Når man arbeider med kvantefeltteori og statistisk mekanikk i systemer med periodiske randbetingelser, står vi overfor utfordringen med å beskrive tilstandene på en måte som tar hensyn til både periodisitet og bevaring av fysiske størrelser som energi og momentum. Spesielt ved finitt temperatur er det viktig å forstå hvordan diagrammer kan dekomponeres og hvilke matematiske forhold som må overholdes for at systemet skal være konsistent. I denne sammenhengen er det avgjørende å formulere problemet på en passende måte for å håndtere termodynamiske egenskaper, som kan være av interesse for systemer som er homogene i tid, og som har en bestemt volumgeometri.

Når vi ser på interaksjonene i slike systemer, blir det klart at de må vurderes i en form som ivaretar den bevarte energien og momenta i systemet. Diagrammer som beskriver disse interaksjonene kan deles inn i "forbundne deler". For eksempel kan et diagram som representerer et system med m interaksjoner dekomponeres til m + 1 uavhengige momenta, og de ulike momenta summes over et sett av kvantiserte tilstander. Det er spesielt viktig å merke seg at i diagrammer som representerer bevaringslover (som for eksempel momentum og energi), må man være forsiktig med hvordan Kronecker-deltaene brukes for å sikre at summen av momenta er bevart. Hvert diagram bidrar med en faktor som er proporsjonal med volumet, og dette volumet kan være assosiert med både uavhengige integraler over momenta og matriseelementene som beskriver interaksjonene.

Når systemet går mot kontinuergrensen, erstattes summene over momenta med integraler, og hvert uavhengig moment integreres over et passende intervall. Dette gir oss en "kontinuerlig" beskrivelse av diagrammene, som kan brukes til å evaluere termodynamiske potensialer. Diagrammer som ikke er fullstendig forbundne vil ikke gi betydelige bidrag til det makroskopiske systemets egenskaper, og dette kan bidra til å forenkle beregningene ved å eliminere uvesentlige bidrag.

I tilfeller der systemet har en finitt temperatur, må man også ta hensyn til de tidsavhengige aspektene ved propagatorene. Her vil tidsintegralene for hvert propagator og vertex bidra med en periodefunksjon, enten periodisk eller antiperiodisk, som vil være avgjørende for å beskrive de termiske egenskapene. Når man transformerer fra tid til frekvens, får man en Fourier-transformasjon som tar høyde for tidsperiodisitet, og de spesifikke formene for propagatorene kan justeres for å inkludere bidrag fra begge bosoniske og fermioniske tilstander. I disse tilfellene vil Kronecker-deltaene på frekvenser spille en tilsvarende rolle som for momenta.

Et viktig poeng er at den spesifikke behandlingen av diagrammer som involverer samme vertex både i begynnelsen og slutten av propagatoren må håndteres med ekstra forsiktighet. For disse tilfellene blir Kronecker-deltaen på tidene også nødvendig for å sikre at de fysiske betingelsene er oppfylt, og dette kan innebære små justeringer i argumentene for propagatorene. Det samme gjelder når vi vurderer termiske effekter som oppstår ved å inkludere temperaturens bidrag i de statistiske sum.

I tillegg er det viktig å merke seg at de diagramreglene som benyttes i Feynman- og Mugenholtz-diagrammene, kan utvides til å inkludere både momenta og frekvenser samtidig. Dette gjør at man kan bruke en felles representasjon for både rom- og tidsavhengige interaksjoner i systemet. I en nulltemperaturgrense vil dette føre til en meget forenklet fremstilling av systemet, der man kan benytte seg av de velkjente formalismene fra relativistisk feltteori.

Det er også verdt å påpeke at ekspansjonen for Z (den partisjonssummerte funksjonen) inneholder alle potensene av volumet V, og at individuelle diagrammer med flere forbindelser (n, konnektede deler) er proporsjonale med volumet, noe som påvirker det totale bidraget til den makroskopiske observabelen. Det er derfor viktig å gjenkjenne at de koblede diagrammene som bidrar til et system ved endelig temperatur kan grupperes for å få en intensiv ekspansjon.

I lys av dette blir den generelle ideen om det "linkede klyngeteorimet" relevant. Dette teoremet understreker at den totale funksjonen Z kan skrives som en sum over koblede diagrammer. Denne tilnærmingen kan verifiseres gjennom metoder som replica-teknikken, der systemet replikeres flere ganger for å beregne korrekte observabler. Gjennom en slik teknikk kan man utlede at den logaritmiske funksjonen for Z gir opphav til koblede diagrammer som dominerer den makroskopiske oppførselen til systemet.

