Hvordan analysere stivelementer i stang- og bjelkestrukturer ved hjelp av endelige elementmetoden

Når man arbeider med stang- og bjelkestrukturer, er det viktig å forstå hvordan man kan modellere og analysere systemene ved hjelp av den endelige elementmetoden (FEM). Et grunnleggende konsept er transformasjon av stivhetsmatriser fra et lokalt koordinatsystem til et globalt koordinatsystem, som krever nøye håndtering av rotasjonene og de nødvendige geometriske forholdene mellom noder og elementer.

Ved hjelp av transformasjonsmatrisen, som beskrives i likning (3.4), kan man hente den elementære hovedligningen for et stang-element, hvor elementet er rotert i X-Z planet med en vinkel α. Stivhetsmatrisen til et element i det roterte koordinatsystemet er relatert til den originale stivhetsmatrisen gjennom trigonometri og materialegenskaper, som Youngs modul E, tverrsnittsareal A, og elementlengde L. Denne tilnærmingen gjør det mulig å finne forholdet mellom deformasjoner og påførte krefter i systemet.

I den endelige beregningen av stivhetsmatrisen for et lineært stang-element, brukes de globale koordinatene til å omforme matrisene, og hvert element kan kobles sammen for å lage den totale globale stivhetsmatrisen. Elementenes plassering i den globale matrisen følger en systematisk prosess hvor hver celle har et unikt indeks, og hvert element blir deretter satt inn på sitt riktige sted i den globale matrisen. Ved å gjøre dette kan man få en helhetlig oversikt over hvordan kreftene og deformasjonene distribueres i strukturen.

Et konkret eksempel kan være en to-dimensjonal bjelkestruktur som er arrangert som en likesidet trekant, hvor hvert element har samme lengde, tverrsnittsareal og Youngs modul. Hvis strukturen blir utsatt for en vertikal kraft på node 2 og en forhåndsbestemt horisontal forskyvning på samme node, kan man ved hjelp av den endelige elementmetoden bestemme både globale ligninger, reduksjonssystemer og noder med tilhørende krefter og forskyvninger.

En annen viktig del av prosessen er å forstå hvordan lokal koordinatmatriser for hvert element kan transformeres til globale koordinater. Dette krever en systematisk oppbygning av både elementære og globale stivhetsmatriser, som igjen brukes til å finne nodalbevegelser og krefter. Denne prosessen innebærer også å beregne elementvinkler, som i eksemplet med en trekantstruktur, hvor vinklene mellom elementene må tas i betraktning for å riktig definere rotasjonen av hvert element.

Videre er det viktig å merke seg at dimensjoneringen av den globale stivhetsmatrisen er avgjørende for korrekt løsning av strukturelle problemer. Den totale størrelsen på matrisen bestemmes av antall noder og frihetsgrader per node, og å håndtere riktig plassering av elementer i denne globale matrisen er et nøkkeltrinn for å kunne løse systemet effektivt. Når alle elementene er riktig satt inn i den globale matrisen, kan man løse systemet for nodalbevegelser og krefter.

Det er også viktig å huske på at den endelige elementmetoden kan tilpasses forskjellige typer strukturer og belastninger. Metoden kan utvides til 3D-strukturer, og til mer komplekse geometrier og materialer. I tillegg kan dynamiske effekter som tid og belastningsovergang legges til analysene for å gjøre modellen mer realistisk og anvendelig i praksis.

Hvordan sette sammen den globale stivhetsmatrisen for stivhetsanalyse av trekonstruksjoner

I analysen av truss-strukturer, spesielt når det gjelder metoden for finitte elementer, er det avgjørende å forstå hvordan de enkelte elementene samhandler for å danne den globale stivhetsmatrisen. Hver del av en truss-struktur består av elementer som har sine egne stivheter, og disse elementene kobles sammen gjennom nodene. I dette kapittelet vil vi se nærmere på prosessen for å sette sammen stivhetsmatrisene for slike elementer og deretter kombinere dem til en global stivhetsmatrise.

I en to-dimensjonal truss-struktur kan hvert element representeres av en stivhetsmatrise som kobler de forskjellige nodene sammen. For å forstå dette, må vi først definere et system der hvert element har en tilknyttet "Element Connectivity Array" (ECA) og "Element Freedom Array" (EFA). ECA beskriver hvilke noder som er knyttet til et element, mens EFA definerer frihetsgrader for hvert element (bevegelser i både X- og Y-retning).

For eksempel, hvis vi har et element I som er koblet til nodene 1 og 2, kan ECA for dette elementet se slik ut: [1, 2]. Tilsvarende, for frihetsgradene til elementet, kan EFA uttrykkes som [1, 2, 3, 4], hvor tallene representerer de forskjellige gradene av frihet for hvert av nodene (bevegelser i X og Y). Når vi har definert disse matrisene for hvert element, kan vi begynne å sette sammen den globale stivhetsmatrisen for hele strukturen.

Den globale stivhetsmatrisen, K, er sammensatt av stivhetsmatrisene for de individuelle elementene, der hvert element mappes til riktig plass i den globale matrisen. For å gjøre dette korrekt, må vi bruke en iterasjonsprosess som kobler hver elementmatrise til riktig plass i K ved å bruke indekser som bestemmes av EFA. Et praktisk eksempel kan være som følger: Hvis element I har sin første frihetsgrad representert av EFAI(1) = 1, vil stivheten for denne delen av elementmatrisen plasseres i den globale matrisen i posisjon K11.

Når vi har plassert alle elementenes stivhetsmatriser i den globale matrisen, kan vi bruke den til å løse for ukjente bevegelser i strukturen. Den generelle formelen for dette kan uttrykkes som Kpq = A K e m,i j, hvor A er samplingsoperatøren som kobler elementenes stivhetsmatriser til den globale matrisen. Dette gjør det mulig å løse et system av ligninger som gir bevegelsene ved de forskjellige nodene i strukturen.

Det neste steget i løsningen av slike problemer er å introdusere eksterne laster og støttebetingelser. Støttebetingelsene påvirker systemet ved å fjerne visse grader av frihet fra systemet, som for eksempel når en node er fastlåst i både X- og Y-retning. Dette gjøres ved å justere de relevante elementene i systemet av ligninger, ofte ved å fjerne rader og kolonner som tilsvarer de fastlåste bevegelsene. Dette gir oss et redusert system som kan løses for de ukjente bevegelsene.

Når de nødvendige betingelsene er satt, kan vi fortsette med å løse det reduserte systemet av ligninger, enten ved direkte beregning eller ved bruk av numeriske metoder som gausseliminering eller matriseinversjon.

Ved å bruke programvare som simulerer strukturanalyse kan prosessen for å implementere støttene være litt annerledes. Her blir de støttede bevegelsene som fjernes fra systemet håndtert automatisk av programvaren, og ligningene løses deretter med de tilpassede betingelsene.

Ved å bruke den globale stivhetsmatrisen kan man finne de nødvendige bevegelsene for strukturen under de påførte lastene og dermed bestemme hvordan strukturen vil oppføre seg i virkeligheten.