{3}

Et interessant aspekt ved disse tre eksemplene er at selv om vi brukte det samme vektorfeltet og gikk fra (0,0,0)(0, 0, 0) til (1,1,1)(1, 1, 1) i hvert tilfelle, fikk vi forskjellige resultater. Dette viser at linjeintegraler kan være avhengige av stien, og at resultatet ikke nødvendigvis er det samme for forskjellige stier selv om endepunktene er like.

Eksempel 4:

La oss nå vurdere et vektorfelt F=(x2+y2)i−2xyj+xkF = (x^2 + y^2)i - 2xyj + xk, og kurven CC som er en del av sirkelen x2+y2=a2x^2 + y^2 = a^2, fra punktet (a,0,3)(a, 0, 3) til (−a,0,3)(-a, 0, 3). Etter å ha evaluert linjeintegralet, finner vi at resultatet er:

∫CF⋅dr=−103a3\int_C F \cdot dr = -\frac{10}{3} a^3

Eksempel 5: Sirkulasjon

Sirkulasjon rundt en lukket sti er et annet viktig konsept. Sirkulasjonen er et mål på den totale rotasjonen av et vektorfelt rundt en kurve. I fluidmekanikk brukes begrepet sirkulasjon for å beskrive hvor mye et fluid sirkulerer rundt en kurve. Formelen for sirkulasjon er:

∮Cv⋅dr\oint_C v \cdot dr

Her representerer vv hastigheten til fluidet, og drdr er en infinitesimal endring i posisjon langs kurven. Når sirkulasjonen er positiv, strømmer fluidet i retning av integrasjonen, og når den er negativ, strømmer det motsatt.

Betydningen av sti-avhengighet og konservative felt

En viktig distinksjon i vektorregning er mellom stiavhengige og stiuavhengige (konservative) vektorfelt. For et konservativt vektorfelt, hvor rotasjonen av feltet er null, er linjeintegralet uavhengig av stien og avhenger kun av start- og sluttpunktene. Dette innebærer at det finnes en potensialfunksjon ϕ\phi, slik at F=∇ϕF = \nabla \phi. Et praktisk eksempel er når man har et gravitasjonsfelt, der arbeidet som utføres av tyngdekraften kun avhenger av høydeforskjellen mellom to punkter, og ikke av banen som er fulgt mellom dem.

I neste seksjon vil vi utforske konservative vektorfelt nærmere, og hvordan man kan identifisere slike felt og beregne potensialfunksjoner.

Hvorfor forlater jeg det jeg skapte?
Hvordan konsensusalgoritmer sikrer pålitelighet i distribuerte systemer
Hva gjorde bebop til hjørnesteinen i moderne jazz?
Hvordan biopolymer-nanokompositter kan revolusjonere nanopapirproduksjon