I perturbasjonsteori er diagramer som representerer interaksjoner i systemet et viktig verktøy for å beregne fysiske observabler og Green’s funksjoner. For å gjøre dette, benyttes ofte Feynman-diagrammer, som gir en visuell fremstilling av interaksjoner mellom partiklene. I teorien, når vi analyserer bidragene fra forskjellige diagramer, er det avgjørende å forstå hvordan indekser og symmetri spiller en rolle i beregningene.

Hver propagator i diagrammene bærer en indeks BB, og alle propagatorer som går inn i eller ut av et gitt vertex har samme indeks BB. Dette gjør det lettere å summere over alle mulige komponenter i systemet. Det er tydelig at hver sammenkoblet del av diagrammet må bære én enkelt indeks gg, og summen over denne indeksen fra 1 til nn gir et faktor nn. Dette innebærer at et diagram med nn sammenkoblede deler er proporsjonalt med nmn^m, mens diagrammer proporsjonale med nn er de som bare har én sammenkoblet del – det vil si de sammenkoblede grafene. Dette gir oss den viktige sammenhengen som ligger bak den såkalte "linked cluster-teoremet", som beskriver at observasjoner kan uttrykkes som summen av alle sammenkoblede diagrammer.

Når vi beregner observabler, som for eksempel forventningsverdien av en nn-kroppsoperator RR, benyttes en utvidelse som ligner på den som brukes for den store potensialet i et upåvirket system. Dette innebærer at vi først introduserer flere feltkomponenter og senere beregner operatoren RR med de tilknyttede feltene ved forskjellige tidspunkter. Dette er en prosess som gjør det lettere å håndtere symmetriske faktorer og forenkler beregningene.

Det finnes to hovedmetoder for å beregne forventningsverdien av RR: En av metodene benytter seg av de umerkede Feynman-diagrammene, og den andre metoden benytter replica-teknikken. Den sistnevnte metoden har fordelen av at den tydelig viser hvordan symmetri-faktorene kan forenkles. Når diagrammer er merket, er det lettere å se hvordan symmetrien i diagrammet reduseres ved å merke et spesifikt vertex som RR. Dette betyr at symmetrien for diagrammet kan reduseres til bare én eller to mulige verdier for symmetri-faktoren SS.

For å forstå hvordan symmetri-faktorer blir bestemt, er det viktig å analysere hvordan permutasjoner av tid og interaksjonens ekstreme kan påvirke diagrammets struktur. Hvis vi ser på et diagram der vi har flere lukkede Fermion-løkker, finner vi at tidene i disse løkkene er faste, noe som betyr at ingen permutasjon av tidene i løkken kan endre diagrammets struktur. Dermed kan vi konkludere med at for et to-kroppsoperator RR, vil symmetri-faktoren S=2S = 2 hvis utveksling av ekstremiteter sammen med en tids-permutasjon resulterer i en deformasjon av diagrammet. Hvis dette ikke skjer, vil S=1S = 1.

Symmetri-faktorene for diagrammer som bidrar til RR er betydelig enklere enn de som bidrar til beregningen av den store potensialet, ettersom symmetrien reduseres ved at ett vertice, RR, er utpekt. Dette gjør at vi i praksis kun trenger å vurdere noen få muligheter for hvordan diagrammets struktur kan deformeres ved tids- eller ekstreme utvekslinger.

I tilfelle av mer kompliserte mm-kroppsoperatorer, er det en naturlig generalisering av denne analysen: Symmetri-faktoren for en diagram vil være lik antallet permutasjoner av de mm punktene som, når de kombineres med tids- og ekstremitets-utvekslinger, kan føre til en deformasjon av diagrammet.

I beregningen av forventningsverdier for to-kroppsoperatorer ved bruk av umerkede Feynman-diagrammer, kan prosedyren oppsummeres som følger:

  1. Tegn alle distinkte umerkede sammenkoblede diagrammer som består av ett RR-vertex forbundet med rettede linjer.

  2. For hvert distinkte diagram, evaluer bidraget ved å beregne symmetri-faktoren SS. Symmetri-faktoren SS er lik 2 hvis utveksling av ekstremiteter sammen med tids-permutasjoner gir en deformasjon, ellers er S=1S = 1.

  3. Tildel tid t0t_0 til RR-vertex og tildel tid tit_i til de andre vertexene. Deretter, for hvert diagram, tilordne en partikkelindeks til hver rettet linje.

Det er viktig å merke seg at de spesifikke diagramreglene som benyttes i perturbasjonsteorien kan variere avhengig av den fysiske modellen som benyttes. Derfor er det alltid nødvendig å være oppmerksom på de underliggende forutsetningene og egenskapene til systemet når man utfører slike beregninger.

Hvordan Order-parametre Forholder Seg til Faseoverganger og Symmetribrytning i Fysikk

I fysikken er studiet av faseoverganger og symmetribrytning essensielt for å forstå hvordan materialer og systemer oppfører seg under ekstreme forhold, som temperaturendringer eller eksterne felt. Spesielt er begrepet order-parametre sentralt når vi ser på overganger som Bose-kondensasjon, superledende overganger og superfluiditet. Disse fenomenene er ikke bare viktige i teoretisk fysikk, men også i praktiske anvendelser som teknologi og materialvitenskap.