Endtext

Hvordan den frie energiens sløyfeutvidelse relaterer til den ferromagnetiske overgang i klassiske spinnmodeller

For å forstå den ferromagnetiske overgangens natur i klassiske spinnsystemer, begynner vi med å betrakte den klassiske Q(nf) spin-modellen definert på en D-dimensjonal kubisk gitter med gitteravstand a. Hamiltonianen for modellen tar hensyn til nærmeste nabo-interaksjoner og er gitt ved

H=−J∑⟨i,j⟩Si⋅Sj−∑iBi⋅Si,H = - J \sum_{\langle i,j \rangle} \mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j - \sum_i \mathbf{B}_i \cdot \mathbf{S}_i,

hvor JJ representerer vekten av interaksjonen mellom nabospinnene, og Si\mathbf{S}_i er spinnvektoren på den ii-te nettsiden, som har nn-komponenter. Modellen tillater forskjellige verdier av nn, som i tilfelle av n=1n=1 representerer Ising-modellen, n=2n=2 representerer XY-modellen, og n=3n=3 representerer Heisenberg-modellen.

I fravær av et magnetisk felt er skalarproduktene Si⋅Sj\mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j invariant under rotasjoner av alle spinnene med samme vinkel, og dermed er Hamiltonianen invariant under O(n)-symmetri. I nærvær av et konstant magnetisk felt Bi=a\mathbf{B}_i = a, reduseres symmetrigruppen til O(n-1), som reflekterer rotasjoner av spinnene rundt feltets retning.

For å evaluere partisjonsfunksjonen i denne modellen, benytter vi oss av en integralrepresentasjon for å introdusere et hjelpefelt ved hjelp av den gaussiske identiteten. I tilfelle av en énkomponent spin-modell, forenkles summen over spinnene på en enkelt side betraktelig, og kan evalueres ved bruk av polarkoordinater. For høyere verdier av nn kan summen uttrykkes ved hjelp av Bessel-funksjoner, eller utvides i potensserier som gir en praktisk fremstilling av systemet.

Når vi går videre til å bruke mean-field approksimasjonen, benytter vi den stasjonære fasen for å finne en systematisk perturbativ løsning for tilstandsligningen. I mean-field-tilnærmingen antar vi at alle spinnene i systemet påvirkes likt av de andre, og at magnetiseringen på hver side kan beskrives som en gjennomsnittlig verdi. Den resulterende løsningen for magnetiseringen mm gir en likning for tilstanden som viser at ved en kritisk temperatur TcT_c, vil systemet gjennomgå en andreordens faseovergang.

For å forstå de fysiske konsekvensene av denne overgang, ser vi på spesifik varme, korrelasjonsfunksjoner og susseptibilitet nær den kritiske temperaturen. Spesielt er den kritiske eksponenten ν\nu som beskriver divergensen av korrelasjonslengden i mean-field-tilnærmingen lik 1/2, og den kritiske eksponenten γ\gamma for suszeptibiliteten er lik 1. Ved overgangspunktene viser systemet et typisk kritisk oppførsel, der korrelasjonsfunksjonen avtar eksponentielt ved avstandene mellom spinnene.

En viktig konsekvens av denne analysen er at spesifik varme ikke viser en singularitet ved overgangspunktet i mean-field-tilnærmingen, men har derimot en diskontinuitet, noe som er et karakteristisk trekk ved systemer nær kritiske punkter. De kritiske eksponentene som er beregnet i mean-field-teorien kan generaliseres til n-komponent spin-systemer, og for nn-komponent modeller får vi kritiske eksponenter som er forskjellige avhengig av verdien av nn.

Enkelte systemer med høyere dimensjon, som når nn blir stor, kan ha en mer kompleks strukturell form for den frie energien, som beskriver en overgang mellom forskjellige magnetiske tilstander. Dette innebærer at systemet kan ha en ny form for symmetri, hvor minimum i energifunksjonen for T>TcT > T_c er en paraboloid, mens for T<TcT < T_c dannes en symmetrisk struktur med en større kompleksitet, avhengig av dimensjonen og antallet spinnkomponenter.

Som et viktig tillegg kan det være nødvendig å forstå at de kritiske eksponentene i systemer med høyere dimensjoner ikke nødvendigvis er universelle, men kan avhenge sterkt av modellens detaljer, som for eksempel formen på interaksjonene mellom spinnene. Dette kan endre oppførselen nær faseoverganger, og kan til og med føre til nye typer kritisk oppførsel i visse tilfeller.

Hvordan litterære priser former Canadas boklandskap: Giller, GG og Sunburst
Hvordan oppnå dybde og dramatisk lys i kulltegning på tonet papir?
Hvordan kunstig intelligens og IoT kan forbedre tidlig oppdagelse og fjernovervåking i helsesektoren