Bose-kondensasjon er et klassisk eksempel på hvordan et system kan gjennomgå en overgang som bryter symmetri. I et system med Bose-kondensasjon, som i en gass av bosoner, skjer en makroskopisk okkupasjon av den laveste energitilstanden (den null-momentum-modusen). Dette betyr at ved en kritisk temperatur, som kalles kritisk temperatur, en betydelig del av partiklene i systemet blir bundet i denne lavenergi-modusen. Enkelt sagt, nær den kritiske temperaturen vil partikkelens tetthet i systemet vokse monotonisk, og i det øyeblikket den kritiske temperaturen nås, vil modusen med p = 0 bli makroskopisk okkupert. Dette er et klart eksempel på symmetribrytning, hvor den globale symmetrien av systemet blir ødelagt når et system går fra en høy-temperatur tilstand (der partiklene er mer eller mindre tilfeldig fordelt) til en lav-temperatur tilstand der de alle samles i én enkelt tilstand.

Når vi diskuterer order-parametre, er det viktig å skille mellom lokale og globale order-parametre. For Bose-kondensasjon er den lokale order-parameteren relatert til verdien av den komplekse bølgefunksjonen som beskriver systemet på et gitt punkt, mens den globale order-parameteren representerer gjennomsnittsverdien over hele systemet. I sin enkleste form kan vi tenke på den globale order-parameteren som en konstant kompleks størrelse som beskriver systemets tilstand i faseovergangen.

Som et annet eksempel, i superledende materialer, dannes det et par av elektroner ved Fermi-flaten som binder seg sammen som Cooper-par. Disse parene oppfører seg effektivt som bosoner og gjennomgår en Bose-kondensasjon ved lav temperatur. Dette fenomenet kan beskrives ved et komplekst order-parameter som representerer de samlede egenskapene til Cooper-parene i systemet. Den store forskjellen her er at Cooper-parene i et superledende materiale er i en spin-singlet tilstand, mens i andre systemer som flytende helium-3 (He-3), hvor superfluiditet oppstår, kan parene ha mer kompleks spin- og moment-struktur.

I begge disse tilfellene er et viktig aspekt at order-parameteren har en kompleks fase, og dermed kan systemet ha flere konfigurasjoner som beskriver det samme fysiske fenomenet. For eksempel, i Bose-kondensasjon, vil symmetrien av systemets fase være koblet til fasevinkelen til order-parameteren, og endringer i denne fasen kan resultere i fysiske fenomener som Goldstone-modus, en kollektiv eksitasjon som oppstår når systemet gjennomgår symmetribrytning.

Et annet viktig konsept er hvordan man i teorien kan bruke mean-field theory (middelverdi-teorien) til å beskrive slike systemer. Middelverdi-teorien ble først introdusert av P. Weiss i studien av ferromagnetiske overganger og gir en forenklet, men effektiv måte å beskrive kritiske fenomener på. Middelverdi-teorien er gyldig for høye dimensjoner, men blir mindre nøyaktig når vi nærmer oss lavere dimensjoner, hvor den kan gi feilaktige prediksjoner nær de kritiske temperaturene. Teorien er imidlertid et viktig utgangspunkt for å forstå faseoverganger og for å utvikle mer presise teorier som tar hensyn til de eksakte kritiske eksponentene.

I systemer som gjennomgår faseoverganger, er det viktig å forstå at selv små endringer i ekstern påvirkning, som et eksternt magnetfelt eller partikkeltilførsel, kan endre systemets tilstand betraktelig. For eksempel, når et magnetfelt påtrykkes et ferromagnetisk materiale, kan det føre til en omorientering av magnetiseringen, som kan beskrives ved en order-parameter som representerer systemets globale orientering.

For å koble disse teoretiske ideene til praktiske beregninger, bruker vi konsepter som Legendre-transformasjon, som tillater oss å formulere teorien i termer av Gibbs fri energi i stedet for de eksterne feltene. På denne måten kan vi utlede forhold som gir oss en dypere forståelse av hvordan order-parametrene fungerer i forskjellige fysiske systemer og hva som skjer nær overgangene.

Når vi ser på faseoverganger, er det viktig å merke seg at en broken symmetry (brutt symmetri) er et kjennetegn ved disse overgangene. Symmetrien til et system er et speilbilde av systemets fysiske tilstand. Når symmetrien brytes, enten ved ekstern påvirkning som et magnetfelt eller ved intern dynamikk som Bose-kondensasjon, vil systemet anta en ny, lavere-symmetrisk tilstand som kan beskrives av den komplekse order-parameteren. Dette er et viktig aspekt som ikke bare definerer systemets makroskopiske egenskaper, men også bestemmer de mikroskopiske interaksjonene som styrer materialets oppførsel på atom- og molekylnivå.

Hvordan tilsetningsstoffer i mat påvirker helse og sikkerhet: En gjennomgang
Hvordan analysere stivelementer i stang- og bjelkestrukturer ved hjelp av endelige elementmetoden
Hvordan kan tinnitus diagnostiseres og behandles med ny teknologi?